第6章IIR数字滤波器的设计

1、第第6章章IIR IIR 数字滤波器的设计数字滤波器的设计内容内容v6.1 引言引言v6.2 将将DF的技术指标转换为的技术指标转换为ALF的技术指标的技术指标v6.3 模拟滤波器（模拟滤波器（ALF）的设计）的设计v6.4 脉脉冲响应不变法冲响应不变法v6.5 双线性变换法双线性变换法v6.6 设计设计IIR数字滤波器的频率变换法数字滤波器的频率变换法v总结总结 重点：脉冲响应不变法、双线性变换法、频率变换法脉冲响应不变法、双线性变换法、频率变换法 滤波的目的滤波的目的: 为了压制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例 广义滤波包括对信号的检测与参量的估计信号的检测信

2、号的检测: 确定在干扰背景中信号是否存在信号参量的估计信号参量的估计: 为识别信号而确定信号的某一个或某几个参量的估值6-1 引言引言一、数字滤波器的频率特性一、数字滤波器的频率特性滤波技术包括滤波技术包括:滤波器设计滤波器设计: 根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数滤波过程的实现滤波过程的实现： 获得传输函数后，以何种方式达到对输入信号的进行滤波的目的数字滤波器数字滤波器寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函数H(z)具有指定的频率特性具有某种特定频率特性的线性时不变系统广义上，任何线性时不变离散系统都是一个数字滤波器设计数字滤波器的任务设计数字滤波器的任务数字滤波器（数

3、字滤波器（DF）按频率特性分类）按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通，可分为低通、高通、带通、带阻和全通，其特点为：其特点为： （1）频率变量以数字频率）频率变量以数字频率 表示，表示， ， 为模拟角频率，为模拟角频率，T为抽样时间间隔；为抽样时间间隔； （2）以数字抽样频率）以数字抽样频率 为周期；为周期； （3）频率特性只限于）频率特性只限于 范围，这范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。一半。T22Tfss2/s)e (Hj)e (Hj)e (Hj0c234023低通低通0c23高通高通带通带通)e (Hj

4、)e (Hj002233带阻带阻全通全通二、二、DF的性能要求（低通为例）的性能要求（低通为例）)e (Hj0通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率cst2111cst通带容限通带容限1阻带容限阻带容限2过渡带过渡带ps通带阻带过渡带1通带纹波（通带允许最大衰减）通带纹波（通带允许最大衰减）阻带纹波（阻带允许最小衰减）阻带纹波（阻带允许最小衰减）)e (Hj0cst21通带阻带过渡带)1lg(20| )(|lg20| )(| )(|lg20101ccjjjeHeHeH11)e (Hj0cst21通带阻带过渡带2202lg20| )(|lg20| )(| )(|lg20ststjjje

5、HeHeH通带通带阻带阻带过渡带过渡带 平滑过渡平滑过渡,stc三、三、DF频响的三个参量频响的三个参量 1、幅度平方响应、幅度平方响应 2、相位响应、相位响应)()()()()(*2jjjjjeHeHeHeHeHjezzHzH)()(1)(Im)(Re)()()(jjejjjeHjeHeeHeHj)(Re)(Im)(1jjjeHeHtge| )(| )(|1 ,|01jjceHeH2| )(| ,|jsteH)()(ln21jjeHeHj3、群延迟、群延迟dedejj)()(它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟

6、相同。就是表示每个频率分量的延迟相同。四、四、DFDF设计内容设计内容 1、按任务要求确定、按任务要求确定Filter的性能指标；的性能指标； 2、用、用IIR或或FIR系统函数去逼近这一性能要求；系统函数去逼近这一性能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数；、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。、用软件还是用硬件实现。IIR滤波器的系统函数通常可表示成的有理分式滤波器的系统函数通常可表示成的有理分式FIR滤波器的系统函数则可表示为的多项式滤波器的系统函数则可表示为的多项式五、五、IIR数字数字filter的设计方法的设计方法 1 1、借助模拟滤波器的设计方

7、法、借助模拟滤波器的设计方法（1）将）将DF的技术指标转换成的技术指标转换成AF的技术指标；的技术指标；（2）按转换后技术指标、设计模拟低通）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的的 ； （3）将）将 （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通）如果不是低通，则必须先将其转换成低通 AF的技术指标。的技术指标。 2 2、计算机辅助设计法（最优化设计法）、计算机辅助设计法（最优化设计法） 先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差最小准则等，然后在此准则下最大误差最小准则等，然后在此准则下 ， 确定系确定系统函数的系数。统函数的系数。3.直接在数字

8、域设计直接在数字域设计IIR4、根据传输函数的几何特性，、根据传输函数的几何特性， 采用零极点累试的方法进行设计采用零极点累试的方法进行设计) s (Ha)()(zHsHa 6-2 将将DF的技术指标转换为的技术指标转换为ALF的技术指标的技术指标一、意义一、意义 AF的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。夫等。二、一般转换方法二、一般转换方法 1、数字低通数字低通-模拟低通模拟低通 2、数字高通数字高通-模拟高通模拟高通-模拟低通模拟低通 3、数字带通、数字带通

9、-模拟带通模拟带通-模拟低通模拟低通 4、数字带阻数字带阻-模拟带阻模拟带阻-模拟低通模拟低通ALFDLF ALFAHFDHFALFABFDBFALFABSFDBSF模拟滤波器的逼近模拟滤波器的逼近0通带截通带截止频率止频率阻带截阻带截止频率止频率psb2111psb)1log(20)11log(10121pA2| )(|H211222log20)11log(10sA与通带衰减与通带衰减Ap(或或通带纹波通带纹波)有关有关1与阻带衰减与阻带衰减As(或或阻带纹波阻带纹波)有关有关三、转换举例三、转换举例 例如，一低通例如，一低通DF的指标：在的指标：在 的通带的通带范围，幅度特性下降小于范围，

10、幅度特性下降小于1dB；在；在 的的阻带范围，衰减大于阻带范围，衰减大于15dB；抽样频率；抽样频率 ；试将这一指标转换成试将这一指标转换成ALF的技术指标。的技术指标。 解：按照衰减的定义和给定指标，则有解：按照衰减的定义和给定指标，则有2 . 03 . 0kHzfS101)e (H/ )e (Hlg202 . 0 j0 j15)e (H/ )e (Hlg203 . 0 j0 j 假定假定 处幅度频响的归一化值为处幅度频响的归一化值为1，即即01)e (H0 j这样，上面两式变为这样，上面两式变为1)(lg202 . 0jeH15)(lg203 . 0jeH由于由于 ，所以当没有混叠时，根据

11、关系式，所以当没有混叠时，根据关系式模拟模拟filter的指标为的指标为T),()()(jHTjHeHaaj1)102(lg20)2 . 0(lg203jHTjHaa15)103(lg20)3 . 0(lg203jHTjHaa6-3 模拟低通滤波器（模拟低通滤波器（ALF）的设计）的设计 ALF的设计就是求出的设计就是求出filter的系统函数的系统函数 H (s) ，使其逼近理想低通滤波器使其逼近理想低通滤波器(LF)的特性，逼近的形式的特性，逼近的形式（滤波器的类型）有巴特沃斯型，切比雪夫型和（滤波器的类型）有巴特沃斯型，切比雪夫型和考尔型等。而且逼近依据是幅度平方函数，即由考尔型等。而且

12、逼近依据是幅度平方函数，即由幅度平方函数确定系统函数。幅度平方函数确定系统函数。一、由幅度平方函数确定系统函数一、由幅度平方函数确定系统函数 1、幅度平方函数、幅度平方函数由于由于 所以所以)()(*jHjH 其中，其中， 是是AF的系统函数，的系统函数， 是是AF的频响，的频响， 是是AF的幅频特性。的幅频特性。)()(| )(|)(*22jHjHjHAjssHsHjHjHjHA| )()()()(| )(|)(22)(sH)( jH| )(|jH2、H(s)H(-s) 的零极点分布特点的零极点分布特点 （1）如果）如果S1是是H（s）的极点，那么的极点，那么- S1就是就是H(-s)的极点

13、；同样，如果的极点；同样，如果S0是是H（s）的零点，那麽的零点，那麽- S0就是就是H（-s）的零点。所以的零点。所以H（s）H(-s)的零极点是呈的零极点是呈象限对称的象限对称的,例如：例如： （2）虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为）虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为ha（t）是实数时的是实数时的H（s）的零极点以共轭对存在；的零极点以共轭对存在； （3）虚轴上没有极点）虚轴上没有极点(稳定系统在单位圆上无极点稳定系统在单位圆上无极点)； （4）由于）由于filter是稳定的，所以是稳定的，所以H（s）的极点一定在的极点一定在左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无左半平面；最小

14、相位延时，应取左半平面的零点，如无此要求，可取任一半对称零点为此要求，可取任一半对称零点为H（s）的零点。的零点。 ;1111jj;2222jj;3344jjj11j3322j22j11j4j4 j3、由、由 确定确定 H(s) 的方法的方法 （1）第一步）第一步 （2）分解）分解 H（s）H(-s) 得到各零极点，将左半面的得到各零极点，将左半面的极点极点 归于归于H(s)，对称的零点任一半归，对称的零点任一半归H(s)。若要求。若要求最小相位延时，左半面的零点归最小相位延时，左半面的零点归H(s)（全部零极点（全部零极点位于单位圆内）。位于单位圆内）。 （3）按频率特性确定增益常数。）按频

15、率特性确定增益常数。 22| )(|)(jHA22| )()()(2sAsHsH例例6-1 由由)36)(49/()25(16)(22222A确定系统函数确定系统函数 H(s)。解：解：所以，极点为所以，极点为 零点为零点为, 6s , 7s4, 32, 1, 5 j均为二阶的。我们选极点均为二阶的。我们选极点-6，-7，一对虚轴零点，一对虚轴零点5 j为为 的零极点，这样的零极点，这样)S(Ha由由 ，可确定出，可确定出 ，)0(A)0(Ha0K,76254)0(A所以所以 。4K0因此因此)36)(49()25(16| )()()(2222222sssAsHsHs)6)(7()25()(2

16、0sssKsH)0()0(AH6725)0(0KH42131004)6)(7()25(4)(222sssssssH二、巴特沃斯低通滤波器二、巴特沃斯低通滤波器 1、幅度平方函数、幅度平方函数其中，其中，N为整数，是滤波器的阶数；为整数，是滤波器的阶数； 为截止频率。为截止频率。当当 时，则时，则CC;21)()(22CaCjHA即即,2/1)(CajHdBjHjHCa3)(/ )0(lg20NCajjjHjHA2222)(11| )(| )(|)(（1）通带内有最大平坦的幅度特性；）通带内有最大平坦的幅度特性；（2）不管）不管N为多少，都通过为多少，都通过 点。点。)3(2/1dB2、幅频特性

17、、幅频特性)j (Ha1.02/10N=2N=4N=8cNCajjjHjHA2222)(11|)(|)(|)(3、巴特沃斯、巴特沃斯filter的系统函数的系统函数)(SHa由于由于 所以其零点全部所以其零点全部在在 处；即所谓全极点型，它的极点为处；即所谓全极点型，它的极点为,)(1/1)()(2NCaajSSHSHS,)() 1()21221(21NkjCCNkejSNk2 , 2 , 1 也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布在巴特沃斯圆上（半径为在巴特沃斯圆上（半径为 ），共有），共有2N点。点。C)2,.,2 , 1,1() 12(N

18、kekj例如，例如，N=2时，时，,431jCeS,eS45jC2,eS47jC3N=3时，时，,eS35jC4;eS49jC4,eS32jC1,eSjC2,eS34jC3,eS2jC537jC6eSj2N 1S2S3S4S1S2S3S4S5S6Sj3N NkeSkjck2,.,1,)41221(取取 左半平面的极点为左半平面的极点为 的极点，的极点，这样极点仅有这样极点仅有N个，即个，即其中，常数其中，常数 由由 的低频特性决定。的低频特性决定。)()(SHSHaa)(SHaNkeSNkjCk, 2 , 1,)21221( 则则NkkaSSKSH10)()(0K)(SHa23j21eS34j

19、3例例6-2导出三阶巴特沃斯导出三阶巴特沃斯LF的系统函数，设的系统函数，设s /rad1C解：解：所以所以)1(6622111/1)()(jjjHA其极点为其极点为6 , 2 , 1k,eS)61k221( jk 因此有因此有,23j21eS32j1, 1eSj2,23j21eS35j4, 1eS2j523j21eS37j6取前三个极点，则有取前三个极点，则有1S2S2SK) 1S)(23j21S)(23j21S(K)S(H2300a)1/(1)()(6ssHsHaa, 1)0(AK)0(H0a1S2S2S1)S(H23a4、归一化的系统函数、归一化的系统函数 如果将系统函数的如果将系统函数

20、的S, 用滤波器的截止频率去除，这用滤波器的截止频率去除，这样对应的截止频率变为样对应的截止频率变为1，即所谓归一化，相应的系统，即所谓归一化，相应的系统函数称作归一化的系统函数记作函数称作归一化的系统函数记作 例如，对于巴特沃斯例如，对于巴特沃斯filter)S(Han,)SS(K)S(HN1kk0a)N21k221( jCkeSN, 2 , 1k )21221(10,)()(NkjkCNkkaneSSSSSKSH 如果将低通如果将低通filter归一化，就称作归一化原型归一化，就称作归一化原型 滤波器。滤波器。三、归一化原型三、归一化原型filter的设计的设计 不论哪种形式（巴特沃斯，切

21、比雪夫）的滤波器，不论哪种形式（巴特沃斯，切比雪夫）的滤波器，都有自己的归一化原型滤波器，而且它们都有现成的数都有自己的归一化原型滤波器，而且它们都有现成的数据表可查和设计公式据表可查和设计公式 例如，归一化巴特沃斯原型滤波器的系统函数（这例如，归一化巴特沃斯原型滤波器的系统函数（这里的里的S即即 ）为）为当当 ,增益为增益为1，则有，则有 ，N=110阶的各阶的各个系数，如表个系数，如表6-4（P261）所示。）所示。 如果如果 ，则，则 E（s）多项式如表）多项式如表如表如表6-4。 * 由归一化系统函数由归一化系统函数 得得 ，只需将，只需将S代代入入 即可。即可。S01ad00)S(E

22、/d)S(H0an) S(Han)S(HaC/S NNNanssasasadsH1122101)()(/)(0sEdsHan6-4归一化巴特沃思低通滤波器的幅度特性归一化巴特沃思低通滤波器的幅度特性1sA2pA例：四、设计举例（巴特沃思滤波器）四、设计举例（巴特沃思滤波器） 1、技术指标、技术指标 2、计算所需的阶数及、计算所需的阶数及3dB截止频率截止频率将技术指标，代入上式，可得将技术指标，代入上式，可得1)102 j (Hlg203a15)103 j (Hlg203a)(1/1)j (HN2C2a)(1lg10)j (Hlg20N2Ca1)102(1lg10N2C315)103(1lg1

23、0N2C3解上述两式得：解上述两式得：1 . 0N2C310)102(15 . 1N2C310)103(1因此，因此，3C1004743. 7,8858. 5N取取N=6，则，则3C100321. 73、 的求得的求得查表，可得查表，可得N=6时的归一化原型模拟巴特时的归一化原型模拟巴特沃斯沃斯LF的系统函数为的系统函数为3456anS1416202. 9S4641016. 7S8637033. 3S/(1)S(H) 1S8637033. 3S4641016. 72) 1S4142135. 1S)(1S51763809. 0S/(122)1S931851652. 1S(2)(sHa将将S用用

24、代入，可得代入，可得3C100321. 7/SS)S(Ha)104504.49S1064003. 3S/101 .120923)S(H6328a)104504.49S1058498.13S)(104504.49S1094475. 9S(632632 切比雪夫滤波器是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹切比雪夫滤波器是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。波动的滤波器。 在通带波动的为在通带波动的为I型切比雪夫滤波器，在阻带波动的为型切比雪夫滤波器，在阻带波动的为II型切比雪夫滤波器。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤型切比雪夫滤波器。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响

25、应的幅频特性不如后者平坦。切比波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。但是在通频带内存在幅度波动。五、切比雪夫滤波器五、切比雪夫滤波器v1.切比雪夫切比雪夫I型滤波器型滤波器)/(11| )(|222cNaCjH幅度平方函数幅度平方函数1|cosh),cosh(1|),arccoscos()(xNarxxNxCN.12)()(1)(1),()(2)(221011xxCxxCxCNxCxxCxCNNN2.切比雪夫切比雪夫II型滤波器型滤波器222)/(/

26、 )/(11| )(|sbNcsbNaCCjHv其中其中 是阻带的下边频是阻带的下边频sb幅度平方函数幅度平方函数$6-4 冲激响应不变法 模拟滤波器设计完毕以后，再将模拟滤波器设计完毕以后，再将H（s）变换成）变换成H（z），也就是将），也就是将s平面映射到平面映射到z平面。平面。通常有三种方法：通常有三种方法：（1）冲激响应不变法；）冲激响应不变法；（2）阶跃响应不变法；）阶跃响应不变法；（3）双线性变换法。）双线性变换法。一、冲击响应不变法原理一、冲击响应不变法原理 h（n）为）为DF的单位冲激响应序列，的单位冲激响应序列， 为为AF的的冲激响应，冲激响应不变法就是使冲激响应，冲激响应不

27、变法就是使h（n）正好等于）正好等于 的抽样值，即的抽样值，即如果如果 则有则有上式表明，先对上式表明，先对 沿虚轴作周期延拓，再经过沿虚轴作周期延拓，再经过的映射关系映射到的映射关系映射到Z平面。平面。二、混迭失真二、混迭失真 DF的频响并不是简单的重复的频响并不是简单的重复AF的频响，而是的频响，而是AF的频响的周期延拓，即的频响的周期延拓，即 ) t (ha) t (ha)nT(h)n(ha),n(hZ)Z(H),t (hL)S(HaakaeZkTjSHTzHST)2(1)()S(HaSTeZ haj)Tk2j (HT1)e (H根据取样定理，只有当根据取样定理，只有当AF的频响带限于折

28、叠频率以内的频响带限于折叠频率以内时，即时，即才能使才能使DF在折叠频率在折叠频率 内重现内重现AF的频响，而不产生混的频响，而不产生混叠失真。但是，任何一个实际叠失真。但是，任何一个实际AF的频响却不是严格带的频响却不是严格带限的，就会产生混迭失真，如下图限的，就会产生混迭失真，如下图2T, 0)j (HSa)T/j (Ha022三、三、AF的数字化方法的数字化方法 1、一般方法、一般方法 。先。先 ，再对，再对抽样，使抽样，使 ，最后，最后 H（Z）=Zh（n），一，一般说来过程复杂。般说来过程复杂。 2、方法的简化、方法的简化 设设 只有单阶极点，而且分母的阶次大于分只有单阶极点，而且分

29、母的阶次大于分子的阶次，子的阶次， 可展成如下的部分公式可展成如下的部分公式)Z(H)S(Ha)S(HL) t (ha1a) t (ha)nT(h)n(ha)S(Ha)S(HaN1kkkaSSA)S(HN1ktSka1a) t (ueA)S(HL) t (hk因此，因此，N1kN1knTSknTSka)n(u)e (A)n(ueA)nT(h)n(hkknnZ)n(h)n(hZ)Z(H0nN1kkn1TSA)ze (kN1k0nn1TSk)ze (AkN1k1TSkZe1Ak3、几点结论、几点结论（1）S平面的单极点平面的单极点 变为变为Z平面单极点平面单极点 就可求得就可求得H（Z）。）。（2

30、）Ha(s) 与与H（Z）的系数相同，均为）的系数相同，均为（3）AF是稳定的，是稳定的，DF也是稳定的。也是稳定的。（4）S平面的极点与平面的极点与Z平面的极点一一对应，但两平面的极点一一对应，但两平面并不一一对应。平面并不一一对应。例如，零点就没有这种对应关系。例如，零点就没有这种对应关系。4、修正的、修正的H（Z）由于由于DF的频响与的频响与T成反比，当成反比，当T很小时，很小时，DF的增益的增益过高，这样很不好，为此做如下修正：过高，这样很不好，为此做如下修正：kSSTSkeZkA)nT(Th)n(haN1k1TSkZe1TA)Z(Hkkaaj),Tj (H)kT2jTj (H)e (

31、H例例6-3 AF的系统函数为的系统函数为 ，试用冲激响应不变法，设计试用冲激响应不变法，设计IIRDF，T=1解：解： 设设T=1，3S11S1)S(HaT31T1eZ1TeZ1T)Z(H42311311T3111eZ)ee (Z1)ee (ZeZ11eZ11)Z(H08315679. 0e ,049789068. 0e ,367879441. 0e431211Z01831. 0Z4177. 01Z3181. 0)Z(H通常，信号大都为时限的，据信号理论可知，时限信号变换到频域， 将变成非带限信号，系统也遵循这一原则。这样当用冲激响应不变法设计DF时，不可避免的产生混叠失真。为了克服混叠失真

32、，可采用双线性变换法。这种方法的基本思想是，先将 S 平面中非带限的所设计的系统函数变换到 S1平面，并使其为带限的，然后再转换到Z平面。一、变换原理一、变换原理 在S平面与Z平面的映射关系中,我们知道，S平面中一条宽为 （如 到 ）的横带就可以变换到整个Z平面.因此，可先将整个S平面压缩到一个中介的 平面的一条横带里，再通过 将此横带变换到整个Z平面上。这样就使S平面和Z平面是一一映射关系。如下图所示：1ST2TTTSeZ1$6.5 $6.5 双线性变换法双线性变换法S平面S1平面Z平面 时，将由 经过0变到 由上图可知，将 S平面进行压缩，实际上，就是将其 轴压缩到 平面的 轴上的 到 的

33、范围内。这可通过正切变换实现：1Sj1jTT)2(1TtgC 其中C为任意常数。由上式可知，当 由 经过0变到1TT通过欧拉公式，可得：CeeeejTjTjTjTj22221111 上式表示两个线性函数之比，称双线性变换双线性变换将上式关系延拓到整个S和 平面，则有：1SCeeSTSTS1111借助于 平面和Z平面的映射关系： ，可以得到：1STSeZ1111111ZZCZZCSSCSCZ1,111111Czzzzs1,11Cssz1,1111CeesTsTsZS 二、 S平面与Z平面的映射关系由于jCjCSCSCZ可得：2222)()(CCZ（1）当 时， ；这就是说，S平面的 轴映射Z平面

34、的单位圆上。01Zj（2）当 时，上式的分母大于分子，则有 ；这表明S左半平面映射到Z平面的单位圆内。两者均是稳定的。01Z三、 变换常数C的选择 由于 ，所以只有当 很小（一般）， 和 之间才存在线性关系，即：)2(1TtgCT13 . 01T12/1TC1.如果使AF和DF在低频处有较确切的对应关系，则选择 1这时有 ，即:2/11TCTC22.如果使DF的某一稳定频率（如 ）与AF的一特定频c严格相对应，则有)2()2(1ccctgCTtgCTcc1率即2ccctgC1121111ZZTZZCSSTSTSCSCZ22四、双线性变换的特点四、双线性变换的特点1、S平面的虚轴（ ）映射到Z平

35、面的单位圆上。这是因为 时，不管常数C为何值， 均为1j0Z2、稳定的AF，经双线性变换后所得DF也一定是稳定的，这是因为稳定的AF，其极点必全部位于S的左半平面上，经双线性变换后，这些极点全部落在单位圆内。3、其突出的优点是避免了频响的混叠失真。说明如下：将 代入双线性变换公式，且 则jeZTC22222cossin2112tgTjjTeeTSjj22tgTjj即亦即)2(21Ttg 从 时，则 从 ；这就是说，S平面的正虚轴被映射到Z平面的单位圆的上半部00 从 时，则 从 ；这就是说，S平面的负虚轴被映射到Z平面的单位圆的下半部00也就是说，从S平面到Z平面，频率轴是单位变换关系，而且当

36、时，为折叠频率，所以不会有高于折叠频率的分量，因此不会产生混叠失真。)2(2tgT变换关系近似于线性，随着 的增加， 表现出严重 非线性 。因此，DF的幅频响应 相对于AF的幅频响应会产生畸变。只有能容忍或补偿这种失真时，双线性变换法才是实用的。4.频率的非线性失真从 的关系曲线可以看出，在零频附近， 与 之间的)( f)2(2tgT五、五、 基于双线性变换法的基于双线性变换法的IIR设计方法设计方法1、直接代入法、直接代入法 只需将 代入AF系统函数 就可得到DF的系统函数 ，即)1/()1 (11ZZCS)(SHa)(ZH)1/()1(11)()(ZZcsaSHZH2.间接代入法间接代入法

37、先将 AF的系统函数分解成级联或并联形式，然后在对每一个子系统函数进行双线性变换。例如miSHZHZHZHZHZHSHSHSHSHZZcsaiimamaaa,.,2 , 1,)()()().()()()().()()()1/()1 (212111并联形式与上述类似例：利用双线性变换法设计巴特沃斯型数字低通滤波器例：利用双线性变换法设计巴特沃斯型数字低通滤波器设计滤波器的幅度响应与相位响应$6.6 $6.6 设计设计IIRIIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换法法进行频率变换的两种方法： v这种简化方法与直接第一种相比，省去了中间环节，设计过程简单。第一种方法的简化形式：第一种方法的简化

38、形式： 一、从一、从S域到域到Z域的频率变换法域的频率变换法v1、从归一化模拟低通滤波器原型到数字高通滤波器的频率变换法变换关系：变换关系：2、从归一化模拟低通滤波器原型到数字带通滤波器的频率变换法、从归一化模拟低通滤波器原型到数字带通滤波器的频率变换法 s l s u l u 0 带通幅度响应中心频率低通幅度响应 c s b00数字带通到模拟低通的映射关系00) 1 (00sezjjsz1, 0) 2 (模拟低通与数字带通的频率变换曲线模拟低通与数字带通的频率变换曲线数字滤波器阻带通带阻带阻带通带模拟滤波器阻带模拟低通滤波器与数字带通滤波器的频率变换关系模拟低通滤波器与数字带通滤波器的频率变

39、换关系直接由归一化模拟低通原型求数字滤波器的频率变换公式表直接由归一化模拟低通原型求数字滤波器的频率变换公式表见表见表6-8二、数字域频率变换法数字域频率变换法 v在已知数字低通滤波器时，通过在Z域内的数字频域变换得到所需类型的数字滤波器 则：v（1）为满足一定的频率响应要求，z域的频率必须变换成Z域的频率，也就是说平面的单位圆必须映射到Z平面的单位圆上；v（2）为保证因果稳定的系统变换到因果稳定的系统，要求单位圆内部映射到Z的单位圆内部。v（3）由于是的有理函数，要求变换函数必须是的有理函数。由低通数字滤波器变换成各种类型数字滤波器的公式和参数见：表6-9$6.7 数字陷波器设计数字陷波器设

40、计 v也被称为点阻滤波器一种特殊的带阻滤波器，其阻带在理想情况下只有一个频率点主要用于消除某个特殊的频率干扰在各种测量量器和数据采采系统中用于消除除电干扰的工频陷波器一般为IIR滤波器v设计方法双线性变换进行设计零极点累试的方法1陷波器的频率特性陷波器的频率特性2.利用双线性变换设计数字陷波器利用双线性变换设计数字陷波器 已知二阶模拟陷波器的传输函数为：202202)(BssssH则二阶数字陷波器的传输函数为1 ()1 (2)1 ()1 ()1 (2)1 (| )()(11zBzBzzsHzHzzs可改写成： 其中： 0cos)2/tan(1)2/tan(1BWBW3零极点累试的设计方法零极点累试的设计方法（1）基本方法IIR系统函数：由于零极点的共轭成对，考虑二阶： 二阶系统的零极点分布：IIR数字滤波器设计总结数字滤波器设计总结v一、IIR数字滤波器设计