第4章二次曲面的一般理论

1、022222244342414231312233222211 azayaxayzaxzaxyazayaxa一、一些常见的记号一、一些常见的记号表示的曲面叫二次曲面表示的曲面叫二次曲面不不全全为为零零为为实实常常数数，且且其其中中231312332211aaaaaaaij,在空间中在空间中, ,由三元二次方程由三元二次方程0=+2+2+2+2+2+2+),(44342414231312233222211azayaxayzaxzaxyazayaxazyxF为了以后讨论的方便，我们引进一些记号：为了以后讨论的方便，我们引进一些记号：141312111+),(azayaxazyxF242322122+

2、),(azayaxazyxF343323133+),(azayaxazyxF443424144+),(azayaxazyxFzayaxazyx1312111+),(zayaxazyx2322122+),(zayaxazyx3323133+),(yzaxzaxyazayaxazyx2313122332222112+2+2+),(记zayaxazyx3424144+),(),(+),(+),(+),(x),(4321zyxFzyxzFzyxyFzyxFzyxF则),(+),(+),(x=),(321zyxzzyxyzyxzyx 332313232212131211*aaaaaaaaaA 44342

3、414343323132423221214131211aaaaaaaaaaaaaaaaA的的矩矩阵阵和和分分别别称称为为二二次次曲曲面面),(0),(zyxzyxF zyxaaaaaaaaazyxzyx332313232212131211)(),( 1) 1(),(44342414343323132423221214131211zyxaaaaaaaaaaaaaaaazyxzyxF利用矩阵法可以写成利用矩阵法可以写成坐坐标标系系是是空空间间的的两两个个右右手手直直角角及及设设,;,;kjiOkjiO ),(000zyxO下的坐标是在点),(),(),(,332313322212312111ccc

4、cccccckji下下的的坐坐标标分分别别为为在在 333231232221131211ccccccccckjikji),(),(则则的的过过度度矩矩阵阵到到称称为为从从其其中中矩矩阵阵)(ijcT 二、直角坐标变换),(),(zyxzyxP ，下下坐坐标标分分别别是是和和在在任任一一点点)()(000kzjyixkzjyixPOOOOP )()()()(332313322212312111000kcjciczkcjcicykcjcicxkzjyix kzcycxczjzcycxcyizcycxcx)()()(333231023222101312110 从而有：从而有： zcycxczzzcy

5、cxcyyzcycxcxx333231023222101312110TTTzyxxzyxxzyxx),(,),(),(0000 ，记记0333231023222101312110 xxTxzcycxczzzcycxcyyzcycxcxx 可可以以化化为为两个式子两个式子都称为点的都称为点的直角坐标变换公式直角坐标变换公式 333231232221131211cccccccccT其其中中0, 10, 10, 1333123211311233223213333223221312232222212323122211211231221211 ccccccccccccccccccccccccccc六个关

6、系式为正交的条件，则六个关系式为正交的条件，则T也是正交矩阵也是正交矩阵TTT 1则则都都是是右右手手系系及及,;,;kjiOkjiO 1),(),( kjikji1det333231232221131211 cccccccccT空空间间两两个个直直角角坐坐标标系系及及设设,;,;kjiOkjiO ),(000zyxO下下的的坐坐标标是是在在点点 000:zzzyyyxxx移移轴轴公公式式为为三、移轴变换换换，简简称称为为移移轴轴，的的坐坐标标变变换换称称为为平平移移变变到到换换，简简称称转转轴轴这这种种坐坐标标变变换换叫叫旋旋转转变变重重合合得得到到的的，分分别别与与使使得得旋旋转转，绕绕原

7、原点点可可以以看看成成原原坐坐标标系系新新坐坐标标系系两两个个直直角角坐坐标标系系及及设设kjikjiOkjiOkjiO ,;,;321, iOxyzkjiiii；，中中的的方方向向角角分分别别为为在在直直角角坐坐标标系系设设四、转轴变换;coscoscos,coscoscos,coscoscos333222111kjikkjijkjii ;coscoscos,coscoscos,coscoscos:333222111zyxzzyxyzyxx转轴公式为转轴公式为 ;,cossin,sincos:zzyxyyxx转轴公式为转轴公式为时时面面内内绕绕原原点点旋旋转转角角轴轴在在轴轴不不动动，特特别

8、别是是：当当xoyyxz,0521045122 zyxxyzx程程、利利用用移移轴轴化化简简曲曲面面方方例例解：将原方程变形为解：将原方程变形为0125222 )()()(zyxx 12zzyyxx令令则在新坐标系中，曲面方程变为：则在新坐标系中，曲面方程变为：0522 zyxx为的二次锥面为的二次锥面表示顶点表示顶点的二次齐次方程，的二次齐次方程，这就是关于这就是关于),(,102 zyx的的形形状状、研研究究曲曲面面例例xyz 2得：换，我们利用绕轴旋转变为了解决zzyxyyxxxycossinsincosyxyxyxyxz 2221222222cos)(sin)sin(cos)(sinc

9、os zzyxyyxxyx）（）（，得得：，令令为为了了消消去去交交叉叉项项21214222121yxz 原原方方程程变变为为表示一个双曲抛物面表示一个双曲抛物面 )()()(zyzzyxyzyxxzxyzxyyx21261310276232222322用用下下列列旋旋转转化化简简、对对于于曲曲面面方方程程例例027z3y3x3222原方程可化为：原方程可化为：的形状的形状、讨论曲面、讨论曲面例例04448448844222 zyxxyxzyzzyx014148814222 yxzxyzzyx)()()(解：把所给方程改写为：解：把所给方程改写为：做做平平移移变变换：换： zzyyxx1044

10、884222 yxzxzyzyx得得： zyzzyxyzyxx3056130262513016152再作旋转再作旋转代入上式得：代入上式得：01025222 zyx得得： zyzzyxyzyxx30561302625113016152可可知知最最终终的的变变换换也知曲面是二次锥面也知曲面是二次锥面0222222),(44342414231312233222211 azayaxayzaxzaxyazayaxazyxF设设方方程程为为yzaxzaxyazayaxazyx231312233222211222),( 记记 332313232212131211*aaaaaaaaaA 4434241434

11、3323132423221214131211aaaaaaaaaaaaaaaaA的的矩矩阵阵和和分分别别称称为为二二次次曲曲面面),(0),(zyxzyxF zyxaaaaaaaaazyxzyx332313232212131211)(),( 1) 1(),(44342414343323132423221214131211zyxaaaaaaaaaaaaaaaazyxzyxF利用矩阵法可以写成利用矩阵法可以写成都都是是实实对对称称矩矩阵阵*,AAAATT 44aaaAAT*则则 xx1xaa1x44*),(),(),(),(AzyxaAzyxFzyxzyxFTTT 表表示示为为与与则则 zyxT x

12、又又令令： 342414aaaaT 令令过过渡渡矩矩阵阵到到是是从从,;,;coscoscoscoscoscoscoscoscos321321321kjiOkjiOT 得得：代代入入),(1x1001x1xzyxFTT 1xaa1x1x100aa1001x1xaa1x44*44*44*aTTTATTaATaATTTTTTTTTxx),(),(* AzyxzyxFT的的二二次次项项部部分分为为仍仍是是对对称称矩矩阵阵其其中中TATAT* 可可写写为为对对角角矩矩阵阵，因因此此使使得得可可用用正正交交阵阵阵阵根根据据高高代代结结果果：实实对对称称0 ),(*zyxFTATTAT0222443424

13azayaxazayaxazayaxazyxzyxx1312111),(21),( 记记zayaxazyxzyxy2322122),(21),( zayaxazyxzyxz3323133),(21),( 的的梯梯度度向向量量称称为为),(),(),(),(),(),(),( 2),(321zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx ),(,;,;cos,cos,cosiiiiiiiiimnlkjiOxyzinml的的坐坐标标分分别别为为中中，在在坐坐标标系系记记 321 ),(),(),(),(),(),(),(),(),(*3332221113332221

14、1133322211132132132133231323221213121133322211121nmlknmlknmlknmljnmljnmljnmlinmlinmlinnnmmmlllaaaaaaaaanmlnmlnmlTATAT为为对对角角阵阵使使得得如如果果正正交交矩矩阵阵TATATT* ),(),(),(),(),(),(),(),(),(333222111333222111333222111nmlknmlknmlknmljnmljnmljnmlinmlinmli上述矩阵中只有对角线的项不为零，其他项均为零上述矩阵中只有对角线的项不为零，其他项均为零kjnmlnmlknmlj 又又垂

15、垂直直于于即即垂垂直直于于向向量量可可知知：和和由由),(0),(0),(111111111共共线线与与向向量量向向量量kjinml ),(111111131111211111),(),(),(nnmlmnmllnml 就就有有：113312311311231221121113112111nnamalamnamalalnamala 定定义义可可知知由由),(zyxi 222332232132222322221222213212211nnamalamnamalalnamala：类类似似，我我们们还还可可以以得得到到 333333233133332332231233313312311nnamala

16、mnamalalnamala 1113312311311123122112111131121111nnamalamnamalalnamala，还还可可以以化化为为设设上上式式的的比比值值为为 nmlnmlA*将上述三式统一成矩阵形式为：将上述三式统一成矩阵形式为：0 nmlEA)(*整整理理得得：的的根根为为下下列列方方程程条条件件是是方方程程组组有有非非零零解解的的充充要要032213 IIIEA)det(:*332313232212131211*333232322331313112212121123322111detaaaaaaaaaAIaaaaaaaaaaaaIaaaI 其其中中3213

17III由由根根与与系系数数的的关关系系知知：的的三三个个根根是是，若若032213321 III定义：定义：的的特特征征方方程程叫叫做做二二次次曲曲面面方方程程0222222),(04434241423131223322221132213 azayaxayzaxzaxyazayaxazyxFIII它的根称为二次曲面的特征根它的根称为二次曲面的特征根 的的一一个个主主方方向向为为对对应应于于，则则称称使使得得，若若非非零零向向量量对对于于二二次次曲曲面面的的特特征征根根 nmlnmlT:ppAp*命题命题1 1：二次曲面的三个特征根都是实数：二次曲面的三个特征根都是实数命

18、题命题2 2：二次曲面的三个特征根不全为零：二次曲面的三个特征根不全为零命题命题3 3：二次曲面的两个相异的特征根对应：二次曲面的两个相异的特征根对应的主方向一定垂直的主方向一定垂直定理定理1 1：对于任意的二次曲面，至少存在三个：对于任意的二次曲面，至少存在三个两两互相垂直的主方向两两互相垂直的主方向为为二二次次曲曲面面的的特特征征根根, , ,其其中中0 0= =a a+ +z za a2 2+ +y ya a2 2+ +x xa a2 2+ +z z+ +y y+ +x x具具有有如如下下形形式式：程程曲曲面面在在新新坐坐标标系系中中的的方方的的坐坐标标向向量量，那那么么二二次次z zy

19、 yx x方方向向作作为为新新坐坐标标系系O O两两两两互互相相垂垂直直的的单单位位主主0 0如如果果选选取取曲曲面面的的三三个个= =a a+ +z z2 2a a+ +y y2 2a a+ +x x2 2a a+ +y yz z2 2a a+ +x xz z2 2a a+ +x xy y2 2a a+ +z za a+ +y ya a+ +x xa a程程为为：中中，给给定定二二次次曲曲面面的的方方在在直直角角坐坐标标系系O Ox xy yz z3 32 21 14 44 43 34 42 24 41 14 42 23 32 22 22 21 14 44 43 34 42 24 41 14

20、 42 23 31 13 31 12 22 23 33 32 22 22 22 21 11 10142241222 zyyzzyx曲曲面面方方程程：用用旋旋转转变变换换化化简简二二次次例例0261441448422222 zyxyzxzxyzyx曲曲面面方方程程：用用旋旋转转变变换换化化简简二二次次例例对于任意的二次曲面的方程，通过空间直角坐标变换对于任意的二次曲面的方程，通过空间直角坐标变换总可以把方程化为简单的形式，即标准方程，总可以把方程化为简单的形式，即标准方程，二次曲面共可以分为十七类，标准方程分别是：二次曲面共可以分为十七类，标准方程分别是：表表示示椭椭球球面面11222222 c

21、zbyax)(表表示示虚虚椭椭球球面面12222222 czbyax)(双双叶叶双双曲曲面面15222222 czbyax)(二二次次锥锥面面06222222 czbyax)(椭椭圆圆抛抛物物面面zbyax272222 )(表表示示一一点点03222222 czbyax)(单单叶叶双双曲曲面面14222222 czbyax)(直直线线0102222 byax)(虚虚椭椭圆圆柱柱面面1112222 byax)(双双曲曲柱柱面面1122222 byax)(双双曲曲抛抛物物面面zbyax282222 )(椭椭圆圆柱柱面面192222 byax)(一一对对平平行行面面2215ax )(一一对对重重合合

22、面面0162 x)(一一对对平平行行共共扼扼虚虚平平面面2217ax )(抛抛物物柱柱面面pxy2142 )(相相交交平平面面0132222 byax)(列列五五个个简简化化方方程程之之一一通通过过坐坐标标变变换换可可化化为为下下0 0= =a a+ +z z2 2a a+ +y y2 2a a+ +x x2 2a a+ +z z+ +y y+ +x x的的二二次次曲曲面面方方程程定定理理：对对于于不不含含交交叉叉项项4 44 43 34 42 24 41 14 42 23 32 22 22 21 1非非零零特特征征根根为为各各方方程程中中二二次次曲曲面面的的其其中中idxppyxdyxqqz

23、yxdzyx00500240030022001121121212221212221321232221 )()()()()(从而可以化成十七中标准方程之一从而可以化成十七中标准方程之一化简主要分为下面三种情况：化简主要分为下面三种情况：022244342414232221 azayaxazyx曲曲面面方方程程对对于于不不含含交交叉叉项项的的二二次次00232221321 dzyx方方程程可可化化为为当当一一)(020342221321 dzayx，方方程程可可化化为为中中只只有有一一个个为为，当当二二)(0220342421321 dzayax，方方程程可可化化为为中中有有两两个个为为，当当三三

24、)(013532342224121444233432224221141 )()()()(.aaaaazayax式式配配方方得得：将将00232221321 dzyx方方程程可可化化为为当当一一)()(32342224121444334224114aaaadazzayyaxx 并并令令做做变变换换就可以得到（一）中形式就可以得到（一）中形式020342221321 dzayx，方方程程可可化化为为中中只只有有一一个个为为，当当二二)(03 不不妨妨设设)(2224121444224114aaadzzayyaxx 并并令令做做变变换换就可以得到（二）中形式就可以得到（二）中形式0220342421

25、321 dzayax，方方程程可可化化为为中中有有两两个个为为，当当三三)(032 不不妨妨设设121444114aadzzyyaxx 并并令令做做变变换换就可以得到（三）中形式就可以得到（三）中形式0142241222 zyyzzyx准准方方程程：将将下下列列方方程程化化简简成成标标例例0612124844442222 zyxyzxzxyzyx标标准准式式：化化简简二二次次曲曲面面方方程程为为例例0222222),(44342414231312233222211 azayaxayzaxzaxyazayaxazyxF：给给定定二二次次曲曲面面的的方方程程为为332313232212131211

26、*333232322331313112212121123322111detaaaaaaaaaAIaaaaaaaaaaaaIaaaI 其其中中443424143424143323132322121312114detaaaaaaaaaaaaaaaaAI 是是二二次次曲曲面面的的不不变变量量和和：定定理理4321,1IIII变变换换下下都都是是不不变变量量标标和和特特征征根根在在任任意意直直角角坐坐：二二次次曲曲面面的的特特征征方方程程推推论论1为为半半不不变变量量在在转转轴轴变变换换下下不不变变，称称与与则则：设设定定理理21443424343323242322443414343313141311

27、442413242212141211244343433442424224414141112KKaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaKaaaaaaaaaaaaK 是是不不变变量量时时，当当是是不不变变量量时时，当当为为：给给定定二二次次曲曲面面的的方方程程定定理理12432243443424142313122332222110)2(0)1(0222222),(3KKIIIKIIazayaxayzaxzaxyazayaxazyxF 征征根根。表表示示二二次次曲曲面面的的非非零零特特, , ,其其中中0 0) )= =I IK K+ +x x0 0( (或或I I= =I IK K

28、+ +x x0 0时时，方方程程为为= =K K= =I I= =I I= =( (5 5) )I I0 0) )= =y yI IK K2 2x x0 0( (或或I I= =y yI IK K2 2x x0 0时时，方方程程为为K K0 0, ,= =I I= =I I= =( (4 4) )当当I I0 0= =I IK K+ +y y+ +x x0 0时时，方方程程为为I I0 0, ,= =I I= =( (3 3) )当当I I0 0= =z zI II I2 2y y+ +x x0 0时时，方方程程为为I I0 0, ,= =( (2 2) )当当I I0 0= =I II I+

29、 +z z+ +y y+ +x x方方程程为为0 0时时, ,( (1 1) )当当I I的的简简化化方方程程如如下下：用用不不变变量量表表示示二二次次曲曲面面: :定定理理4 43 32 21 11 11 12 21 11 11 12 21 12 24 43 32 21 12 22 21 11 12 22 21 12 24 43 32 22 22 22 22 22 21 12 24 43 32 24 42 22 22 21 14 43 33 34 42 23 32 22 22 21 13 30681410446751222 zyxyzxzzyx面面的的标标准准方方程程：利利用用不不变变量量求

30、求二二次次曲曲例例068482101072222 zyxxzyzxyzyx为为标标准准式式：利利用用不不变变量量化化简简方方程程例例0222222),(44342414231312233222211 azayaxayzaxzaxyazayaxazyxFS方方程程为为设设二二次次曲曲面面 ZtzzYtyyXtxxlZYXvzyxP0000000),(),(的的参参数数方方程程为为：的的直直线线，方方向向向向量量为为过过点点0),(),(),(),(2),(0000003000200012zyxFtzyxZFzyxYFzyxXFtZYX0),(),(),(),(),(, 0),()1 (00020

31、00300020001zyxFZYXzyxZFzyxYFzyxXFtZYX的二次方程这时上式是一个0),(),(),(),( 2),(0000003000200012 zyxFtzyxZFzyxYFzyxXFtZYX, 0),()2( ZYX有有唯唯一一实实交交点点与与则则方方程程有有唯唯一一解解，故故的的一一次次方方程程，若若这这时时上上式式是是一一个个SlzyxZFzyxYFzyxXFt0),(),(),(000300020001 无交点无交点与与则方程矛盾，故则方程矛盾，故SlzyxFzyxZFzyxYFzyxXF0),(0),(),(),(000000300020001 一条母线一条母

32、线叫做曲面叫做曲面上，直线上，直线每点都在曲面每点都在曲面上的上的的恒等式，直线的恒等式，直线则方程为则方程为SlSltzyxFzyxZFzyxYFzyxXF0),(0),(),(),(000000300020001 0)zz,yy,xx(ZYX)z,y,x(P0000000成的曲面方程为为方向的所有直线所组：近方向，并且以二次曲面的渐过定点0)(2)(2)(2)()()(002300130012203320222011 zzyyazzxxayyxxazzayyaxxa即即：的渐近方向锥面叫做二次曲面为顶点的二次锥面，是以S)z,y,x(P0000的的中中心心叫叫做做二二次次曲曲面面上上，点点

33、仍仍然然在在曲曲面面的的对对称称点点关关于于点点上上任任意意点点：如如果果定定义义SCSMCMS212 0),(0),(0),(),(1340330230130003240230220120002140130120110001000azayaxazyxFazayaxazyxFazayaxazyxFSzyxC的的中中心心当当且且仅仅当当为为二二次次曲曲面面：定定理理的的中中心心方方程程组组面面则则该该方方程程组组叫叫做做二二次次曲曲的的解解的的中中心心坐坐标标是是下下列列方方程程定定义义：二二次次曲曲面面SazayaxazyxFazayaxazyxFazayaxazyxFS 0),(0),(0)

34、,(343323133242322122141312111)()()(a)a()(*342414*3,1*BrAraaaABaATjiij，秩秩分分别别为为：并并且且，增增广广矩矩阵阵记记系系数数矩矩阵阵 次曲面没有中心，称为无心二时，方程组无解。曲面当叫面心二次曲面的中心平面，平面叫做的中心。该都是一个平面，平面上的点时，方程组的解构成当叫线心二次曲面的中心直线，该直线称的中心的点都是组成一条直线，直线上时，方程组的解可以当叫中心二次曲面因此曲面有唯一中心，时，方程组有唯一解即当SBrArSSSBrArSSSBrArIBrAr)()()4(1)()()3(2)()()2(0, 3)()()

35、1 (*3*0033 II面面的的充充要要条条件件；二二次次曲曲面面为为非非中中心心曲曲二二次次曲曲面面的的充充要要条条件件是是推推论论：二二次次曲曲面面为为中中心心线心曲面，面心曲面和无心曲面都称为非中心二次曲面线心曲面，面心曲面和无心曲面都称为非中心二次曲面定义定义3：通过中心二次曲面的中心并具有：通过中心二次曲面的中心并具有方向的方向的直线称为直线称为线，以二次曲面的中心为顶点的线，以二次曲面的中心为顶点的方向锥面叫做二次曲面的方向锥面叫做二次曲面的锥面锥面命题命题1：二次曲面的一族平行弦的中点所成的轨迹在一个平面上：二次曲面的一族平行弦的中点所成的轨迹在一个平面上定义定义1：二次曲面沿

36、非：二次曲面沿非方向方向X：Y：Z的所有平行弦中点所在的所有平行弦中点所在平面叫做二次曲面共扼于方向平面叫做二次曲面共扼于方向X：Y：Z的径面的径面推论推论1：中心二次曲面的任何径面必须通过它的中心；线心：中心二次曲面的任何径面必须通过它的中心；线心二次曲面的任何径面通过它的中心直线；面心二次曲面的二次曲面的任何径面通过它的中心直线；面心二次曲面的径面与它的中心平面重合径面与它的中心平面重合向，简称奇向叫做二次曲面的奇异方那么满足的渐近方向：二次曲面定义Z:Y:X0)z, y, x(0)z, y, x(0)z, y, x(Z:Y:XS2321023 IS有有奇奇向向的的充充要要条条件件：二二次

37、次曲曲面面命命题题的的任任意意径径面面的的奇奇向向平平行行于于：二二次次曲曲面面命命题题SS3定义定义3：如果二次曲面的径面垂直于它所共扼的方向，那么：如果二次曲面的径面垂直于它所共扼的方向，那么这个径面就叫做二次曲面的主径面。这个径面就叫做二次曲面的主径面。命题命题4：二次曲面至少有一个主径面。：二次曲面至少有一个主径面。0222222),(44342414231312233222211 azayaxayzaxzaxyazayaxazyxFS方方程程为为设设二二次次曲曲面面 ZtzzYtyyXtxxlZYXvSzyxP0000000),(),(的的参参数数方方程程为为：的的直直线线，方方向向

38、为为过过称为切点的一条切线，重合交点叫做相重的实交点，将有两个与曲面线的非渐近方向，如果直为曲面设0:PSlSlSZYX的一条切线为的一条母线，称为即上整个在曲面的渐近方向，且为曲面如果SlSlSlSZYX:0),(),(),(, 0),(000300020001 zyxZFzyxYFzyxXFZYXSl且且仅仅当当有有两两个个重重合合的的实实交交点点当当与与0),(),(),(0),(0003000200010 zyxZFzyxYFzyxXFZYXSlSP且且的切线当且仅当的切线当且仅当是曲面是曲面直线直线过过奇奇点点，否否则则叫叫奇奇异异点点，简简称称叫叫做做二二次次曲曲面面的的正正常常点

39、点不不全全为为零零，那那么么点点如如果果上上，故故在在二二次次曲曲面面：过过定定义义),()3 , 2 , 1)(,(0),(),(100000000000000zyxPizyxFzyxFSzyxPi 处处的的法法线线叫叫做做二二次次曲曲面面在在点点直直的的直直线线且且与与该该点点处处的的切切平平面面垂垂切切点点。把把过过点点叫叫做做处处的的切切平平面面，点点在在组组成成的的平平面面叫叫做做曲曲面面的的所所有有切切线线上上的的正正常常点点：通通过过二二次次曲曲面面定定义义000002PPPPSPS0),()(),()(),()(),(100030000200001000000 zyxFzzzy

40、xFyyzyxFxxPSSzyxP处处的的切切平平面面方方程程为为：在在点点则则的的正正常常点点，是是二二次次曲曲面面：如如果果点点命命题题0)()()()()()(),(1440340240140023001300120330220110000 azzayyaxxazyzyaxzzxaxyyxazzayyaxxazyxPS处处切切平平面面方方程程：在在正正常常点点：二二次次曲曲面面推推论论的的切切锥锥面面为为为为顶顶点点的的二二次次锥锥面面，称称以以的的二二次次齐齐次次方方程程，表表示示是是关关于于：命命题题SPzzyyxxzyxFzzyyxxzyxFzzzyxFyyzyxFxx000000

41、00002000300002000010,0),(),(),()(),()(),()(2 0222),(2112222211cybxbxyayaxayxf方程为平面上的二次曲线011),(212221211211yxcbbbaabaayxyxfyxaaaayxyx22121211),(cbbbaabaaA21222121121122121211*aaaaA4.8.1、二次曲线方程的化简和分类011),(212221211211yxcbbbaabaayxyxfcossinsincosT记：yxyxbbTTTx,x,21cossinsincosyxyyxxyoxxoyo则转轴公式为：变为新坐标系角

42、，将坐标系转过假设绕原点代入二次曲线的方程则转轴公式为：xx T01x1001001x*TcATTTT01x1x*cTTTATTTTT进一步整理得：的系数矩阵，从中得：是新方程中二次项),(*yxTATT2cos2sin)(21)sin(coscossin)(1211222212112212aaaaaaa022,22cot021222211112221112cybxbyaxaaaaa数为零的充要条件时，新方程的交叉项系当定理4.8.1、平面上的二次曲线方程经过平面直角坐标变换可以化为下面的三个简化方程之一0) 1 (222211cyaxa02)2(1222xbya0)3(222cya二次曲线的

43、九种标准形式为表示椭圆1)1 (2222byax表示虚椭圆1)2(2222byax一对相交直线0)5(2222byax抛物线pxy2)6(2表示一点0)3(2222byax双曲线1)4(2222byax一对虚平行线0)8(22 ay一对重合直线0)9(2y一对平行直线0)7(22 ay112111),(byaxayxf记222122),(byaxayxfyaxayx12111),(记yaxayx22122),(4.8.2、二次曲线与直线的相关位置YtyyXtxxlYXyx0000),(：的直线：且具有方向过点的情况中的交点可以看下面方程与二次曲线tyxftyxYfyxXftYXyxf0),()

44、,(),( 2),(0),(:0000200120),(),(4),(),( 40),(002002001yxfYXyxYfyxXfYX时（一）当0),(),(),( 2),(000020012yxftyxYfyxXftYX对于方程有两个不同的交点直线与二次曲线时，方程有两个实根，0) 1 (交点二次曲线有一个二重实根，直线与时，方程有两个相同实0)2(二次曲线有两个虚交点根，直线与时，方程有两个共扼虚0)3(时，方程是一次方程（二）当0),(YX有唯一交点有唯一解，曲线和直线的方程，关于当tyxYfyxXf0),(),() 1 (002001线无交点的方程无解，直线与曲关于时，）当（tyxf

45、yxYfyxXf0),(, 0),(),(200002001是二次曲线的一部分的方程有无穷解，直线关于时，）当（tyxfyxYfyxXf0),(, 0),(),(300002001点曲线的切线，交点是切在曲线上都叫做直线是直线整个有一个二重实交点，或我们把直线与二次曲线（三）切线与切点，有唯一的一条切线不全为零，则过点，上一点，如果是：设性质0),()(),()(),(),(),(1002000100002001000yxfyyyxfxxPyxfyxfyxP切线线就是切线，否则无实两个一次方程表示的直，的两个一次方程的乘积，成决定，如果它可以分解，的切线由方程外一点，则过点是：设性质yxyxf

46、yyxxyxfyyyxfxxPyxP0),()(),()(),()(),(2000020020001000004.8.3、二次曲线的中心、主方向与主直径YtyyXtxxlYXyx0000),(：的直线：且具有方向过点时满足：当方向02),(22212211YaXYaXaYXYX上在，或或有一交点，或没交点与直线ll渐近方向的渐近方向，否则叫非二次曲线叫做的方向、满足条件定义YXYX:0),(1 . 8 . 522211212222122112212110),(,02),(0,IaaaYXYaXYaXaYXaaa的判别式最终依赖于最多有两个二次曲线的渐近方向最多有两个解，也就是，不全为的二次项系

47、数由于221212112aaaaI 其中：为椭圆型二次曲线；方向，渐近方向是一对共扼虚 , 0) 1 (2I抛物线型二次曲线。，有实渐近方向，)( :0) 3(122211122aaaaI为双曲型二次曲线；有两个实渐近方向， , 0)2(2I线段叫做二次曲线的弦我们将这两点决定的直总交于两点，与曲线，那么直线即有非渐近方向是二次曲线的方向如果直线lYXYXl0),(,:上上的的对对称称点点也也在在一一点点关关于于上上任任意意的的一一个个中中心心，如如果果称称为为二二次次曲曲线线、点点定定义义CC2 . 8 . 40),(0),(,),(2 . 8 . 42022012002101201100100byaxayxfb