第3章测量误差及数据处理

1、1211nniixxxxxnn u随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差量进行无限多次测量所得结果的平均值之差 iixx()n 0 xAiiiixAxxxAx射击误差射击误差示意图示意图 |xA 是粗大误差是粗大误差4x 1iipixE(X) dxxxpXE)()( )(XD 为什么测量数据和随机为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？误差大多接近正态分布？)2exp(21)(22 p2)(exp21)(22 xxp0)2exp(21)()(22 ddpE222222)2exp(21)()0(

2、)( ddpED 2 随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差差相同，只是横坐标相差 ( (a a) )随随 机机 误误 差差( (b b) ) 测测 量量 数数 据据0 )( p x xp p( (x x) )0 0图图 3 3 1 1 随随 机机 误误 差差 和和 测测 量量 数数 据据 的的 正正 态态 分分 布布 曲曲 线线随机误差具有：随机误差具有：对称性对称性 单峰性单峰性 有界性有界性 抵偿性抵偿性 0)(p1 2 3 a bP(x)概率密度概率密度: :均值均值: : 当当 时时, ,标准偏差标准

3、偏差: : 当当 时，时， 01)(abxpbxaxbxa ,2ba ba 32ab 3b ba 0 用事件发生的频度代替事件发生的概率，当用事件发生的频度代替事件发生的概率，当 则则nnxpxXEimiimiii 11)(令令n n个可相同的测试数据个可相同的测试数据x xi i(i=1.2,n)(i=1.2,n) 次数都计为次数都计为1 ,1 ,当当 时，则时，则 niiniixnnxXE1111)( n n（1 1）有限次测量的数学期望的估计值）有限次测量的数学期望的估计值算术平均值算术平均值被测量被测量X X的数学期望，的数学期望，就是当测量次数就是当测量次数 时，各次测量值的算时，各

4、次测量值的算术平均值术平均值 n niixnx11有限次测量值的算术平均有限次测量值的算术平均值比测量值更接近真值？值比测量值更接近真值？ *)()()(1)(1)1()(222122122122nniiniixxxnxnxnx )(1)(1222XnXnn nXx)()( n算术平均值算术平均值：残差：残差：实验标准偏差实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：标准偏差的估计值），贝塞尔公式：算术平均值标准偏差的估计值算术平均值标准偏差的估计值 ：xxii niiniixxnnxs1212)(1111)( nxsxs)()( niixnx11 【例【例3.13.1】 用温度计重复测量某个

5、不变的温度，得用温度计重复测量某个不变的温度，得1111个测个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。解：解：平均值平均值 用公式用公式 计算各测量值残差列于上表中计算各测量值残差列于上表中实验偏差实验偏差 标准偏差标准偏差)( 1 .530)531530532530529533531527529531528(11111Cxnxonii xxii )(767.111)(12Cnxsonii )(53.011767.1)()(Cnxsxso x k kxEx )(置信概率是图中置信概率是图中阴影部分面积阴影部分面积 kkdpkPk

6、xExP)()(997. 0)2exp(21)()3(223333 ddpP区间越宽，区间越宽，置信概率越大置信概率越大k（P=1)反正弦均匀三角分布236k k a 3a 3akka 3 k- -a aa aP P( (x x) )x x0 0 c a 0 t 图3 7 多 种 系 统 误 差 的 特 征 其 中 ： a -不 变 系 差 b -线 性 变 化 系 差 c -周 期 性 系 差 d -复 杂 规 律 变 化 系 差 d b 在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。号

7、保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。 多次测量求平均不能减少系差多次测量求平均不能减少系差。 ii0ii0 存在线性变化的系统误差存在线性变化的系统误差无明显系统误差无明显系统误差21111snniii 2/112/ninniiiD 2/)1(12/)1(ninniiiD 统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。并予以剔除。莱特检验法莱特检验法 格拉布斯检验法格拉布斯检验法 si3 sG max 式中，式中，G

8、 G值按重复测量次数值按重复测量次数n n及置信概率及置信概率PcPc确定确定 3456789101195%1.151.461.671.821.942.032.112.182.2399%1.161.491.751.942.12.222.322.412.4812131415161718192095%2.292.332.372.412.442.472.52.532.5699%2.552.612.662.72.742.782.822.852.88cpncpn解：解： 计算得计算得 s=0.033s=0.033计算残差填入表计算残差填入表3 37 7， 最大，最大， 是可疑数据。是可疑数据。 用莱特检

9、验法用莱特检验法 3 s=33 s=30.033=0.0990.033=0.099 故可判断故可判断 是粗大误差，应予剔除。是粗大误差，应予剔除。再 对 剔 除 后 的 数 据 计 算 得 ：再 对 剔 除 后 的 数 据 计 算 得 ： s = 0 . 0 1 6 s = 0 . 0 1 6 3s= 0.0483s= 0.048各测量值的残差各测量值的残差V V填入表填入表3 37 7，残差均小于，残差均小于3 s3 s故故1414个数据都为正常数据。个数据都为正常数据。404.20 x104. 08 8x8x411.20 x【例【例3.33.3】 对某电炉的温度进行多次重复测量，所得对某电

10、炉的温度进行多次重复测量，所得结果列于表结果列于表3 37 7，试检查测量数据中有无粗大误差。，试检查测量数据中有无粗大误差。 niixnx11xxii 01 nii niins1211 nssx xskxA 1205.300.090.099205.710.410.410.50.52204.94-0.4-0.4-0.27-0.2710204.7-0.6-0.6-0.51-0.513205.630.330.330.420.4211204.86-0.44-0.44 -0.35-0.354205.24-0.1-0.10.030.0312205.350.050.050.140.145206.651.351.3513205.21-0.09-0.09 06204.97-0.3-0.3-0.24-0.2414205.19-0.11-0.11 -0.02-0.027205.360.060.060.150.1515205.21-0.09-0.09 08205.16-0.1-0.1-0.05-0.0516205.320.020.020.110.11残残 差差残残 差差测量值测量值序号序号残残 差差 残残 差差序号序号测量值测量值-0 .8-0 .6-0 .4-0 .200 .20 .40 .6图 3 9 残 差 图51 01 5nii