第4章时间序列分解法和趋势

1、第第4章章 时间序列分解法和趋势外推法时间序列分解法和趋势外推法4.1 时间序列分解法4.2 趋势外推法概述4.3 多项式趋势外推法4.4 指数曲线趋势外推法4.5 生长曲线趋势外推法4.6 曲线拟合优度分析回总目录 一、时间序列的分解一、时间序列的分解 （一）长期趋势因素（一）长期趋势因素（T） （二）季节变动因素（二）季节变动因素（S) (三三)周期变动因素周期变动因素(C) (四四)不规则变动因素不规则变动因素(I) 二、时间序列分解模型二、时间序列分解模型),(tttttICSTfY 加法模型加法模型tttttICSTY一般模型一般模型乘法模型乘法模型tttttICSTY三、时间序列的

2、分解方法三、时间序列的分解方法一般是先计算季节指数，然后计算长期趋势和季节变动。一般是先计算季节指数，然后计算长期趋势和季节变动。当分解出当分解出T、S和和C后，剩余部分即为后，剩余部分即为I。4.1 时间序列分解法时间序列分解法回本章目录回总目录商品销售额商品销售额 的的12年数据年数据季度季度（1 1）t t(2)(2)销售额销售额Y Y（3 3）四项平均四项平均 (4)(4)居中平均居中平均TCTC(5)(5)Y/TC=SI(%)Y/TC=SI(%)(6)(6)长期趋势长期趋势T T（7 7）周期变动周期变动C(%) C(%) (8)(8)1986 11986 1 2 2 3 3 4 4

3、1987 11987 1 2 2 3 3 4 4 1997 11997 1 2 2 3 3 4 41 12 23 34 45 56 67 78 845454646474748483017.63017.63043.543043.542094.352094.352809.842809.843274.83274.83163.283163.282114.312114.313024.573024.575258.715258.715189.585189.583596.763596.763881.63881.6- - -2741.3332741.3332805.6332805.6332835.5682835

4、.5682840.5582840.5582894.242894.242907.412907.414611.0934611.0934642.7484642.7484481.6634481.663- - - -2773.4832773.4832820.62820.62838.0632838.0632867.3992867.3992900.8252900.8252948.6852948.6854626.924626.924562.2054562.205- - - - -75.5133775.5133799.6185299.61852115.3886115.3886110.3188110.318872

5、.8865172.88651102.5735102.5735113.6547113.6547113.1776113.1776- - - - -2852.9642852.9642891.9182891.9182930.8732930.8732969.8272969.8273008.7823008.7823047.7363047.7364489.0474489.0474528.0024528.0024566.9564566.9564605.914605.91- - -97.2140797.2140797.5338797.5338796.8333696.8333696.5510396.5510396

6、.4119596.4119596.7500296.75002103.0713103.0713100.7554100.7554- - -回本章目录回总目录（一）季节指数（一）季节指数S的计算的计算 本例采用乘法模型本例采用乘法模型Y=TCSI，先用移动平均法剔除季节因素，先用移动平均法剔除季节因素S和不规则变动因素和不规则变动因素I而得到长期趋势和周期变动的综合影响而得到长期趋势和周期变动的综合影响TC，再，再将将Y除以除以TC就得到了只含季节因素和不规则变动的序列就得到了只含季节因素和不规则变动的序列SI。将。将SI重重新排列并按季平均，最后用修正系数新排列并按季平均，最后用修正系数400/1

7、00.1827=0.999543修正修正后即得该商品销售额的季节指数。后即得该商品销售额的季节指数。年份年份一季度一季度二季度二季度三季度三季度四季度四季度合计合计198619871988198919901991199219931994199519961997115.3886109.7938111.2789113.8879114.0353112.3512111.4712110.5022111.2412110.4947113.6547110.3188111.6255110.9471107.9398106.6651107.1178105.3281108.8565109.6328111.606711

8、3.751675.5133772.8865175.478471.7120176.0767975.2542575.5522575.7353677.9315776.6487276.5434899.61852102.5737405.8364103.511103.6399107.0172106.6722104.4531101.692103.182898.59037同季合计同季合计同季平均同季平均季节指数季节指数1234.1112.1909112.13971203.79109.4354109.3855829.332775.3938875.359471134.787103.1625103.1154400.

9、1827400回本章目录回总目录(二二) 长期趋势长期趋势T的计算的计算 作散点图作散点图,可看出本例的销售额有明显的直线上升趋势可看出本例的销售额有明显的直线上升趋势,故用直线拟合故用直线拟合,可可得如下回归方程得如下回归方程: T=2736.101+38.95436t由此可求出各季度的长期趋势值由此可求出各季度的长期趋势值,如如1997年第二季度年第二季度t=46,其长期趋势为其长期趋势为: T=2736.101+38.95436*46=4528.00156( (三三) )周期变动因素周期变动因素C C的计算的计算 将序列将序列TCTC除以除以T T即可得到周期变动因素即可得到周期变动因素

10、C.C.( (四四) )不规则变动因素不规则变动因素I I的计算的计算 当将序列的当将序列的T T、S S、C C分解出来后，剩余的即为不规则变动分解出来后，剩余的即为不规则变动 I=Y/(TSC)I=Y/(TSC)四、时间序列分解预测法的应用四、时间序列分解预测法的应用在求出时间序列个因素后，即可根据模型进行预测在求出时间序列个因素后，即可根据模型进行预测tttttICSTY预测时，一般无法预测不规则变动因素预测时，一般无法预测不规则变动因素I，因此模型可以表达为，因此模型可以表达为：tttCSTY回本章目录回总目录 如预测如预测1998年第一季度的销售额年第一季度的销售额,先求出长期趋势先

11、求出长期趋势 T=2736.101+38.95436*49=4644.865第一季度的季节指数为第一季度的季节指数为1.21397,周期变动周期变动C则需用判断的方法来估计则需用判断的方法来估计,据上表据上表数据表现出来的周期性可估计为数据表现出来的周期性可估计为C=0.98,从而预测从而预测1998年第一季度的销售额年第一季度的销售额561.510498. 021397. 1865.464449494949CSTY 同样可得同样可得1998年其他各季度的销售额预测值如下表年其他各季度的销售额预测值如下表,其中其中C值均是根值均是根据历史数据采用主观判断法确定的据历史数据采用主观判断法确定的.

12、季度季度TSC销售额销售额预测值预测值 11998 2 31998 44644.8654683.8194722.7734761.7281.213971.0938550.7535951.0311540.980.99115104.5615072.1843559.0574910.073回本章目录回总目录4.2 趋势外推法概述趋势外推法概述 一、趋势外推法的概念和假定条件一、趋势外推法的概念和假定条件 1.趋势外推法的概念趋势外推法的概念 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降的趋势，并且无明显的季当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降的趋势，并且无明显的季节节波动，又能找到合适的函数曲线反映这种变化

13、趋势时，就可用时间波动，又能找到合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可用时间t为自变为自变量，时序数值量，时序数值y为因变量，建立趋势模型为因变量，建立趋势模型 y=f(t)当有理由相信这种趋势能够延伸到未来时，赋予变量当有理由相信这种趋势能够延伸到未来时，赋予变量t所需要的值，可以得所需要的值，可以得到相应时刻的时间序列未来值。到相应时刻的时间序列未来值。 2.趋势外推法的假设条件趋势外推法的假设条件 （1）假设事物发展过程没有跳跃式变化，一般属于渐进变化。）假设事物发展过程没有跳跃式变化，一般属于渐进变化。 （2）假设事物的发展因素也决定事物未来的发展，其条件是不变或变）假设事物的发展因素

14、也决定事物未来的发展，其条件是不变或变化不大。也就是说，假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合未来，能化不大。也就是说，假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合未来，能代表未来趋势变化的情况，即未来和过去的规律一样。代表未来趋势变化的情况，即未来和过去的规律一样。回本章目录回总目录二、趋势模型的种类二、趋势模型的种类（一）多项式曲线预测模型（一）多项式曲线预测模型 1.一次（线性）预测模型：一次（线性）预测模型：tbbyt102.二次（抛物线）预测模型：二次（抛物线）预测模型：2210tbtbbyt3.三次预测模型：三次预测模型：332210tbtbtbbyt4.n次预测模型：次预测模型：n

15、nttbtbtbby2210式中：式中：t代表时间自变量。代表时间自变量。 （二）指数曲线预测模型（二）指数曲线预测模型 常见的指数曲线预测模型有：常见的指数曲线预测模型有： 1.指数曲线预测模型：指数曲线预测模型：bttaey 2.修正指数曲线预测模型：修正指数曲线预测模型：ttbcay（三）对数曲线预测模型（三）对数曲线预测模型 常见的对数曲线预测模型有：常见的对数曲线预测模型有：tbaytln（四）生长曲线预测模型（四）生长曲线预测模型1.皮尔曲线预测模型：皮尔曲线预测模型：bttaeLy12.龚珀兹曲线预测模型：龚珀兹曲线预测模型：tbtkay （L L是是y y的极限值）的极限值）回

16、本章目录回总目录四、趋势模型的选择四、趋势模型的选择 （一）图形识别法（一）图形识别法 以时间以时间t为横轴、时序观察值为横轴、时序观察值y为纵轴绘制为纵轴绘制散点图散点图，以便选择较为合适的，以便选择较为合适的模型。有时由于几种模型接近而无法通过图形直观确认某种模型，这就必须模型。有时由于几种模型接近而无法通过图形直观确认某种模型，这就必须同时对几种模型进行试算，最后将标准误差最小的模型作为预测模型。同时对几种模型进行试算，最后将标准误差最小的模型作为预测模型。 （二）差分法（二）差分法一阶差分：一阶差分：1tttyyy或或1tttyyy二阶差分：二阶差分：1 tttyyy或或12tttyy

17、yk阶差分：阶差分：111ktktkyyyy或或111tktktkyyy时序（时序（t）yt=a+bt一阶差分一阶差分（yt-yt-1)123t-1ta+ba+2ba+3ba+(t-1)ba+tb-bbbb回本章目录回总目录二次（抛物线）模型差分计算表二次（抛物线）模型差分计算表-2b22b22b22b2-b1+3b2b1+5b2b1+7b2b1+(2t-3)b2b1+(2t-1)b2b0+b1+b2b0+2b1+4b2b0+3b1+9b2b0+4b1+16b21234t-1t二阶差分二阶差分一阶差分一阶差分时序（时序（t）2210tbtbbyt1tttyyy1 tttyyy221011btb

18、tb2210tbtbb回本章目录回总目录指数曲线模型差分计算表指数曲线模型差分计算表-1234t-1t一阶差比率一阶差比率时序（时序（t）bttaey 1/ttyybaebae2bae3bae4btae1tbaebebebebebe回本章目录回总目录修正指数曲线模型差分计算表修正指数曲线模型差分计算表-cccc-1234t-1t一阶差的一阶差的一阶比率一阶比率一阶差分一阶差分时序（时序（t）ttbcay1tttyyy1ttyybca2bca3bca4bca1tbcatbca1cbc12cbc13cbc12cbct11cbct回本章目录回总目录4.3 多项式曲线趋势外推法多项式曲线趋势外推法一般

19、形式：一般形式：kkttbtbtbby2210当当k=1时，时， 为直线模型；为直线模型；当当k=2时，时， 为抛物线模型；为抛物线模型；当当k=n时，时， 为为n次多项式模型。次多项式模型。（一）二次多项式曲线模型及其应用（一）二次多项式曲线模型及其应用二次多项式预测模型为：二次多项式预测模型为：2210tbtbbyt设有一组统计数据设有一组统计数据y1、y2、yn,令令ntntttttbtbbyyybbbQ11222102210,=最小值最小值0bQ22102tbtbby=01bQttbtbby22102=02bQ222102ttbtbby=0回本章目录回总目录经整理得：经整理得：yttb

20、tbtbtytbtbtbytbtbnb2423120322102210解此三元一次方程组可求得解此三元一次方程组可求得b0、b1、b2三个参数。三个参数。例如，某商店某种产品的销售量如下表。例如，某商店某种产品的销售量如下表。年份年份198919891990199019911991199219921993199319941994199519951996199619971997销售量销售量（万件）（万件）10.010.018.018.025.025.030.530.535.035.038.038.040.040.039.539.538.038.0试预测试预测1998年的销售量，并要求在年的销售量

21、，并要求在90%的概率保证程度下给出预测的置信区间。的概率保证程度下给出预测的置信区间。第一步，确定预测模型。第一步，确定预测模型。1.描散点图，初步确定预测模型。描散点图，初步确定预测模型。y 40 30 20 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t从散点图的形状判断，该产品的销售量基本上符合抛物线模型。从散点图的形状判断，该产品的销售量基本上符合抛物线模型。2.计算差分，如下表。计算差分，如下表。回本章目录回总目录差分计算表差分计算表 二阶差分大致相等，其波动范围在二阶差分大致相等，其波动范围在-2.5-1.0之间。综合散点图和差分分析，最后确定之间。综合散点图和差分分析，最

22、后确定选用二次曲线模型来进行预测。选用二次曲线模型来进行预测。 第二步，求模型的参数。第二步，求模型的参数。yt10.018.025.030.535.038.040.039.538.0一阶差分8.07.05.54.53.02.0-0.5-1.5二阶差分-1.0-1.5-1.0-1.5-1.0-2.5-1.01613.5214.070860274.00合计16016210030.5038160355608-40-54-50-30.503880118.5152256811610116812561694101491610182530.535384039.538-4-3-2-1012341989199

23、01991199219931994199519961997时序（t）年份yt2t4ttyyt2回本章目录回总目录将上表数据代入三元一次方程组，得：将上表数据代入三元一次方程组，得：解得：解得： b0=35.05, b1=3.57, b2=-0.69二次多项式的模型为：二次多项式的模型为：5 .16137080602140600274600920120bbbbb269. 057. 305.35ttyt第三步，进行预测和确定预测的置信区间。若要预测1998年的销售量，则t=5，15.36567. 0557. 305.3521998y为了计算置信区间，必须计算估计标准误差，计算过程如下表。回本章目录

24、回总目录估计标准误差计算表估计标准误差计算表0.6153合计0.07290.01690.02250.08410.00250.00490.32490.00250.08410.27-0.13-0.15-0.29-0.050.070.57-0.05-0.299.7318.1325.1530.7935.0537.9339.4339.5538.2910.018.025.030.535.038.040.039.538.0198919901991199219931994199519961997年份iyiy iiyy2iiyy 32. 066153. 032nyySE置信度为置信度为90%的置信区间为：的置信

25、区间为：62176. 015.3632. 0943. 115.3610. 0SEty即即35.50万件万件36.77万件。万件。回本章目录回总目录（二、三次多项式曲线模型及其应用（二、三次多项式曲线模型及其应用 三次多项式预测模型为：三次多项式预测模型为：332210tbtbtbbyt设有一组统计数据设有一组统计数据y1、y2、yn,令令nttnttttbtbtbbyyybbbbQ12332210123210),(=最小值与二次多项式一样，通过偏导等于零可得以下方程组：与二次多项式一样，通过偏导等于零可得以下方程组：yttbtbtbtbyttbtbtbtbtytbtbtbtbytbtbtbnb

26、3635241302534231204332210332210解此四元一次方程组，可求得解此四元一次方程组，可求得b0、b1、b2、b3。回本章目录回总目录三次多项式模型差分表三次多项式模型差分表1234t-1t三阶差分二阶差分一阶差分时序（t）332210tbtbtbbyt3210bbbb3210842bbbb32102793bbbb321064164bbbb32173bbb321195bbb321377bbb32122bb 32182bb 36b36b36b322111313112bttbtb322113312bttbtb32162btb3262tbb 332210111btbtbtb33

27、2210tbtbtbb年份年份1991199219931994199519961997棉布产量（亿米）棉布产量（亿米）252340374379375385430一阶差分一阶差分88345-41045二阶差分二阶差分-54-29-91435三阶差分三阶差分25202321某市棉布产量历年数据某市棉布产量历年数据回本章目录回总目录三次多项式模型参数计算表三次多项式模型参数计算表0.526551679787625158819602825350合计0.02560.22090.20250.00250.00250.05290.0196252.16339.53374.45378.95375.05884.77

28、430.1468042720-374037530801161022681360374037515403870-756-680-37403757701290729641016472981161011681-27-8-1018279410149252340374379375385430-3-2-101231991199219931994199519961997t年份年份2t3t4t6ttyyt2yt3iy iy2iiyy 由于时间变量由于时间变量t所取的值正负抵消，这就使前面的四元一次方程组化简为：所取的值正负抵消，这就使前面的四元一次方程组化简为：yttbtbytbnb24220220yttbt

29、btytbtb363414321数据代入得数据代入得：97871962825352872020bbbb51671588196625196283131bbbb解得解得：20. 495.37820bb；解得解得：67. 337. 331bb和回本章目录回总目录于是，得到三次多项式模型：于是，得到三次多项式模型： 预测预测1998年的棉布产量为：年的棉布产量为：3267. 320. 437. 395.378ttty15.533467. 3420. 4437. 395.378321998y42. 035265. 042nyySE标准误差为：标准误差为：90%的置信区间为：的置信区间为：42. 0353

30、. 215.53310. 01998SEty即即532.16亿米亿米534.14亿米之间亿米之间。回本章目录回总目录4.4 指数曲线趋势外推法指数曲线趋势外推法一、指数曲线模型及其应用一、指数曲线模型及其应用 指数曲线预测模型为：指数曲线预测模型为：bttaey （a0）两边取对数：两边取对数：btayt lnln则由直线模型可得：则由直线模型可得：t bYAt ntYt ntYttYYttb222其中：其中：aAyYln,ln实际上实际上：2lnlnyyQ2lnyy2lnlnbtay2btAYminyb0b0,0c1b0,0c1ya0t 例如，某商品例如，某商品19891997年销售量资料如

31、下表，年销售量资料如下表，试预测试预测1998年的销售量。年的销售量。年份年份198919901991199219931994199519961997销量销量50.060.068.069.071.071.772.372.873.2第一步，选择模型。第一步，选择模型。1.描散点图，初步确定模型。描散点图，初步确定模型。10 , 0cbbcaytt来进行预测。来进行预测。2.计算一阶差比率（如下表）计算一阶差比率（如下表）由散点图可初步确定选用指数曲线预测模型由散点图可初步确定选用指数曲线预测模型ty0 1 2 3 4 5 6 7 8 9607050回本章目录回总目录yi50.060.068.06

32、9.671.171.772.372.873.2一阶差分1081.61.50.60.60.50.4一阶差比率0.80.20.940.41.00.830.8 由上表知，由上表知，yi的一阶差比率大致相等。所以，结合散点图分析，最后确的一阶差比率大致相等。所以，结合散点图分析，最后确定选用修正指数曲线模型进行预测比较适宜。定选用修正指数曲线模型进行预测比较适宜。 第二步，求模型的参数。第二步，求模型的参数。年 份 时 序销售量19891990199101250.060.068.0合 计178.019921993199434569.671.171.7合 计212.419951996199767872.

33、372.873.2合 计218.311Iy111IIIIyIIyIIyIII1 -n0ii2121011 -n0ii1 -2nnii1 -2nnii132ccbnaccyybycnnnniniiinnnii310 .1784 .2124 .2123 .218=0.5556=-22.272=73.174回本章目录回总目录所求模型为：所求模型为：第三步，进行预测。第三步，进行预测。tty5556. 0272.22174.7306.735556. 0272.22174.7391998y（万吨）回本章目录回总目录4.5 生长曲线趋势外推法生长曲线趋势外推法一、龚珀兹曲线模型及其应用一、龚珀兹曲线模型及

34、其应用龚珀兹曲线预测模型的形式为：龚珀兹曲线预测模型的形式为：tbkay 两边取对数：两边取对数：abkytlnlnln转化为修正指数曲线，从而利用前面的公式得转化为修正指数曲线，从而利用前面的公式得：11lnIlny1ln11IlnIIlnlnIlnyIIlnyIIlnyIIIln1 -n0ii2121011 -n0ii1 -2nnii1 -2nnii132bbankbbyyaybnnnniniiinnnii 龚珀兹曲线模型特别适用于对处在成熟期的龚珀兹曲线模型特别适用于对处在成熟期的商品进行预测，以掌握市场需求和销售的饱和量。商品进行预测，以掌握市场需求和销售的饱和量。因为从下面的图形分析

35、就可看出这个饱和量就是因为从下面的图形分析就可看出这个饱和量就是k或或ak。回本章目录回总目录龚珀兹曲线龚珀兹曲线0tykak(1) 0a1,0b1aky0t(2)0a1k0akyt(3)a1,0b1,b1注：可对这四个图形做出分析。tbkay 的图形的图形回本章目录回总目录 例如，某公司例如，某公司1989197年的实际销售额资料如下表，试利用龚珀兹曲线模年的实际销售额资料如下表，试利用龚珀兹曲线模型预测型预测1998年的销售额。年的销售额。年 份时序（t）销售额（万元）(y)lgy1989199019910124.946.217.180.69370.79310.8561合 计2.34291

36、992199319943457.748.388.450.88870.92320.9269合 计2.73881995199619976788.739.4210.240.94100.97411.0103合 计2.9254（1）计算参数）计算参数k、a和和b。回本章目录回总目录11lgIlgy1lg11IlgIIlglgIlgyIIlgyIIlgyIIIlg1 -n0ii2121011 -n0ii1 -2nnii1 -2nnii132bbankbbyyaybnnnniniiinnnii313429. 27388. 27388. 29254. 2314713. 0=0.7782214713. 0177

37、82. 03429. 27388. 2=-0.31413141. 017782. 014713. 03429. 231=1.030673.10,4852. 0ka（2）把）把k、a和和b带入公式带入公式tbkay 即得预测模型：即得预测模型：ty7782. 04852. 073.10（3）进行预测。）进行预测。948. 94852. 073.1097782. 01998y（万元） 已接近市场饱和点已接近市场饱和点k=10.73万元。万元。2001年预计销售量可达年预计销售量可达10.35万元，产品处于万元，产品处于生命周期的成熟阶段的最高峰，销量已无增长前景，并可能转入下降趋势。生命周期的成熟

38、阶段的最高峰，销量已无增长前景，并可能转入下降趋势。回本章目录回总目录bbbb1234t-1tttbtkay abkyttlnlnln1lnlnttyy211lnlnlnlnttttyyyybka2bka3bka4bka1tbkatbkaabklnlnabklnln2abklnln3abklnln4abktlnln1abktlnlnabbln1abbln12abbln13abbtln11abbtln1龚珀兹曲线模型一阶差比率计算表二、皮尔曲线模型及其应用二、皮尔曲线模型及其应用1.皮尔曲线函数模型的形式皮尔曲线函数模型的形式bttaeLy1注：上面例题的差比率计算留做练习。回本章目录回总目录2

39、.皮尔曲线模型的参数估计皮尔曲线模型的参数估计)1(11111tbtbtteLaLyeLaLybttaeLy1) 1(1111bbttttbteeLayyyLeatbbtyeLey1111 211111111111tbtbtttbbtyeyLeyyyenLey注：上面的求和是从注：上面的求和是从t=1到到t=n-1;回本章目录回总目录22121221111111111111111111tttttttbttttttbyynyyyyyLeyynyyyynebttaeLy1btyLat1lnlntbyLant1lnln211lnnnbyLt1ln121lntyLnnba例：某公司某商品销售资料如下表，试预测第例：某公司某商品销售资料如下表，试预测第22期的销售量。期的销售量。回本章目录回总目录0.0056730.0055880.3320.337合 计0.0004000.0003610.0003610.0003610.0003240.0003240.0002890.0002