第2章---信号

1、2022-3-71现代通信原理第二章第二章 信号信号2022-3-72基本要求1.1.掌握掌握描述随机过程特别是平稳过程的数字特征描述随机过程特别是平稳过程的数字特征（统计均值、方差、相关函数）的计算方法（统计均值、方差、相关函数）的计算方法2.2.掌握掌握平稳过程通过线性系统后的自相关、功率谱平稳过程通过线性系统后的自相关、功率谱的计算；的计算；3.3.掌握掌握正态分布密度函数和窄带噪声的特征、分析正态分布密度函数和窄带噪声的特征、分析方法及计算；方法及计算；4.4.了解了解随机过程的一般概念及描述方法，白噪声的随机过程的一般概念及描述方法，白噪声的分析方法分析方法 ，窄带噪声迭加信号的分析

2、方法，窄带噪声迭加信号的分析方法 。2022-3-73重点和难点重点和难点1. 1. 重点：重点： 掌握描述随机过程特别是平稳过程掌握描述随机过程特别是平稳过程的数字特征（统计均值、方差、相关函的数字特征（统计均值、方差、相关函数）的计算方法；掌握平稳过程通过线数）的计算方法；掌握平稳过程通过线性系统后的自相关、功率谱的计算。性系统后的自相关、功率谱的计算。 2. 2. 难点：难点： 正态分布密度函数和窄带噪声的特正态分布密度函数和窄带噪声的特征、分析方法及计算。征、分析方法及计算。 2022-3-74u 信号的类型信号的类型u 确知信号的性质确知信号的性质u 随机信号的性质随机信号的性质u

3、随机变量的数字特征随机变量的数字特征u 随机过程随机过程u 高斯过程高斯过程u 窄带随机过程窄带随机过程u 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程u 信号通过线性系统信号通过线性系统第第2章章 信号信号2022-3-75信号的类型信号的类型l确知信号和随机信号确知信号和随机信号（信号的确定性）（信号的确定性）l能量信号和功率信号能量信号和功率信号 （信号的强度）（信号的强度）20(t)dtEs /22/21( )limTTTPs t dtT2022-3-76信号的类型信号的类型l能量信号和功率信号能量信号和功率信号2022-3-77确知信号的性质确知信号的性质u 频域性质频域性质频谱频谱频谱

4、密度频谱密度能量谱密度能量谱密度功率谱密度功率谱密度u 时域性质时域性质自相关函数自相关函数互相关函数互相关函数2022-3-78n功率信号的频谱功率信号的频谱u设设s(t)为周期性功率信号，为周期性功率信号，T0为周期，则有为周期，则有 u式中，式中， 0 = 2 / T0 = 2 f0 C(jn 0)是复数，是复数， C(jn 0) = |Cn|e j n 式中，式中，|Cn| 频率为频率为nf0的分量的振幅；的分量的振幅； n 频率为频率为nf0的分量的相位的分量的相位u信号信号s(t)的傅里叶级数表示法：的傅里叶级数表示法：频域性质频域性质2/T2/Ttjn00000dte) t (

5、sT1)jn(Cntjn00e)jn(C) t ( s2022-3-79n功率信号的频谱功率信号的频谱【例2.1】 试求周期性方波的频谱。解：设一周期性方波的周期为T，宽度为，幅度为V求频谱：t)Tt ( f) t ( f) 2/T(t2/02/t2/V) t ( f2nsinTnV2jneeTVejnVT1dtVeT1)jn(C0002/jn2/jn2/2/2/2/tjn0tjn00000频域性质频域性质2022-3-71010频谱图频谱图频域性质频域性质2022-3-711解：设此信号的表示式为求频谱：信号的傅里叶级数表示式：ttftftttf)1()(10)sin()(10222/2/0

6、0) 14(2)sin()(1)(000ndtetdtetsTjnCntjTTtjn1f(t)tnntjentf221412)(频域性质频域性质2022-3-712设一能量信号为设一能量信号为s(t)，则其频谱密度为：，则其频谱密度为：S( )的逆变换为原信号：的逆变换为原信号：【例例2.3】试求一个矩形脉冲的频谱密度。试求一个矩形脉冲的频谱密度。 解：设此矩形脉冲的表示式为解：设此矩形脉冲的表示式为则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：dtetsStj)()(deStstj)()(2/02/1)(tttg2/) 2/sin()(1)(2/2/2/2/jjtjee

7、jdteG频域性质频域性质2022-3-713解：抽样函数的定义是 而Sa(t)的频谱密度为：和上例比较可知，Sa(t)的波形和上例中的G()曲线相同，而Sa(t)的频谱密度Sa()的曲线和上例中的g(t)波形相同。 解：单位冲激函数常简称为函数，其定义是： (t)的频谱密度：ttsin) t (Sa其他处011sin)(dtettSatj00)(1)(ttdtt1)(1)()(dttdtetftj (t)的频谱密度：的频谱密度：频域性质频域性质2022-3-714u 函数及其频谱密度的曲线：函数及其频谱密度的曲线：u 函数的物理意义：函数的物理意义： 高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为高度为

8、无穷大，宽度为无穷小，面积为1 1的脉冲。的脉冲。u用抽样函数用抽样函数Sa(t)表示表示 函数：函数：Sa(t)Sa(t)有如下性质有如下性质当当 k k 时，振幅时，振幅 ， 波形的零点间隔波形的零点间隔 0 0，故有故有 1)(dtktSakttt)(lim)(ktSaktkf(f)10t(t)0频域性质频域性质2022-3-715u 函数的性质函数的性质p对对f(t)的抽样：的抽样：p 函数是偶函数：函数是偶函数：p 函数是单位阶跃函数的导数：函数是单位阶跃函数的导数：u能量信号的频谱密度能量信号的频谱密度S(f)和周期性功率信号的频谱和周期性功率信号的频谱C(jn 0)的区别的区别:

9、pS(f ) 连续谱；连续谱； C(jn 0) 离散谱离散谱pS(f )的单位：的单位：V/Hz； C(jn 0) 的单位：的单位：VpS(f )在一频率点上的幅度无穷小。在一频率点上的幅度无穷小。u (t) = (t) dt)tt () t (f)t (f00dttttftf)()()(00) t() t (0, 1, 0, 0)(tttu当当t10图2.2.6 单位阶跃函数频域性质频域性质2022-3-716解：设一个余弦波的表示式为f (t) = cos0t，则其频谱密度F()按式(2.2-10)计算，可以写为参照式(2.2-19)，上式可以改写为u引入引入 (t)，就能将频谱密度概念推

10、广到功率信号上。，就能将频谱密度概念推广到功率信号上。2)(2)(2lim2/)(2/)sin(2/)(2/)sin(2limcoslim)(0000002/2/0SaSadtteFtj)()()(00Ft000(b) 频谱密度(a) 波形频域性质频域性质2022-3-717设一个能量信号s(t)的能量为E，则其能量由下式决定：若此信号的频谱密度，为S(f )，则由巴塞伐尔定理得知：上式中|S(f )|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量。上式可以改写为：式中，G(f )|S(f)|2 （J / Hz） 为能量谱密度。uG(f )的性质：因的性质：因s(t)是实函数，故是实函数，

11、故|S(f )|2 是偶函数，是偶函数，dttsE)(2dffSdttsE22)()(dffGE)(0)(2dffGE频域性质频域性质2022-3-718令s(t)的截短信号为sT(t)，-T/2 t T/2，则有定义功率谱密度为：得到信号功率： 若功率信号具有周期性，则用傅里叶级数来代替傅里叶变换，求出信号频谱。dffSdttsETTTT22/2/2)()(2)(1lim)(fSTfPTTdffPdffSTPTTTT)()(1lim2/2/2频域性质频域性质2022-3-719dttstsR)()()(2/2/)()(1lim)(TTTdttstsTR时域性质时域性质2022-3-720令令

12、x = t + ，则，则 ,)()()(2112dttstsR2/2/2112,)()(1lim)(TTTdttstsTR)()(1221 RR)()()()()()()()(1221121221RdxxsxsdxxsxsdttstsR时域性质时域性质2022-3-721随机信号的性质随机信号的性质u 随机变量的概率分布随机变量的概率分布随机变量随机变量随机变量的分布函数随机变量的分布函数u 随机变量的概率密度随机变量的概率密度u 常见随机变量举例常见随机变量举例2022-3-722n随机变量随机变量n若某种试验若某种试验A的随机结果用的随机结果用X表示，则称此表示，则称此X为一个随机变量，为

13、一个随机变量，并设它的取值为并设它的取值为x。 例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。个随机变量。n随机变量的分布函数：随机变量的分布函数：u定义：定义：FX(x) = P(X x)u性质：性质： P(a X b) + P(X a) = P(X b),P(a X b) = P(X b) P(X a)， P(a X b) = FX(b) FX(a)X可为连续随机变量，也可为离散随机变量。可为连续随机变量，也可为离散随机变量。 随机变量的概率分布随机变量的概率分布2022-3-723u离散随机变量的分布函数：离散随机变量的分布函数：

14、p设设X的取值为：的取值为：x1 x2 xi xn，其取值的概率分别，其取值的概率分别为为p1, p2, , pi, , pn，则有，则有P (X x1) = 0,P(X xn) = 1P(X xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + + P(X = xi),p性质：性质： FX(- ) = 0 FX(+ ) = 1 若若x1 x2，则有，则有: FX(x1) FX(x2) ，为单调增函数。，为单调增函数。nikikXxxxxxpxxxF10)(1111随机变量的概率分布随机变量的概率分布2022-3-724u连续随机变量的分布函数：连续随机变量的分布函数：当x连续时，由定义

15、分布函数定义 FX(x) = P(X x)可知， FX(x) 为一连续单调递增函数：随机变量的概率分布随机变量的概率分布2022-3-725n连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度pX (x)upX (x)的定义：的定义：upX (x)的意义：的意义：ppX (x)是是FX (x)的导数，是的导数，是FX (x)曲线的斜率曲线的斜率p能够从能够从pX (x)求出求出P(a 0，为常数。，为常数。u概率密度曲线：概率密度曲线：0)exp(2)(2xaxaxxpX常见随机变量举例常见随机变量举例2022-3-730随机变量的数字特征随机变量的数字特征u 数学期望数学期望u 方差方差u 矩矩2

16、022-3-731若若X和和Y互相独立，且互相独立，且E(X)和和E(Y)存在。存在。dxxxpXEX)()(CCE)()()()(YEXEYXE)()()()(2121nnXEXEXEXXXE)()(XECXCE)()()(YEXEXYE CE(X)E(CX)期望期望2022-3-732n定义：定义：式中，式中，u方差的改写：方差的改写：证：证：u对于离散随机变量，对于离散随机变量，u对于连续随机变量，对于连续随机变量，n性质：性质：uD( C ) = 0uD(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X)uD(X+Y)=D(X)+D(Y)uD(X1 + X2 + + Xn)=D(X1) +

17、D(X2) + + D(Xn)()(22XXEXDX的数学期望标准偏差，XXX22)(XXXD2222222222)(XXXXXXXXXEXXEiiipXxXD2)()(dxxpXxXDX)()()(2方差方差2022-3-733dxxpaxaXEXkk)()()(dxxpxXmXkk)()(Xa dxxpXxXMXkk)()()()()(1XEXm22)()(XXDXM矩矩2022-3-734随机过程随机过程u 随机过程的基本概念随机过程的基本概念u 平稳随机过程平稳随机过程u 各态历经性各态历经性u 平稳随机过程的自相关函数和功率平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度谱密度自相关函数的性质自

18、相关函数的性质功率谱密度的性质功率谱密度的性质2022-3-735nX(A, t) 事件事件A的全部可能的全部可能“实现实现”的总体；的总体；nX(Ai, t) 事件事件A的一个实现，为确定的时间函数；的一个实现，为确定的时间函数；nX(A, tk) 在给定时刻在给定时刻tk上的函数值。上的函数值。u简记：简记： X(A, t) X(t) X(Ai, t) Xi (t)n例：接收机噪声例：接收机噪声n随机过程的数字特征：随机过程的数字特征：u统计平均值：统计平均值：u方差：方差：u自相关函数自相关函数：)()()(iXXitmdxxxptXEi2)()()(iiitXEtXEtXD)()(),

19、(2121tXtXEttRX随机过程的基本概念随机过程的基本概念2022-3-736n平稳随机过程的定义：平稳随机过程的定义：统计特性与时间起点无关的随机过程。统计特性与时间起点无关的随机过程。（又称严格平稳随机过程）（又称严格平稳随机过程）n广义平稳随机过程的定义：广义平稳随机过程的定义：平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。n广义平稳随机过程的性质：广义平稳随机过程的性质：u u u n严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过

20、程。平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。n一般认为随机信号与噪声是广义平稳的。一般认为随机信号与噪声是广义平稳的。常数Xm EX(t) 常数22X)t (XE) t (XE)t (XD21tt)(R )t -(tR )t ,(tRX21X21X平稳随机过程平稳随机过程2022-3-737u各态历经过程的统计平均值各态历经过程的统计平均值mX：u各态历经过程的自相关函数各态历经过程的自相关函数RX( ):u一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定

21、具有各态历经性。性。2/2/)(1limTTiTXdttXTm2/2/)()(1lim)(TTiiTXdttXtXTR各态历经性各态历经性2022-3-738n稳态通信系统的各态历经性：稳态通信系统的各态历经性： 假设信号和噪声都是各态历经的。假设信号和噪声都是各态历经的。u一阶原点矩一阶原点矩mX = EX(t) 是信号的直流分量；是信号的直流分量；阶原点矩的平方阶原点矩的平方mX 2 是信号直流分量的归一化功率；是信号直流分量的归一化功率；u二阶原点矩二阶原点矩E X 2( t ) 是信号归一化平均功率；是信号归一化平均功率；u二阶原点矩的平方根二阶原点矩的平方根E X 2(t)1/2 是

22、信号电流或电压的是信号电流或电压的均方根值（有效值）；均方根值（有效值）；u二阶中心矩二阶中心矩 X2 是信号交流分量的归一化平均功率是信号交流分量的归一化平均功率;u若若mX = mX 2 = 0，则，则 X2 = E X 2( t ) ；u标准偏差标准偏差 X 是信号交流分量的均方根值；是信号交流分量的均方根值； u若若mX = 0，则，则 X就是信号的均方根值就是信号的均方根值各态历经性各态历经性2022-3-739n功率频谱密度的性质功率频谱密度的性质 u复习：确知信号的功率谱密度：复习：确知信号的功率谱密度：u类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：p

23、平均功率：平均功率：XPtXER)()0(2)()( RR)0()(RR)()(2tXER2)()0(XRRTfSfPTT2)(lim)(TfSEfPEfPTTX2)(lim)()(dfTfSEdffPPTTXX)(lim)(2平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度2022-3-740 =t t，k =t + t，则上式可以化简成，则上式可以化简成于是有于是有2T/2T/2TjtjtTTT/2T/2T/2T/2jtjtT/2T/2T/2T/2j(tt)T/2T/2E S (f ) 1Es (t)edts (t )edt TT1Es(t)edts(t )edt

24、T1R(tt )edt dtT)()()(tstsEttRTTjTdeRTTfSE)(1)(2deRdeRTTfSEfPjTTjTTTX)()(1lim)(lim)(2平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度2022-3-741上式表明，上式表明，PX(f )和和R( )是一对傅里叶变换：是一对傅里叶变换：nPX(f )的性质：的性质：uPX(f ) 0, 并且并且PX(f )是实函数。是实函数。PX(f ) PX(-f )，即，即PX(f )是偶函数。是偶函数。 deRfPjX)()(dfefPRjX)()(平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度平稳随机过程的自

25、相关函数和功率谱密度2022-3-742n【例例2.7】设有一个二进制数字信号设有一个二进制数字信号x(t)，如图所示，如图所示，其振幅为其振幅为+a或或-a；在时间；在时间 T 内其符号改变的次数内其符号改变的次数k服服从泊松分布从泊松分布 式中，式中， 是单位时间内振幅的是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。符号改变的平均次数。试求其相关函数试求其相关函数R( )和功率谱密度和功率谱密度P(f)。0,!)()(kkeTkPTk+a-ax(t)tt0t-平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度2022-3-743解：由图可以看出，乘积x(t)x(t-)只有两种

26、可能取值：a2, 或 -a2。因此，式可以化简为： R() = a2 a2出现的概率 + (-a2) (-a2)出现的概率式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布 P(k)计算。若在 秒内x(t)的符号有偶数次变化，则出现 + a2;若在 秒内x(t)的符号有奇数次变化，则出现 - a2。因此，用 代替泊松分布式中的T，得到)t ( x )t ( xE)(R) 5 () 3 () 1 () 4() 2() 0()()()(22PPPaPPPatxtxER222322! 3)(!2)(! 11 )(eaeeaeaR平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度2022-3

27、-744由于在泊松分布中 是时间间隔，所以它应该是非负数。所以，在上式中当 取负值时，上式应当改写成 将上两式合并，最后得到：其功率谱密度P( f )可以由其自相关函数R( )的傅里叶变换求出：P( f )和R()的曲线：22)(eaR22)(eaR4)()(22202202222adeeadeeadeeadeRfPjjjj平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度2022-3-745【例2.8】设一随机过程的功率谱密度P( f )如图所示。试求其自相关函数R()。解：功率谱密度P( f )已知，u自相关函数曲线：自相关函数曲线：0022cos22sin42cos

28、22cos)(2)()(21ffffAdffAdfffPdfefPRfffj2,212012ffffff平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度2022-3-746【例2.9】试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。 解：白噪声是指具有均匀功率谱密度Pn( f )的噪声，即Pn( f ) n0/2式中，n0为单边功率谱密度（W/Hz） 白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得 由上式看出，白噪声的任何两个相邻时间（即 0时）的抽样值都是不相关的。 白噪声的平均功率 : 上式表明，白噪声的平均功率为无穷大。 )(22)()(00ndfendfefPRjjX)0(2)

29、0(0nRPn(f)n0/20fRn()n0/20平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度2022-3-747n带限白噪声的功率谱密度和自相关函数带限白噪声的功率谱密度和自相关函数u带限白噪声：带限白噪声：带宽受到限制的白噪声带宽受到限制的白噪声u带限白噪声的功率谱密度：带限白噪声的功率谱密度：设白噪声的频带限制在设白噪声的频带限制在(-fH, fH)之间，则有之间，则有 Pn(f) = n0 / 2,-fH f fH= 0,其他处其他处其自相关函数为：其自相关函数为：u曲线：曲线：HHHffjfffndfenRHH22sin22)(00n0/2Pn(f)0f-

30、fHfHRn()01/2fH-1/2fH平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度2022-3-748高斯过程高斯过程u 高斯过程的定义高斯过程的定义u 正态分布的概率密度的性质正态分布的概率密度的性质u 正态分布函数正态分布函数u 用误差函数表示正态分布用误差函数表示正态分布2022-3-749u一维高斯过程的概率密度：一维高斯过程的概率密度：式中，式中，a = EX(t) 为均值为均值 2 = EX(t) - a2 为方差为方差 为标准偏差为标准偏差u高斯过程是平稳过程高斯过程是平稳过程，故，故其概率密度其概率密度pX (x, t1)与与t1无关，无关，即，即

31、， pX (x, t1) pX (x)upX (x)的曲线：的曲线：2212exp21),(axtxpX高斯过程的定义高斯过程的定义2022-3-750u高斯过程的严格定义高斯过程的严格定义：任意：任意n维联合概率密度满足：维联合概率密度满足：式中，式中，ak为为xk的数学期望（统计平均值）；的数学期望（统计平均值）； k为为xk的标准偏差；的标准偏差； |B|为归一化协方差矩阵的行列式，即为归一化协方差矩阵的行列式，即|B|jk为行列式为行列式|B|中元素中元素bjk的代数余因子的代数余因子； bjk为归一化协方差函数，即为归一化协方差函数，即njnkkkkjjjjknnnnXaxaxBBB

32、tttxxxp112/1212/212121exp)2(1),;,(11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkaxaxEb高斯过程的定义高斯过程的定义2022-3-751upX (x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)仅由各个随机变量的数学期望仅由各个随机变量的数学期望ai、标准偏、标准偏差差 i和归一化协方差和归一化协方差bjk决定，因此它是一个广义平稳随机过程决定，因此它是一个广义平稳随机过程u若若x1, x2, , xn等两两之间互不相关等两两之间互不相关 ，则有当，则有当 j k 时，时，bjk = 0。这时，。这时，即，此即，此n维联合概率密度等于

33、各个一维概率密度的乘积。维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。u若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者互不相关；若两个若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者互不相关；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称为两者随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称为两者互相独立。互不相关的两个随机变量不一定互相独立。互相独立的两互相独立。互不相关的两个随机变量不一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一定互不相关。个随机变量则一定互不相关。u高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立。高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立。),(),(),(2exp

34、21),;,(22112212121nnXXXkkknkknnXtxptxptxpaxtttxxxp高斯过程的定义高斯过程的定义2022-3-752up(x)对称于直线对称于直线 x = a，即有：，即有：up(x)在区间在区间(- , a)内单调上升，在区间内单调上升，在区间(a, )内单调下降，内单调下降，并且在点并且在点a处达到其极大值处达到其极大值当当x - 或或 x + 时，时，p(x) 0。u u若若a = 0, = 1，则称这种分布为标准化正态分布：，则称这种分布为标准化正态分布：)()(xapxap)2/(11)(dxxpaadxxpdxxp2/1)()(2exp21)(2xx

35、p正态分布的概率密度的性质正态分布的概率密度的性质2022-3-753u将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数此积分不易计算，通常用查表方法计算。此积分不易计算，通常用查表方法计算。 axdzazdzazxFxx22222)(exp212)(exp21)(dzzxx2exp21)(2正态分布函数正态分布函数2022-3-754u误差函数定义：误差函数定义：u补误差函数定义：补误差函数定义：正态分布表示法：正态分布表示法：dzexerfxz022)(dzedzexerfxerfcxzxz22221)(1)(0axaxerfcaxaxerfxF,221

36、1,22121)(用误差函数表示正态分布用误差函数表示正态分布2022-3-755窄带随机过程窄带随机过程u 窄带随机过程的基本概念窄带随机过程的基本概念u 窄带随机过程的性质窄带随机过程的性质2022-3-756频率近似为fc随机过程的频带宽度为随机过程的频带宽度为 f，中心频率为，中心频率为fc。若。若 f fc，则称此随机过程为窄带随机过程。则称此随机过程为窄带随机过程。 u波形和频谱：波形和频谱：窄带随机过程的基本概念窄带随机过程的基本概念2022-3-757u表示式表示式式中，式中，aX(t) 窄带随机过程的随机包络；窄带随机过程的随机包络； X(t) 窄带随机过程的随机相位；窄带随

37、机过程的随机相位； 0 正弦波的角频率。正弦波的角频率。上式可以改写为：上式可以改写为：式中，式中， X (t)的同相分量的同相分量 X (t)的正交分量的正交分量00)t (a),t (tcos)t (a)t (XXXXtsin)t (Xtcos)t (X)t (Xsc00)(cos)()(ttatXXXc)(sin)()(ttatXXXs窄带随机过程的基本概念窄带随机过程的基本概念2022-3-758nXc(t)和和Xs(t)的统计特性：的统计特性：设设X(t)是一个均值为是一个均值为0的平稳窄带高斯过程，则的平稳窄带高斯过程，则Xc(t)和和Xs(t)也是高斯过程；也是高斯过程；u Xc

38、(t)和和Xs(t) 的方差相同，且等于的方差相同，且等于X(t)的方差的方差u在同一时刻上得到的在同一时刻上得到的Xc和和Xs是不相关的和统计独立的。是不相关的和统计独立的。naX(t)和和 X(t)的统计特性：的统计特性：u窄带平稳随机过程包络窄带平稳随机过程包络aX(t)的概率密度等于：的概率密度等于：u窄带平稳随机过程相位窄带平稳随机过程相位 X(t)的概率密度等于：的概率密度等于：02exp)(222XXXXXXaaaap2021)(XXp窄带随机过程的性质窄带随机过程的性质2022-3-759式中， 2 n(t)的方差； I0() 零阶修正贝塞尔函数。lpr(x) 称为广义瑞利分布

39、，或称莱斯(Rice)分布。pr(x) 变成瑞利概率密度。)()cos()(0tntAtr0,21exp)(222202xAxAxIxxpr正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程2022-3-760式中， r( t )的相位，包括正弦波的相位 和噪声的相位 pr( / ) 给定 的条件下， r( t )的相位的条件概率密度n当当 = 0时，时，式中，式中，2/12222/1222cos1sin2exp22cos22/exp)/(AerfAAApr dppprrr/)(2020exp)(1 12exp21)0/(222GGerfGApr2cosAG GtdteGerf022)(正弦波加窄带高斯

40、过程正弦波加窄带高斯过程2022-3-761瑞利分布r概率密度包络r(a) 莱斯分布包络的概率密度均匀相位相 位概率密度(b) 莱斯分布相位的概率密度n当当A/ = 0时，时，包络包络瑞利分布瑞利分布相位相位均匀分布均匀分布n当当A/ 很大时，很大时，包络包络正态分布正态分布相位相位冲激函数冲激函数正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程2022-3-762信号通过线性系统信号通过线性系统u 线性系统的基本概念线性系统的基本概念u 确知信号通过线性系统确知信号通过线性系统时域分析法时域分析法频域分析法频域分析法无失真传输的条件无失真传输的条件u随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统输出随机过

41、程的数学期望输出随机过程的数学期望输出随机过程的自相关函数输出随机过程的自相关函数输出随机过程的功率谱密度输出随机过程的功率谱密度输出随机过程的概率分布输出随机过程的概率分布2022-3-763为为xi(t)时，输出为时，输出为yi(t)，则当输入为，则当输入为 时，输出为：时，输出为：式中，式中，a1和和a2均为任意常数。均为任意常数。)()()(2211txatxatx)()()(2211tyatyaty线性系统的基本概念线性系统的基本概念2022-3-764线性系统输入输出x(t)y(t)X(f)Y(f)h(t)H(f)图2.10.1 线性系统示意图t(t)h(t)t00线性系统的基本概

42、念线性系统的基本概念2022-3-765h(t) 系统的冲激响应系统的冲激响应 x(t) 输入信号波形输入信号波形 y(t) 输出信号波形输出信号波形则有：则有：dhtxdthxthtxty)()()()()()()(dtthtth)(0,0)(对于物理可实现系统：对于物理可实现系统：确知信号通过线性系统确知信号通过线性系统2022-3-766u设：输入为能量信号，令设：输入为能量信号，令 x( t ) 输入能量信号输入能量信号H( f ) h( t )的傅里叶变换的傅里叶变换 X( f ) x( t )的傅里叶变换 y( t ) 输出信号则此系统的输出信号则此系统的输出信号y( t )的频谱

43、密度的频谱密度Y( f )为：为：p由由Y( f )的逆傅里叶变换可以求出的逆傅里叶变换可以求出y( t )：)()()(fHfXfYdfefYtytj)()(确知信号通过线性系统确知信号通过线性系统2022-3-767u设：输入设：输入x( t )为周期性功率信号，则有为周期性功率信号，则有 式中，式中， 输出为：输出为：u设：输入设：输入x( t )为非周期性功率信号，则当作随机信号处理为非周期性功率信号，则当作随机信号处理ntjnejnCtx0)()(02/2/00000)(1)(TTtjndtetxTjnC0 = 2/T0T0 信号的周期 f0 = 0 / 2是信号的基频ntjnenH

44、jnCty0)()()(00确知信号通过线性系统确知信号通过线性系统2022-3-768u【例例2.10】若有一个若有一个RC低通滤波器，如图低通滤波器，如图2.10.4所示。试所示。试求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出信求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出信号表示式。号表示式。 解解:设设 x(t) 输入能量信号输入能量信号 y(t) 输出能量信号输出能量信号 X(f) x(t)的频谱密度的频谱密度 Y(f) y(t)的频谱密度的频谱密度则此电路的传输函数为：则此电路的传输函数为： 此滤波器的冲激响应此滤波器的冲激响应h(t)：图2.10.4 RC滤波器RCx(t)

45、y(t)RCjCjRCjfH11)/1 (/1)(RCttjtjeRCdfeRCjdfefHth/111)()(确知信号通过线性系统确知信号通过线性系统2022-3-769滤波器输出和输入之间的关系：假设输入x(t)等于：则此滤波器的输出为：dexRCdthxthtxtyRCt/ )()(1)()()()()(0, 00,)(ttetxataRCeeaRCeRCedeeRCtyRCtattaRCRCttRCta1/11)(/0)/1 (/0/ )(确知信号通过线性系统确知信号通过线性系统2022-3-770设：系统是无失真的线性传输系统，输入为一能量信号设：系统是无失真的线性传输系统，输入为一能量信号x(t) ，