第4章 平面一般力系

1、第4章 平面一般力系4-5 平面平行力系的平衡条件4-6 物体系统的平衡问题4-7 滑动摩擦4-3 分布荷载4-4 平面一般力系的平衡条件4-2 平面一般力系向一点简化4-1 力线平移定理前 言 平面一般力系是指位于同一平面内的诸力其作用线既不汇交于一点，也不互相平行的力系。前 言 工程计算中的很多实际问题都可以简化为平面一般力系来处理。F1FnF2 图示的屋架，它所承受的恒载、风载以及支座约束力所组成的力系;可简化为平面一般力系。(a)(b) 图示的起重机简图，配重、荷载、自重、及支座约束力所组成的力系可视为一个平面一般力系。(a)PFAyFBy(b)P4-1 力线平移定理( )( )BBM

2、FdMMFF定理 ： 作用在刚体上某点的力 F，可以平行移动到刚体上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力 F 对平移点之矩。 证明如下图所示：(a)AB dFFABdFF(b)BdFAM=Fd(c) 可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力来等效替换。(a)AB dFFABdFF(b)BdFAM=Fd(c) 如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心（球的质心），则球将移动而不旋转；但若力的作用线与球相切“削球”，则球将产生移动和转动。CF(a)CF(b)F CM思考

3、题 4-1 用力线平移定理将图(a)、(b)中各主动力分别平移到轮心，由此说明两个图中的力对轮子的外效应有何不同？(a)rO1FrO1F/2F/2(b)4-2 平面一般力系向一点简化 设在某一刚体上作用着平面一般力系F1,F2,Fn ,如图所示。显然像平面汇交力系那样，用力的平行四边形法则来合成它很困难。 应用力线平移定理，将该力系中的各个力逐个向刚体上的某一点O（称为简化中心）平移,再将所得的平面汇交力系和平面力偶系分别合成。F1F2Fn平面一般力系平面力偶系平面汇交力系向一点简化合成合成FR（合力）MO（合力偶）(a)F1F2FnF1FnF2Od1d2dn(b)F2 OF1FnM1M2Mn

4、(c) OyxMOFR(d)R1212nnFFFFFFFF F(4-1) 事实上，可直接用原力系F1，F 2，.F n 的各力作出力多边形，力多边形的封闭边称为原力系的主矢。 FR的大小和方向等于主矢，作用点在O点。由此可见，主矢与简化中心的位置无关。1212()()()()OnOOOnOMMMMMMMMFFFF(4-2)由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它反映了原力系中各力的作用线相对于O点的分布情况，称为原力系对O点的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。R0,0OFM 平面一般力系的三种简化结果：1. 力系简化为合力偶2. 力系简化为合力R0,0OFM FR就是原力系的合力，合力的作

5、用线通过简化中心。(1)OMOFR力系仍可简化为一个合力，但合力的作用线不通过简化中心。 MOOO(a)FR(b)OOFRdFRFR(2)R0,0OFM (c)OOdFR3. 力系平衡R0,0OFM 平面一般力系如果有合力，则合力对该力系作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的代数和。合力矩定理OMOFRRRR(),(),()()OOOOOOMFdMMMMMFFFF如下图所示，显然有证明： MOOO(a)FR(b)OOFRdFRFR 一平面力系向A、B两点简化的结果相同，且主矢和主矩都不为零，问是否可能？ F1F2FnABFRAB答：合力与两点连线平行时可能。思考题 4-1 在什么情况下

6、，一平面力系向一点简化所得的主矩为零？F1F2FnA 思考题 4-2 有一平面一般力系向某一点简化得到一合力，问能否另选适当的简化中心而使该力系简化为一力偶？为什么？F1F2FnAB思考题 4-34-3 分布荷载 集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。例如，铁轨给轮子的力等。FN几种分布荷载： 体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各点上。例如，构件的自重等。 面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风压力、雪压力等。 线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。(1) 集中荷载的单位，即力的单位 (N，kN)。分布荷载的大小用集

7、度表示，指密集程度。1. 荷载的单位(2) 体分布荷载的单位： N/m3 ，(3) 面分布荷载的单位： N/m2 ，(4) 线分布荷载的单位： N/m 。(1) 均布荷载：集度为常数的分布荷载。例如图中的均布荷载的合力为：10.91 16 174 .6 kN,Fq l 其作用线通过梁的中点。Fq=10.91 kN/mFBFAl=16 m2. 分布荷载的计算方法如坝体所受的水压力等。ABqyyC(2) 非均布荷载：荷载集度不是常数。求图示梁上线性分布荷载的合力。ABxxxylxcFR0q解： 取坐标系如图所示。在x处取一微段，其集度为0 xqql微段上的荷载为：0qFx qxxl 以A为简化中心

8、，有R0R00( )limxxyxFFqFFxxl C例题 4-100R00022000d2( )( )d3limlAAxlqqFx xllqMMxx xlqqxxll F 由此可见，分布荷载合力的大小等于荷载集度图的面积。合力作用线的位置为：20R0/32/23AcyqlMxlFql例题 4-1ABxxxylxcFR0qC 已知水坝的坝前水深 h=10 m , 求1 m长的坝面上水压力的合力之大小和作用线的位置。ABqyyCFdhqdy1 m例题 4-2解：在深度为y处，水的压强2kN/mpg y 取1 m 长的坝体考虑时，作用于坝面的水压力可以简化为沿坝面中心线平行分布的线荷载。(1d )

9、(kN/m )d(kN/m)yhg yyqg yyqg hABqyyCFdhqdy1m例题 4-2(g 9.81kN/m3 , 为水的密度，g为重力加速度。 ) 该分布荷载是呈三角形分布的，其合力大小为三角形的面积，作用线在距底边2/3高度处。11(9.81 10) 10491 k N2222106.67 m33FqhdhABqyyCFdhqdy1 m例题 4-24-4 平面一般力系的平衡条件 平面一般力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩都为零。R0,0OFM 平面一般力系的平衡方程为：0,0,()0 .xyOFFMFOMOFR 图示一悬臂式起重机简图，A、B、C处均为光滑铰

10、链。均质水平梁AB自重 P = 4 kN,荷载 F =10 kN,有关尺寸如图所示，BC杆自重不计。求BC杆所受的拉力和铰链A给梁的约束力。例题 4-3ABDEPF030C2m1m1m 解：(1) 取AB梁为研究对象。(2) 画受力图。 未知量三个：FAx、FAy、FT ，独立的平衡方程数也是三个。(3) 列平衡方程，选坐标如图所示。0T0cos 300( 1 )xA xFFF0T0sin 300 (2)yA yFFFPFABDEPFFT030 xyFAxFAy例题 4-30T( )0sin 300(3)AMF ABP AD F AE F由(3)解得T0232 4 3 1019 kN4sin

11、304 0.5PFF 以FT之值代入式(1)、(2)，可得：FAx=16.5 kN, FAy=4.5 kN。例题 4-3ABDEPFFT030 xyFAxFAy 即铰链A的反力及与x轴正向的夹角为：22017.1 kNarctan15.3AA xA yA yA xFFFFF 如果例题4-3中的荷载F可以沿AB梁移动，问：荷载F在什么位置时杆BC所受的拉力（FT）最大？其值为多少？思考题 4-4例题 4-3ABDEPFFT030 xyFAxFAy看可否求出FT、FAx、FAy；(1) 由右图所示的受力图，试按()0()00ABxMMFFF思考题 4-5(2) 由右图所示的受力图，试按()0()0

12、0AByMMFFF看可否求出FT、FAx、FAy；ABDEPFFT030 xyFAxFAy(3) 由右图所示的受力图，试按()0()0()0ABCMMMFFF看可否求出FT、FAx、FAy 。ABDEPFFT030 xFAxFAyC思考题 4-5平面一般力系平衡方程的其他形式：1. 二矩式()0()00ABxMMFFF注意：A、B两点连线不垂直于x轴。ABFRx2. 三矩式()0()0()0ABCMMMFFF注意：A、B、C三点不在一条线上。ABFRC 由右图所示的受力图，可否列出下列四个独立的平衡方程？()0()0()0ABCMMMFFF0 xF为什么其中必有一个是从属的？思考题 4-6AB

13、DEPFFT030 xFAxFAyC 图示简支梁AB。梁的自重及各处摩擦均不计。试求A和B处的支座约束力。y(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx(a)qACBDMe2aa4a解：(1) 选AB梁为研究对象。 (2) 画受力图如右图所示。 (3) 取坐标如图。例题 4-4(4) 列平衡方程NeN( )0420,0 ,0,0 ,20.ABxAxyAyBMFa Mqa aFFFFqaF F解得eNe0 ,1,243.24A xBA yFMFqaaMFqaay(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx例题 4-4 在例4-4中，试以下列三个方程求解，看会有什么问题，并说明原因。

14、()0()00AByMMFFFy(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx思考题 4-74-5 平面平行力系的平衡条件平面平行力系：0 xF yOxF1F2Fn 图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力作用线垂直，显然有：各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。平面平行力系的平衡条件为：0()0yOFMF即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。平面平行力系平衡方程的二矩式( )0( )0ABMMFFyOxF1F2Fn注意：A、B两点的连线不能与各力的作用线平行。 图示的连续梁，约束力有哪几个？求解约束力时有几个独立的未知量？能够列几个

15、独立的平衡方程？思考题 4-8qACBDMe2aa4aF4a静定和超静定的概念： 静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就能解出全部未知量。qACBMe2aaF8a 超静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量的数目超过独立的平衡方程数目，用刚体静力学方法就不能解出所有的未知量。qACBDMe2aa4aF4a注意：判断问题是否静定，不能单纯从未知量的数目来考虑，还应对问题多作具体分析。 分析图中的梁可知，虽然平衡方程数等于未知量数，实际上它不能平衡。qACBDMe2aa4aF4a 平面汇交力系的平衡方程可否用一个投影式、一个力矩式？或两个都用

16、力矩式？如果可以用，有什么限制条件？为什么要附加这种条件？F1FnoF2思考题 4-9 平面一般力系的平衡方程能否用三个投影式？为什么？F1F2Fn思考题 4-10 平面平行力系的平衡方程能否用两个投影式？为什么？yoxF1F2Fn00 xyFF？思考题 4-11平面力偶系的平衡方程能否用投影式？为什么？M=M1+ M2+ + Mn =0 , 或 M=M=0思考题 4-13M1M2Mn4-6 物体系统的平衡问题 物体系：由几个物体通过一定的约束方式联系在一起的系统。CD3m1.5m4.5m3mAB20 kN2m2.5m 1.5m10 kNE2 kN/mG1. 内力和外力外力：系统以外的物体给所

17、研究系统的力。内力：因外力作用, 在系统内部，各个物体之间，或一个物体的这一部分与另一部分之间，相互作用的力。AB20 kNFAxFAyFBCFCyFCx2 kN/mEGFEyFExFG10 kNFCyFCxFDFEyFExCECD3m1.5m4.5m3mAB20 kN2m2.5m 1.5m10 kNE2 kN/mG2. 物体系平衡问题的静定或超静定 物体系是由几个物体组成，可分别分析各个物体的受力情况，画出受力图。 若未知量总数超过独立的平衡方程总数，则问题是超静定的。 总计独立平衡方程数，与问题中未知量的总数相比较。 根据受力图的力系类型，可知各有几个独立的平衡方程，如平面一般力系有三个独

18、立的平衡方程等。 若未知量总数小于独立的平衡方程总数，则系统可能不平衡，而若计算表明，所有的平衡方程都能满足，则说明系统处于平衡，但题给的条件有些是多余的或系统的结构是不稳固的。 若未知量总数正好等于独立的平衡方程总数，则问题是静定的。注意： (1) 在总计独立的平衡方程数时，应分别考虑系统中每一个物体，而系统的整体则不应再加考虑。因为系统中每一个物体既已处于平衡，整个系统当然处于平衡，其平衡方程可由各个物体的平衡方程推出，因而就不独立了。(2) 在求解物体系的平衡问题时，不仅要研究整体，还要研究局部个体，才能使问题得到解决。应该从未知量较少或未知量数等于独立的平衡方程数的受力图开始，逐步求解

19、。 求图示多跨静定梁的支座约束力。梁重及摩擦均不计。例题 4-5CD3m1.5m4.5m3mAB20 kN2m2.5m 1.5m10 kNE2 kN/mG2 kN/mEGFEyFExFG10 kNFCyFCxFDFEyFExCE 分析：未知量9个，5个支座约束力，C、 E处铰链反力各2个，共9个未知量。考虑3个梁的平衡，共有9个独立的平衡方程。所以系统是静定的。AB20 kNFAxFAyFBCFCyFCx例题 4-5CD3m1.5m4.5m3mAB20 kN2m2.5m 1.5m10 kNE2 kN/mGxy0,0.xE xFF由对称关系得：由对称关系得：1(2 4.5)4.5 kN( ).2

20、EyGFF2 kN/mEGFEyFExFG(2) 研究CE梁10 kNFCyFCxFDFEyFExCE00,0 xCxExCxExFFFFF例题 4-5解：(1) 研究EG梁( ) 04.5 10 26 010.44 kNCDEyDMFFF F01004.06 kNyCyDEyCyFFFFF10 kNFCyFCxFDFEyFExCExy(3) 研究AC梁00,0 xAxCxCxAxFFFFFAB20 kNFAxFAyFBCFCyFCx例题 4-5( ) 06 20 37.5 015.08 kNABCyBMFFF F02008.98 kNyAyBCyAyFFFFFxy例题 4-5AB20 kNF

21、AxFAyFBCFCyFCx 若将A处改为活动铰支座，则未知量数目为8个，但在图示荷载下仍能平衡。当主动力的合力在x轴上的投影不为零时，系统能否平衡？xyCD3m1.5m4.5m3mAB20 kN2m2.5m1.5m10 kNE2 kN/mG思考题 4-13 图示三铰拱上，作用着均匀分布于左半跨内的铅直荷载，其集度为q (kN/m),拱重及摩擦均不计。求铰链A、B处的约束力。CABFA xFA yFB xFB y q例题 4-6qCABhl/2l/2解：(1) 研究整体其受力如图所示。()030243kN ().8BAyAyMllFlqq lF F()002 4kN ().8AByByMllF

22、lqq lF F例题 4-6CABFA xFA yFB xFB y q00.xAxBxAxBxFFFFF(2) 研究AC,并画其受力图。22()0310,8 224kN(),16kN().16CAxAxBxMlq l lFhqlq lFhq lFh FqCAFAxFAyFCyFCx例题 4-6CABFA xFA yFB xFB y q 用另一种方法解例4-6。思考题 4-14FBCABFA xFA yq判断图中受力图是否正确？qChABFAy=0.5qlFBy=0.5ql?思考题 4-15qCABhl/2l/2由左半部分受力图可知，AC不能平衡，(a)图是错的。qCAFCyFCxFAy=0.5

23、ql(b)0.5qlChABFAy=0.5qlFBy=0.5ql(a)4 -7 滑动摩擦 一切物体表面都具有不同程度的粗糙度或物体变形，当两物体相接触且有相对运动或相对运动趋势时，由于接触面间的凹凸不平或变形，就产生了相对运动的阻力，这种阻力称为摩擦力。1. 摩擦力也可分为静摩擦和动摩擦。 (1) 静摩擦：两物体仍保持静止,仅有相对运动的趋势时的摩擦。(2) 动摩擦：两物体有相对运动时的摩擦。 本节讨论静滑动摩擦的情形，且只讨论干摩擦的问题，研究具有静滑动摩擦的平衡问题。 图中为一放置在水平的粗糙面上的物体。分析它在几种情况下的受力图：FFNF(a)s1FF ssNF f FF(c)F2FFN

24、FmaxF2maxsNFfF(b)FFFNFsF1F12. 考虑滑动摩擦的平衡问题 考虑摩擦的平衡问题的解法与没有摩擦的平衡问题一样，其特点是：(1) 受力分析时应考虑摩擦力，摩擦力的方向与相对滑动的趋势方向相反；(2) 除满足力系的平衡条件外，各处的摩擦力必须满足摩擦力的物理条件，即ssNFfF(3) 平衡问题的解一般是以不等式表示的一个范围，称为平衡范围。 重量为 P 的物体置于斜面上，如图所示。已知物块与斜面之间的静摩擦因数 f s，问： (1) 斜面的倾角j 增大到多少时（以j1表示），物块将下滑？PxyFFN1j1j(a)jPxyj例题 4-7(2) 在jj1的情况下，须在物块上沿斜

25、面至少施加多大的力FT 才能使物块下滑？PxyFFNFTjj(b)(3) 欲使物体沿斜面向上滑动，须在物块上沿斜面至少施加多大的力FT？PxyFFNFTjj(c)例题 4-7解：(1) 画受力图如右。列平衡方程考虑极限平衡状态有：11N1N10sin0sin0cos0cosxyFFPFPFFPFPjjjj (1)(2)maxsNFFfF从而得到：1s1stan,arctan.ffjjPxyFFN1j1j(a)例题 4-7(2) 画受力图如右列平衡方程TTNN0sin0sin0cos0cosxyFFPFFFPFFPFPjjjj从而得到：Ts(cossin).FP fjjPxyFFNFTjj(b)考虑极限平衡状态有：m axsNF Ff F当时, 物块才能下滑。Ts(cossin)FPfjj例题 4-7(3) 画受力图如右列平衡方程TTNN0sin0sin0cos0cosxyFFPFFFPFFPFPjjjj PxyFFNFTjj(c)考虑极限平衡状态有：maxsNFFfF从而得到：Ts(cossin).FP fjj当时，物块才能上滑。Ts(cossin)FP fjj例题 4-7 如图所示的物块，若