第1章 计算方法误差

1、TEXTBOOKTopics误差插值与拟合数值积分解线性方程组的直接法解线性方程组的迭代法非线性方程的数值解法常微分方程初值问题的数值解法IMPORTANT!Grading PolicyTotal: 100Attendance: 10Homework: 20Final exam: 70计算方法在科学计算中的地位：计算方法在科学计算中的地位：实际问题实际问题建立数学模型建立数学模型计算方法计算方法编写程序编写程序上机计算结果上机计算结果分析结果分析结果 显然，计算方法处于显然，计算方法处于承上启下承上启下的位置，的位置， 在整个计算中是重要的不可缺少的一环在整个计算中是重要的不可缺少的一环。第第

2、1章章 误误 差差1.1 误差的来源与分类误差的来源与分类1.2 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差1.3 有效数字与误差的关系有效数字与误差的关系1.4*浮点数及其运算浮点数及其运算1.5 误差危害的防止误差危害的防止 1.1 误差的来源与分类误差的来源与分类 定义定义：近似值与精确值之差称为误差误差，误差的来源或分类有4种。 (1) 模型误差模型误差 从实际问题提炼出数学问题时往往忽略了许多次要因素，因而即使数学问题能求出准确解，也与实际问题的真正解不同。它们之差称为模模型误差型误差。 (2) 观测误差观测误差 一般数学问题包含若干变量，它们的值需要通过观测得到，难免有误差。这种误差称为

3、观测观测误差误差/数据数据误差误差/参量误差参量误差。 (3) 截断误差截断误差 一般数学问题难以准确求解，往往要通过近似替代，简化为较易求解的问题后再求解。这样引起的误差称为截断误差截断误差或方法误差方法误差。 (4) 计算误差计算误差 计算机只能对有限位的数进行运算，一般数必须进行舍入，此时产生的误差称为计算误差计算误差或舍入误差舍入误差。 总之，计算结果的误差是上述四种误差累积影响的误差。本课程不讨论数学模型的建立，所以只研究截断误差截断误差和舍入误差舍入误差对计算结果的影响。1.2 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差 一个近似值的精确度：通常用一个近似值的精确度：通常用绝对误差、相对

4、误绝对误差、相对误差或有效数字差或有效数字来说明。来说明。*xxx 2.7180.0002818xe 1.2.1 绝对误差与绝对误差限绝对误差与绝对误差限 设x*为精确值，x为x*的近似值，称为近似值x的绝对误差绝对误差，简称误差误差。例：例：e取2.718，其绝对误差为 x 的大小显示出近似值x的准确程度， 越小， x的准确度越高。x 可正可负，绝对误差不是误差的绝对值绝对误差不是误差的绝对值。 实际中无法得到准确值x*，从而不能得到绝对误差 的准确值。给出一个正数 ，使得： 成立 叫做近似值x的绝对误差绝对误差限限，简称误差限，或称“精度”。 有了误差限，准确值x*的范围： 此范围也可表示

5、成： xx|*xxx*xxx*xx（1-2）（1-3）（1-4） 1.2.2 相对误差与相对误差限相对误差与相对误差限 定义：设x*为准确值，x是x*的一个近似值， 则称 为近似值x的相对误差。 注意注意：(1) ex小，精度高；(2) 相对误差比绝对误差更能反映误差的特征，在误差分析中相对误差比绝对误差更为重要。 由于 与x*都不能准确求得，相对误差也不能准确求得。因此，给定一个正数 ，使得*xxxxexxx*|*xxxex（1-5）*xxxxexx*|xxxex 为x的相对误差限。实际中，准确值x*无法得到，因此：称ex为x的相对误差，同样： 为近似值x的相对误差限。绝对误差绝对误差和绝对

6、误差限绝对误差限是有量纲的量。相对误差相对误差和相对误差限相对误差限是无量纲量，常用百分数表示。（1-6）（1-7） 例例1：设a=-2.18和b=2.1200分别有准确值x和y经过四舍五入得到的近似值，问 ， ， ， 各是多少？ 解解：凡是由准确值经过四舍五入四舍五入得到的近似值，其绝对误差限等于近似值末位的半个单位绝对误差限等于近似值末位的半个单位，因此：ab( )xe a( )xe b*0.005aaa *0.00005bbb 0.005( )0.232.18xe a 0.00005( )0.00242.1200 xe b 1.3 有效数字与误差的关系有效数字与误差的关系1.3.1 有效

7、数字有效数字当精确值x*有很多位数时，常按四舍五入的原则取其前几位数字作为其近似值。 例：例： 若按四舍五入原则分别取4位和5位小数，则得： ， 绝对误差限不超过末位数的半个单位，即： 3.1415926.3.14163.14159413.1416102513.14159102若近似值x的误差限是其某一位上的半个单位时，称其“精确”到这一位，且从该位起直到左起第一位非零数字都称为有效数字有效数字。定义定义： x为x*的近似数，将x写成： 是 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个数，且： ，n为正整数，m是整数，且x的绝对误差限满足不等式：则称近似数x具有n位有效数字。例例2：e的近似

8、数2.718按照(1-8)，写成：123123(10101010) 10nmnxxxxx 123,nx xxx10 x 1*102m nxx123412.718(2 107 101 108 10 ) 10 3112.718101022m ne（1-9）（1-8）例例3：用3.14与3.1416分别近似 绝对误差限分别是绝对误差限分别是：虽然m相同，但3.1416的绝对误差限小。3.1416比3.14的有效数字位数多，近似 的精度要高。12313.14(3 101 104 10 ) 10 1234613.1416(3 101 104 101 106 10 ) 10 1 32113.1410102

9、21 54113.1416101022m1，n5m1，n31.3.2 有效数字与绝对误差和相对误差的关系有效数字与绝对误差和相对误差的关系 对于准确值x*的一个近似值x而言，有效数字越多，它的绝对误差和相对误差就越小，而且知道了有效数字的位数，由（1-9）就可以写出近似值x的绝对误差限。定理定理1-1 若用（1-8）式表示的近似值x具有n位有效数字，则其相对误差限为 ，即 111102nx 111102nxex （1-10）定理定理1-2 若近似值x的相对误差限为 则x至少具有n位有效数字。例例4 用3.1416来表示的 近似值时，它的相对误 差是多少？解：3.1416具有5位有效数字，x13

10、，由（1-10） 得出它的相对误差为：111102(1)nxex （1-11）5 141110102 36xe 例例5 使得 的近似数的相对误差不超过0.1， 至少要取多少位有效数字？20( )yf x函数 ， 自变量x* 被近似值x代替，那么 被 代替， , xa b*()f x( )f x|( )|fx称为绝对误差条件数绝对误差条件数。 如果条件数小，称 为好条件的。反之，称 为坏条件的。( )f x( )f x)()()()*()(*)()(xfxexfxfxxxfxfxfxfexxxexfxfxfe*)( )(*)()(Taylor 展开2)*)( ! 21)*)( )()*(xxfx

11、xxfxfxxxf)()( 21)()( )(2xefxexfxfe)()( )(xexfxfe*( ()( )()( ()( )( )re f xf xf xef xf xf x函数的相对误差函数的相对误差*( )()( )f xf xxxxxxxf x( )( )( )( )( )( )xxxx fxfxexexf xf x( )( )x fxf x称为相对误差条件数相对误差条件数。例例：x 的相对误差限为 ，求 sin(x) 的相对误差限*( )|( ()|( )( )rxx fxef xe xf x( )( )( )xx cos xexsin x( )xctg x1.4 浮点数及其运算

12、浮点数及其运算 1.4.1 数的浮点表示数的浮点表示 在计算机中，一般实数x均按照舍入原则表示成： 称为b进制浮点数。正整数b称为基数，一般取为2；但为照顾习惯和书写方便，通常将二进制数化为10进制数输入或输出。整数p称为阶码或指数， 称为定位部定位部，q 称为尾部数尾部数。 浮点数分为阶码和尾数两部分，并且均有各自的符号位。计算机字长有限，因此浮点数的阶码和尾数都是有限数。(01)pxq bq pb例例 456.604，5.516，0.000888表示成四位十进 制浮点数形式： 0.4566，-0.5516，0.0888为尾数部； 表示定位部，3、2、1表示阶码。 显然，这种表示形式使得一个

13、数的数量级一目显然，这种表示形式使得一个数的数量级一目了然；浮点数表示的数取值范围大，运算的计了然；浮点数表示的数取值范围大，运算的计算精度高。算精度高。30.4566 1010.5516 1020.0888 1031210 ,10 ,10 如果尾数q的小数点后的第一位数字不为零，则该数叫规格化形式的数；如果尾数q的小数点后的第一位数字为零，则该数叫非规格化形式的数。 规格化：把一个非规格化的数变为规格化形式的数的过程叫做数的规格化。 非规格化形式的数： 通过变阶变成规格化形式：1.4.2 浮点数的运算浮点数的运算 设有两个规格化浮点数：20.0888 1030.8880 1010AEAAM1

14、0BEBBM(1) 加（减）法运算(2) 乘法运算(3) 除法运算(10) 10BAAEEEABABMM() 10ABEEABA BMM/() 10ABEEABA BMM1.5 误差危害的防止误差危害的防止 1. 选择稳定的数值计算公式选择稳定的数值计算公式 例例6 计算积分 解：解：利用分部积分得 得到递推公式： 而 ，利用这个递推公式进行计算,结果为 E1=0.367879, E2=0.264242, , E9=-0.068480110,1,2,9nxnEx edxn11111110100|1nxnxnxnnEx edxx enxedxnE 11,2,3,9nnEnEn 11Ee（1-13

15、）为何出现负值？因为递推公式（1-13）是不稳定公式。初始误差 在运算中传播很快，E1取六位有效数字，其舍入误差所以，计算到E9，误差为：E9取三位有效数字的精确值为0.0916。显然，误差传播淹没了问题的解。74.412 102111 2()1 22!EEE 311 3(12)3!EE 411 41 3(1 2)4!EE 79! 4.412 100.1601如果将递推公式（1-13）改写成： 因为，当 时， 。取E20=0 作为初始出发值进行计算：E20=0.0, E19=0.0500000, E18=0.0500000, E10=0.0838771, E9=0.0916123用（1-14）

16、计算，初始误差的影响在逐步减小，最后得到精度较高的结果。实际应用中，应选用数值稳定的公式，尽量避免使用数值不稳定的公式。 11nnEEnn 0nE （1-14） 2. 避免两个相近的数相减避免两个相近的数相减 例例7 当x1000时，计算 的值 解：x1000，计算中取4位有效数字该结果只有1位有效数字，严重影响计算结果的精度。 把公式变形为：1xx 11001100031.6431.620.02xx 110.015811xxxx 3. 绝对值太小的数不宜作除数绝对值太小的数不宜作除数在机器上，用很小的数作除数会溢出；而且很小数稍有一点误差，对计算结果影响很大。例例 如果分母变为0.0011，

17、 结果发生了巨大变化结果发生了巨大变化!2.71822781.20.0012.71822471.10.00114. 防止大数防止大数“吃掉吃掉 ”小数的运算小数的运算例例：计算0.499410000.00060000.4090， 结果保留4位有效数字。计算方案1：0.499410001000 10000.0006000 1000 10000.40901000计算方案2：先把小的数相加，再加上大数。 0.49940.00060000.4090 10000.50000.40901000 0.9090100010015. 简化计算公式，减少运算次数简化计算公式，减少运算次数例例：要算多项式的值若改用下式 只需4次乘法和4次加法，而按前式需10次乘法和4次加法！ 4320.06250.42501.2151.1922.129xxxx(0.06250.4250)1.215)1.192)2.129xxxx计算多项式： 如果