第2章 连续时间系统的时域分析

1、第第2章章 连续时间系统连续时间系统的时域分析的时域分析 引言信号与系统分析的基本任务是在给定系统和信号与系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。输入的条件下，求解系统的输出响应。时域分析方法时域分析方法: :不涉及任何变换，直接求解系不涉及任何变换，直接求解系统的微分方程，这种方法比较直观，物理概统的微分方程，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。连续时间系统可用微分方程表示，因此在时连续时间系统可用微分方程表示，因此在时域下分析连续时间系统，实际上就是求解微域下分析连续时间系统，实际上就是求解微分方

2、程的过程。分方程的过程。而对于离散时间系统可用差分方程表示，因而对于离散时间系统可用差分方程表示，因此在时域下分析离散时间系统，实际上就是此在时域下分析离散时间系统，实际上就是求解差分方程的过程。求解差分方程的过程。系统分析过程系统分析过程 变换域法变换域法利用卷积积分法求解利用卷积积分法求解零状态零状态可利用经典法求可利用经典法求零输入零输入双零法双零法经典法经典法解方程解方程网络拓扑约束网络拓扑约束根据元件约束根据元件约束列写方程列写方程:,:经典法经典法: :电路分析基础课里已经讨论过，求解微分方电路分析基础课里已经讨论过，求解微分方程的齐次解和特解，代入初始条件求解系数，得出程的齐次解

3、和特解，代入初始条件求解系数，得出全响应全响应；卷积积分法卷积积分法: : 任意激励下的零状态响应可通过冲任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。激响应来求。( (新方法新方法) )线性系统完全响应的求解；线性系统完全响应的求解；零输入响应和零状态响应的求解；零输入响应和零状态响应的求解；冲激响应冲激响应h(t) 和阶跃响应和阶跃响应g(t)g(t)的求解；的求解；卷积的定义；卷积的定义；图解法求卷积；图解法求卷积；卷积的性质；卷积的性质；卷积积分法求系统响应；卷积积分法求系统响应；本章主要内容本章主要内容许多实际系统可以用线性系统来模拟。许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时

4、间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程线性常系数微分方程来描述。来描述。一物理系统的模型一物理系统的模型本节复习求解系统微分方程的经典法：本节复习求解系统微分方程的经典法：物理系统的模型物理系统的模型微分方程的列写微分方程的列写n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。约束列写系统的微分方程。 元件

5、特性约束：元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系由网络结构决定的电压电流约束关系,以基尔霍夫以基尔霍夫电流电流定律定律KCL，基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律KVL表表示。示。二微分方程的列写二微分方程的列写1. 1. 元件约束元件约束VARVAR在电流、电压取关联参考方向条件下：在电流、电压取关联参考方向条件下：(1)

6、(1)电阻电阻R R，u uR R(t)=R(t)=Ri iR R(t)(t)； (2)(2)电感电感L L， (3)(3)电容电容C C，(4)(4)互感互感( (同、异名端连接同、异名端连接) )、理想变压器等原、副、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。边电压、电流关系等。00( )11( ),( )( )( )( )ttLLLLLLtditutLitudituddtLL 00( )11( ),( )( )( )( )ttCCCCCCtdutitCutidutiddtCC2. 2. 结构约束结构约束KCLKCL与与KVLKVL下面举例说明。下面举例说明。例例 如图所示电路，输入激励是电流

7、源如图所示电路，输入激励是电流源i iS S(t),(t),试列出电流试列出电流i iL L(t)(t)为输出响应变量为输出响应变量的方程式。的方程式。 iS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L 由由KVLKVL，列出电压方程，列出电压方程2122( )( )( )( )cLLdu tdu tditditLRdtdtdtdt 12( )( )( )( )CLLutu tutR it 对上式求导对上式求导考虑到考虑到所以所以 11( )( )( )( )CCCdutitCR itu tdt 2( )( )LLditLR itdt iS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L211

8、221( )( )( )1( )LLdu tditditu tLRR Cdtdtdt根据根据KCLKCL，有，有i iC C(t)=i(t)=iS S(t)-i(t)-iL L(t)(t)，因而，因而u u1 1(t)=R(t)=R1 1i iC C(t)=R(t)=R1 1(i(iS S(t)-i(t)-iL L(t)(t) 21212( )( )( )11( )( )SLLLSditd itRRditRititdtLdtLCLdtLC 2122( )( )( )( )1( )( )()SLLLSLditditd itditititRLRCdtdtdtdt 整理上式后，可得整理上式后，可得i

9、S(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L三n 阶线性时不变系统的描述 一个线性系统，其激励信号一个线性系统，其激励信号 与响应信号与响应信号 之间之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述( )e t( )y t1110111101d( )d( )d ( )( )dddd( )d( )d ( )( )dddnnnnnnmmmmmmy ty ty taaaa y tttte te te tbbbb e tttt 若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则a，b均为常数，此方程为常均为常数，此方程为常系数的系数的n阶线性常系数微分方程。阶线性常系数微

10、分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。分析系统的方法：分析系统的方法：列写方程，求解方程列写方程，求解方程。 变换域法变换域法利用卷积积分法求解利用卷积积分法求解零状态零状态可利用经典法求解可利用经典法求解零输入零输入应应零输入响应和零状态响零输入响应和零状态响经典法经典法解方程解方程网络拓扑约束网络拓扑约束根据元件约束根据元件约束列写方程列写方程: ,:求解方程时域求解方程时域经典法经典法就是：就是：齐次解齐次解 + 特解特解。四求解系统微分方程的经典法四求解系统微分方程的经典法 我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入

11、的时刻定义为t=0 ，响应，响应为为 时的方程的解，初始条件时的方程的解，初始条件0t 齐次解：齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式1ekntkkc 注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。特特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程代入原方程，比较系数，比较系数 定出特解。定出特解。2121d (0 )d(0 )d(0 )(0 ) ,dddnnyyyyttt kc2.1.12.1.1微分方程的经典解微分方程的经典解全全 解：齐次解解：齐次解+特解，由特解，由初始条

12、件初始条件定出齐次解定出齐次解 。齐次解满足齐次微分方程齐次解满足齐次微分方程 y y(n)(n)(t)+a(t)+an-1n-1 y y(n-1)(n-1)(t)+(t)+a+a1 1y y(1)(1)(t)+a(t)+a0 0y(t)=0 y(t)=0 由高等数学经典理论知，该齐次微分方由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征方程为程的特征方程为 n n+a+an-1n-1n-1n-1+ +a+a1 1+a+a0 0=0=0 齐次解齐次解 (1)(1)特征根均为单根。如果几个特征根特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同都互不相同( (即无重根即无重根) )，则微分方程的，则微分方程的齐

13、次解齐次解(2) (2) 特征根有重根。若特征根有重根。若1 1是特征方程的是特征方程的重根，即有重根，即有1 1=2 2=3 3= =，而其，而其余余(n-)(n-)个根个根+1+1，+2+2，n n都是都是单根，则微分方程的齐次解单根，则微分方程的齐次解1( )inthiiy tc e 11( )jinttihijijytc tec e (3)(3)特征根有一对单复根。即特征根有一对单复根。即1, 21, 2=a=ajbjb，则微分方程的齐次解则微分方程的齐次解y yh h(t)=c(t)=c1 1e eatatcosbt+ccosbt+c2 2e eatatsinbtsinbt或或 y

14、yh h(t)=Ae(t)=Aeatatcos(bt-cos(bt-) ) (4)(4)特征根有一对特征根有一对m m重复根。即共有重复根。即共有m m重重1,21,2=a=ajbjb的复根，则微分方程的齐次解的复根，则微分方程的齐次解11211211122( )coscoscossinsinsin( )cos()cos()cos()atatmathmatatmatmatatmathmmytc ebtc tebtc tebtd ebtd tebtd tebtytA ebtA tebtA tebt 3232ddd71612dddy ty ty ty te tttt求求微微分分方方程程系统的特征方

15、程为系统的特征方程为 32716120 2230 122 , 3 重重根根 23123eetthytc tcc 特征根特征根因而对应的齐次解为因而对应的齐次解为例例 7 17 153 ( )ytytyty tetet 求求微微分分方方程程系统的特征方程为系统的特征方程为 32717150 1233 , 2, 2jj 32123321ee(cossin )eecos()tthtthytCCtCtytCAt 或或特征根特征根因而对应的齐次解为因而对应的齐次解为例例特征根特征根齐次解齐次解yh(t)i itiC e i 12121()itrrrrC tC tCtC e 1,2j12(cossin)c

16、os()tteCtCtAet 或或特征根与相应的齐次解形式特征根与相应的齐次解形式单根单根r重根重根共轭复根共轭复根1,2jr重共轭复根重共轭复根1211221100cos()cos()cos()cos()atrrrrrreCttCttC ttCt激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数y(t)的特解的特解)(常常数数E)(常常数数Bmt1110mmmmP tPtPtP t e1110e(+)etrrtrrPP tPtPtP 或或 t cos t sin 12cossinPtPt esinmttt ecosmttt 11101110()cos()sinemmmmmmtmmP tPtPtPtQ

17、tQtQ tQt 几种典型激励函数相应的特解几种典型激励函数相应的特解 cosAt 或或如果已知：如果已知： 分别求两种情况下此分别求两种情况下此方程的特解。方程的特解。 22ddd23dddy ty te ty te tttt 给定微分方程式给定微分方程式 p2123ytB tB tB 为使等式两端为使等式两端 221,2 ,e tttt 代代入入方方程程右右端端 得得到到平衡，试选特解函数式平衡，试选特解函数式 将此式将此式代入方程代入方程得到得到 为待定系数。为待定系数。这里这里321, , BBB ttBBBtBBtB2322 34323212121 例例2(1) ( ); ( )te

18、 tte te等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有 032223413321211BBBBBB联解得到联解得到2710 ,92 ,31321 BBB所以，特解为所以，特解为 p212103927yttt 这里，这里，B是待定系数。是待定系数。 代入方程后有：代入方程后有： ee,tte ty tB 。tttttBBBeee3e2e 31 B p= e13tyt于于是是，特特解解。(2)全解全解将微分方程的齐次解和特解相加可得到全将微分方程的齐次解和特解相加可得到全解。解。全解中的待定系数可由系统的初始条件确全解中的待定系数可由系统的初始条件确定。定。试求

19、试求 的全解。的全解。 22dd56ddy ty ty te ttt 给定微分方程式给定微分方程式2560 （1）系统特征方程为）系统特征方程为例例( )2( ), (0 )2,(0 )1te tetyy 由此求的系统特征根为由此求的系统特征根为1 1=-2=-2、2 2=-3=-3。其齐次解。其齐次解形式为形式为2312( )tthytC eC e ( )0tpytet （2 2）已知激励信号为）已知激励信号为e(t)=2ee(t)=2e-t-t(t),(t),可设特解可设特解将特解与激励将特解与激励e(t)=2e-te(t)=2e-t(t)(t)带入原微分方程，可带入原微分方程，可得得 P

20、=1P=1( )0tpytPet 所以所以（3 3）微分方程全解为）微分方程全解为2312( )( )( )0ttthpy ty tytC eC eet 01212012(0 )( )|1232(0 )( )|2311ttyy tCCCCyy tCC 全解一阶导数为全解一阶导数为令令y(t)y(t)、y y(t)(t)两式中的两式中的t=0t=0+ +，结合已知初始条件，得，结合已知初始条件，得2312( )230ttty tC eC eet 故系统微分方程全解为故系统微分方程全解为23( )320ttty teeet 齐次解齐次解（自由响应）（自由响应） 特解特解（强迫响应）（强迫响应）已知

21、激励信号已知激励信号e(t)=sin2t(te(t)=sin2t(t0) ) ，初始时刻，初始时刻，电容端电压均为零，求输出信号电容端电压均为零，求输出信号v v2 2(t)(t)。例例(1)(1)列微分方程列微分方程21222 222( )1( )( )( )( )( )3Rdv tv tvtv tR iv tv tdt 2222( )( )1( )3dv tdv ti tCdtdt2122112( )( )( )11( )62dv td vtdvti tCdtdtdt 22211122( )( )15( ) ( )( )66Rd v tdv tvtR i ti tdtdt2221122(

22、)( )17( )( )( )( )66Rd v tdv te tvtv tv tdtdt 22222( )( )76( )6sin2(0)d v tdv tv tttdtdt 整整理理，得得212612(2)7601,6ttA eA e 为为求求齐齐次次解解，写写特特征征方方程程特特征征根根为为齐齐次次解解(自(自由由响响应应)为)为121212121212(3)sin2cos2,4sin24cos214cos214sin26sin26cos26sin2321,5050321sin2cos25050BtBtB BBtBtBtBtBtBttBBtt 特特解解形形式式为为代代入入原原方方程程求求

23、系系数数解解得得于于是是，特特解解(强(强迫迫响响应应)为)为6212(4)321( )sin2cos25050ttv tAeA ett 完完全全解解为为22222222(0 )0(0 )(0 )0(0 )(0 ),0CvvvdvdvRCdtdt 由由于于已已知知电电容容初初始始电电压压，因因此此有有。同同时时流流过过的的初初始始电电流流也也为为零零，即即。根根据据这这两两个个初初始始条条件件，可可写写出出12121221024350,650500650AAAAAA 得得62123321( )sin2cos2 ,(0)25505050ttv teettt 完完全全解解为为2.1.2 2.1.2

24、 关于系统关于系统t=0t=0- -与与t=0t=0+ +状态的讨论状态的讨论我们来进一步讨论我们来进一步讨论 的条的条件。件。 ( )( )(0 )(0 )kkyy 0t 2121d0d0d000,dddnknyyyyyttt 0 状状态态、系系统统的的初初始始状状态态。O 0 0t0 状状态态、系系统统全全响响应应的的初初始始条条件件。 2121d0d0d000,dddnknyyyyyttt 当系统用微分方程表示时，系统从当系统用微分方程表示时，系统从 到到 状态有状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及及其各阶导数项。其各阶导数项。 0

25、0 t 一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则： .00 ,00 LLCCiivv对于一个具体的电网络，系统的对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中状态就是系统中储能元件的储能情况储能元件的储能情况; ; 0 00 到到但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，作用于电感， 状态就会发生跳变。状态就会发生跳变。 说明由伏安关系由伏安关系 tCCiCtv d)(1)( tCCCiCi

26、CiC0000d)(1d)(1d)(1 tCCCiCiCv000d)(1d)(1)0( 0d)(1)0()0(,000 CCCiCvvt令令为为有有限限值值如如果果)(tic, 0d)(00 Ci ttic 为为如果如果)(，CiCC1d)(100 )0()0( CCvv此时此时CvvCC1)0()0( 此时此时当有冲激电流当有冲激电流或阶跃电压作或阶跃电压作用于电容时：用于电容时：)0()0( CCvvC)(tvC)(tiC1 1电容电压的突变电容电压的突变 tLLvLti d)(1)( 00d)(1)0()0( LLLvLii)(tiL)(tvLL)0()0( LLii此此时时 0d)(0

27、0， Lv如果为有限值，如果为有限值，)(tvL，为为如如果果 )()(ttvL 00 , 1d)(100LLLiiLvL此时此时 冲激电压或阶冲激电压或阶跃电流作用于跃电流作用于电感时：电感时：)0()0( LLii2 2电感电流的突变电感电流的突变配平的原理：配平的原理：t =0 时刻时刻微分方程左右两端的微分方程左右两端的(t)及各阶及各阶导数应该平衡导数应该平衡( (其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）可以不管其他项） d33dy ty ttt 0,0yy 已已知知求求例例： 相对单位跳变函数相对单位跳变函数到到表示表示 00:tu

28、ttytydtd 33 tt 33 t 3 t 9 t 9 tu 93 3 3冲激函数匹配法（冲激函数匹配法（冲激平衡法冲激平衡法）确定初始条件）确定初始条件( ) t 在在 中中 时刻有时刻有 y t0 t tu 9 t 3方方程程右右端端含含 d3dy ttt 中中必必含含 3y tt 中中包包含含 t 方方程程右右端端不不含含 d939dy tty ttt 必必含含以以平平衡衡中中的的 009yy 009yy 即即中的中的 ddy tt t 9 表示表示 到到 的相对跳变函数，所以，的相对跳变函数，所以， tu 0 0分析分析 d33dy ty ttt d33dy ty ttt 由由方方

29、程程可可知知 项项，方方程程右右端端含含t ddy tt它它一一定定属属于于 y tatb u t ttubtatuctbta 333 009yyb ddy tatbtc u tt 设设则则代入方程代入方程得出得出所以得所以得 009yy 即即 03033bcaba 993cba即即数学描述数学描述（1）将）将x(t)代入微分方程，得代入微分方程，得 22dd43ddy ty ty ttt 2tt 例例方程右端的冲激函数项最高阶次是方程右端的冲激函数项最高阶次是 ，因而有，因而有 t 22d( )( )( )( )dd( )( )( )d( )( )y tatbtc u tty tatb u

30、tty ta u t )00( t 22dd43ddy ty ty ttt 2tt 代入微分方程代入微分方程 432atbtc u tatb u ta u ttt (2)142430abacba 求得求得 2222001dd002dddd005ddyyayybttyyctt 状状态态为为要要求求的的 0因而有因而有 010101d0211dyyyt 例例LTIS( )4 ( )3 ( )2 ( )2 ( )( )( ),(0 )1, (0 )1,yty ty tx tx tx ttyy 某某的的微微分分方方程程为为已已知知求求全全响响应应。212312312(2)()( )4301,3( )(

31、 )( )( )2/30(3)(0 ), (0 )( )( ),0,( )4 ( )3 ( )2 ( )2( )htthphtty ty tc ec ey tyty tc ec etyyx tttyty ty ttu t 求求自自由由响响应应齐齐次次解解特特征征方方程程为为所所以以系系统统全全解解为为求求初初始始条条件件将将代代入入微微分分方方程程 在在时时刻刻 微微分分方方程程为为2.22.2零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 自由响应强迫响应自由响应强迫响应(Natural+forced)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响

32、应暂态响应+稳态响应稳态响应(Transient+Steady-state) 也称固有响应，由系统本身特性决定，与也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。外加激励形式无关。对应于齐次解。 形式取决于外加激励。对应于特解。形式取决于外加激励。对应于特解。 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。增加，它将消失。 由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。响应分量。 没有外加激励信号的作用，只由起始状没有外加激励信号的作

33、用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。态（起始时刻系统储能）所产生的响应。 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。 (1)(1)自由响应：自由响应：(2)(2)暂态响应：暂态响应：稳态响应：稳态响应：强迫响应：强迫响应：(3)(3)零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：各种系统响应定义各种系统响应定义2.2.12.2.1零输入响应零输入响应零输入响应是在初始状态不为零而输入为零时零输入响应是在初始状态不为零而输入为零时的响应。的响应。由于输入为零，系统

34、微分方程为齐次方程，零由于输入为零，系统微分方程为齐次方程，零输入响应解的形式与齐次解的形式相同。输入响应解的形式与齐次解的形式相同。是待定系数。是待定系数。式中式中initizictectyi0)(1 激励信号的影响。激励信号的影响。有关，还会受到有关，还会受到不仅与系统的初始状态不仅与系统的初始状态关；而齐次解中的系数关；而齐次解中的系数与激励信号无与激励信号无与系统初始状态有关，与系统初始状态有关，零输入响应中的系数仅零输入响应中的系数仅数却不同。数却不同。然形式相同，但待定系然形式相同，但待定系零输入响应与齐次解虽零输入响应与齐次解虽。待定系数待定系数来确定零输入响应中的来确定零输入响

35、应中的，态态时，可由系统的初始状时，可由系统的初始状因此，在求零输入响应因此，在求零输入响应所以所以的状态不会发生变化，的状态不会发生变化，到到外界激励，系统从外界激励，系统从在零输入状况下，没有在零输入状况下，没有ijjzizicyyyjyyyytt)0( ),0( ),0(), 2 , 1()0()0()0()0(00)()( 某某LTILTI系统微分方程为系统微分方程为 y y(t)+5y(t)+5y(t)+4y(t)=e(t)(t)+4y(t)=e(t)已知已知y y(0(0- -)=1,y(0)=1,y(0- -)=2)=2。试求该系统零输入响应。试求该系统零输入响应y yzizi(

36、t)(t)。例例 由微分方程可得特征方程为由微分方程可得特征方程为 2 2+5+5+4=0+4=0求得特征根为求得特征根为1 1=-1=-1，2 2=-4=-4。此系统零输入响应可写为此系统零输入响应可写为y yzizi(t)=C(t)=C1 1e e-t-t+C+C2 2e e-4t-4t t t0 0结合系统的初始状态结合系统的初始状态y y(0(0- -)=1,y(0)=1,y(0- -)=2)=2，可得，可得121122(0)(0 )23 (0)(0 )411ziziyyCCCyyCCC 故此系统的零输入响应为故此系统的零输入响应为4( )30ttziyteet此例中，若激励信号为此例

37、中，若激励信号为 ，求齐次解。，求齐次解。有有 ( )( )e tt 22d( )( )( )dd( )( )d( )0y tatb u tty ta u tty t )00( t 22dd54ddy ty ty ttt t 代入微分方程代入微分方程 5atb u ta u tt 150aba 求得求得 2222000dd001dddd005ddyyyyattyybtt 状状态态为为要要求求的的 0因而有因而有 002d0112dyyyt 结合系统的初始条件结合系统的初始条件y y(0(0+ +)=2,y(0)=2,y(0+ +)=2)=2，可得，可得121122(0 )210/ 3(0 )4

38、24/ 3yCCCyCCC 故此系统的齐次解为故此系统的齐次解为4104( )033tthyteet 2.2.22.2.2零状态响应零状态响应零状态响应是在系统初始状态为零，即零状态响应是在系统初始状态为零，即y(0y(0- -)= )= y y(0(0- -)= y)= y(0(0- -)=)= y= y(n-1)(n-1)(0(0- -)=0)=0，但激励不，但激励不为零时的响应。为零时的响应。此时系统的微分方程是非齐次方程，解的本此时系统的微分方程是非齐次方程，解的本身包含齐次解和特解两部分。身包含齐次解和特解两部分。实际上，求解零状态响应就是求解系统初始实际上，求解零状态响应就是求解系

39、统初始状态为零的条件下的系统全响应。状态为零的条件下的系统全响应。例例( )3 ( )2 ( )2 ( )6 ( )( )( ), (0 )1,(0 )3( ),( )( )zizsyty ty txtx tx ttyyytyty t 某某线线形形时时不不变变系系统统的的微微分分方方程程为为已已知知。试试求求零零输输入入响响应应零零状状态态响响应应和和全全响响应应12212(1)( )( )0,( )3 ( )2 ( )01,2( )0zittziytx tyty ty tytc ec et 求求零零输输入入响响应应在在零零输输入入情情况况下下, ,此此时时微微分分方方程程为为齐齐次次方方程程

40、其其特特征征根根为为即即12112220(0 )(0 )1,(0 )(0 )3,(0 )15(0 )234( )540ttzityyyyycccycccyteet 由由于于激激励励为为零零，在在时时刻刻，初初始始条条件件不不可可能能发发生生跳跳变变所所以以即即故故零零输输入入响响应应为为212212(2)( )(0 ) (0 )0( )( )( )( ),0( )1(0),( )(0)3( )3,0zszszsttzshpppttzsytyyytytytc ec eyttx ttytP tPytc ec et 求求零零状状态态响响应应由由于于零零状状态态响响应应是是在在系系统统初初始始状状态态

41、为为零零，而而仅仅考考虑虑由由激激励励引引起起的的响响应应，即即。零零状状态态响响应应包包含含齐齐次次解解和和特特解解，即即由由于于激激励励信信号号设设代代入入原原微微分分方方程程，可可得得故故(0 ), (0 )0( )3 ( )2 ( )2 ( )6( )( )( )( )( )2( )( )( ),6( )( )20(0 )(0 )22, (0 ) (0 )66zszszszszszszyytyty ty ttu tytatbtc u tay tatb u tby ta u tcyyyyy 求求初初始始条条件件系系统统在在时时刻刻的的微微分分方方程程为为取取代代入入微微分分方方程程得得因

42、因此此故故1211222(0 )328 (0 )267( )873,0szsttzscccycccyteet 因因此此例例12212(1)( )( )0,( )3 ( )2 ( )01,2( )0zittziytx tyty ty tytc ec et 求求零零输输入入响响应应在在零零输输入入情情况况下下, ,此此时时微微分分方方程程为为齐齐次次方方程程其其特特征征根根为为即即处处的的条条变变量量。，故故需需要要求求、始始状状态态系系统统初初零零输输入入响响应应，必必须须知知道道两两方方面面的的影影响响，而而要要求求激激励励中中包包含含系系统统初初始始状状态态和和、已已知知条条件件中中的的0)

43、0( )0()0( )0( tyyyy)()783()()2(2teetyttzs ，即，即所以零状态响应也相同所以零状态响应也相同全相同，全相同，程与激励信号与上例完程与激励信号与上例完由于此例题中的微分方由于此例题中的微分方零状态响应零状态响应 系统系统零输入响应零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值由非零的系统状态值 决定的初始值求出决定的初始值求出待定系数。待定系数。 0 0yy和和 系统系统零状态响应零状态响应，是在激励作用下求系统方程的，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由非齐次解，由 为零决定的初始值为零决定的初始值求出待定系数。

44、求出待定系数。 0 0yy 和和 求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出出卷积积分法卷积积分法。 t 线性时不变系统线性时不变系统 th x t th y t系统的零状态响应系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即激励与系统冲激响应的卷积，即 y tx th t 求解过程分析求解过程分析2.3.1 2.3.1 冲激响应冲激响应当系统的激励信号为单位冲激信号当系统的激励信号为单位冲激信号(t)时，系统的时，系统的零状态响应称作单位冲激响应，简称为冲激响应，零状态响应称作单位冲激响应，简称为冲激响应，常用常用“h(t)”表示。表示。冲激响应冲激

45、响应h(t)反映了系统的特性，同时也是利用卷反映了系统的特性，同时也是利用卷积积分进行系统时域分析的基础。积积分进行系统时域分析的基础。 2.32.3冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应（1 1）抽样性）抽样性 )0(d)()(ftttf )()0()()(tfttf （2 2）奇偶性）奇偶性 )()(tt （3 3）比例性）比例性 taat 1)( （4 4）微积分性质）微积分性质d ( )( )dttt ( )d( )tt （5 5）冲激偶）冲激偶 )()(tt 0d)(tt tttt)(d)( )()0()()0()()(tftfttf )0(d)()(ftttf （6 6）卷积性质）卷

46、积性质 tfttf 冲激函数的性质总结冲激函数的性质总结 1()atta a 系统的冲激响应系统的冲激响应线性时不变系统的单位冲激响应，是指线性时不变系统的单位冲激响应，是指系统初始状态为零，激励为单位冲激信系统初始状态为零，激励为单位冲激信号号 作用下的响应，简称冲激响应，作用下的响应，简称冲激响应，且用且用 表示。表示。)(t )(thH t th( )(1)110()(1)110( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )0h tnnnmmmmnytayta y ta y tb xtbxtb x tb x tx tttt 对对于于一一个个 阶阶线线形形时时不不变变系

47、系统统，其其数数学学模模型型为为将将代代入入微微分分方方程程，则则方方程程右右侧侧是是及及其其导导数数的的线线形形组组合合。在在时时方方程程右右侧侧恒恒等等于于零零，因因此此，冲冲激激响响应应 ( )( )的的表表达达式式与与齐齐次次解解的的形形式式相相同同。101( )0( )() ( )( )( )() ( )( )(),iintiintiijinmh tC etnmh tCtC etnmtjmnC C 若若系系统统微微分分方方程程的的特特征征根根为为单单根根，则则当当时时有有当当时时, ,有有当当时时, ,除除了了有有指指数数项项和和冲冲激激函函数数外外，还还有有冲冲激激函函数数的的导导

48、数数项项项项。为为待待定定系系数数，他他的的求求法法有有两两种种，第第一一种种为为比比较较系系数数法法（或或称称待待定定系系数数法法）。( )5 ( )6 ( )3 ( )2 ( )( )yty ty tx tx th t 系系统统微微分分方方程程为为试试求求其其冲冲激激响响应应例例。121212112223( )( )() ( )(32) ( )3 ( )2 ( )343227( )( 47) ( )ttx ttcctcctttcccccch teet 将将上上三三式式和和代代入入原原微微分分方方程程，整整理理得得所所以以，解解得得因因此此(1)( )( )( )( ),( )0(0 )(0

49、 )(0 )(0 )inh th tx ttCh tthhhh 上上面面介介绍绍的的求求解解冲冲激激响响应应的的方方法法为为待待定定系系数数法法。我我们们还还可可以以使使用用上上节节介介绍绍的的求求解解零零状状态态响响应应的的方方法法，这这是是因因为为冲冲激激响响应应是是系系统统在在激激励励时时的的零零状状态态响响应应。为为确确定定冲冲激激响响应应中中的的待待定定系系数数需需要要知知道道在在时时刻刻的的起起始始值值、。(1)(1)(0 )(0 )(0 )0( ), ( )00(0 )(0 )(0 )(0 )nnhhhth thhhh 因因为为冲冲激激响响应应是是零零状状态态响响应应，故故有有。

50、由由于于冲冲激激信信号号的的加加入入及及其其各各阶阶导导数数有有可可能能在在发发生生跳跳变变，则则起起始始值值、 、就就等等于于其其跳跳变变值值。121122( )( )( )( )3( )( )( ),13( )( )47(0 )(0 )33, (0 )(0 )1313(0 )3, (0 )13,(0 )34(0 )23137( )htatbtc u tah tatb u tbh ta u tchhhhhhhCCChCCCh t 取取可可得得所所以以根根据据初初始始条条件件可可得得因因此此32(74) ( )tteet 2.3.2 阶跃响应阶跃响应当激励信号当激励信号e(t)e(t)为单位阶

51、跃信号为单位阶跃信号(t)(t)，系统，系统的零状态响应称作单位阶跃响应，简称阶跃响的零状态响应称作单位阶跃响应，简称阶跃响应，常用应，常用“g(t)g(t)”表示表示。 -( ):(1)( )( ),( )(2)( )( ),( )( ),( )( )-ttg tx ttg ttdg thdg th tt 在在时时域域中中常常用用的的求求解解阶阶跃跃响响应应的的方方法法主主要要有有两两种种在在时时 求求系系统统的的零零状状态态响响应应，得得到到。因因为为根根据据线线形形系系统统的的积积分分性性质质，有有即即阶阶跃跃响响应应是是冲冲激激响响应应从从的的积积分分。例例。的的阶阶跃跃响响应应求求系

52、系统统微微分分方方程程为为)()(2)( 3)(6)( 5)( tgtxtxtytyty 031)(3126)()(01)(32)()(1322121 teCeCtgPPPtyPtyttxttxttpp所所以以代代入入原原方方程程中中，得得将将。），所所以以设设特特解解（因因为为激激励励。、根根为为根根据据微微分分方方程程求求得得特特征征时时的的零零状状态态响响应应。：求求激激励励方方法法 )()31372()(031372)(372332)0( 031)0()(3)0( 0)0(3)0( )0( 0)0()0(1330)()()( )()()( )(2)(3)(6)( 5)( 0323221

53、2121teetgteetgCCCCgCCgtgyyayyyybatytuatytubtatytuttytytyttttt 或写为或写为故故的表达式中，得的表达式中，得代入阶跃响应代入阶跃响应，将将，得得设设为为时刻，系统的微分方程时刻，系统的微分方程考虑考虑0)23731(| )237()47()()47()()()()()47()(2230230232323 teeeedeedeetgdhtgteethtttttttt 所以所以因为因为统的冲激响应为统的冲激响应为由前面的例子已得到系由前面的例子已得到系响应之间的关系求解。响应之间的关系求解。：利用阶跃响应与冲激：利用阶跃响应与冲激方法方法

54、)()()()()()(00)(00)(0ttgtgtththttgttht 为为中中的的充充分分必必要要条条件件改改写写也也可可把把因因果果系系统统在在时时域域或或响响应应）等等于于零零，即即时时，冲冲激激响响应应（或或阶阶跃跃当当表表示示为为，系系统统的的充充分分必必要要条条件件可可例例如如，一一个个系系统统是是因因果果征征系系统统的的某某些些特特性性。应应来来表表利利用用冲冲激激响响应应或或阶阶跃跃响响在在系系统统理理论论研研究究中中，常常2.42.4卷积积分卷积积分2.4.12.4.1卷积的定义卷积的定义号号。的的时时间间信信分分结结果果仍仍为为关关于于为为虚虚设设的的积积分分变变量量

55、，积积式式中中，即即的的卷卷积积可可简简记记为为与与”表表示示卷卷积积运运算算。的的卷卷积积，常常用用符符号号“与与定定义义为为时时间间信信号号，我我们们将将积积分分上上的的两两个个连连续续是是定定义义在在时时间间区区间间与与设设tdtfftftftftftftftftfdtfftftf )()()(*)()(*)()()(*)()()()(),()()(212121212121210)()()(*)()()()()()(*)(0)(0)()()()(*)(0)(0)(02121212121120212111 tdtfftftftftfdtfftftfttftttfdtfftftfftftt

56、均均为为因因果果信信号号，则则有有和和如如果果即即，限限可可以以改改写写为为，故故卷卷积积积积分分的的积积分分上上时时，即即为为因因果果信信号号，由由于于如如果果可可以以改改写写为为零零，即即故故卷卷积积积积分分的的积积分分下下限限，时时，为为因因果果信信号号，由由于于如如果果)(*)()(2)()()(21221tftftetftetftt，求，求，已知信号已知信号 例例 dtfftftft 02121)()()(*)(21212( )( )( )( )( )*( )tf tetfttf tft 已已知知，求求例例12120202( )*( )( )()11(1) ( )2tttf tftf

57、ftdedet 2.4.2卷积运算的图形解释卷积运算的图形解释 用图解法直观，尤其是对于分段函数，用图形分段求用图解法直观，尤其是对于分段函数，用图形分段求出定出定积分限积分限尤为方便准确。尤为方便准确。 d21 tfftf ),()(. 111积积分分变变量量改改为为ftf22222.( )( )()()ftffft 倒倒置置平平移移)()(. 321 tff相相乘乘： d)(. )(. 421 tff乘积的积分：乘积的积分：5(- ,),2 3 4t 、令令变变量量 在在范范围围内内变变化化 重重复复 、步步操操作作，最最终终得得到到卷卷积积结结果果()tt | |00ttt 对对 平平移

58、移，右右移移，左左移移表表达达式式，画画出出波波形形写写出出总总的的卷卷积积结结果果函函数数. 6)(*)()()()(),3()()(2121tftftytetftttft ，求求 Ot tf21O 2f1 t tt例例 1fO13Ot tf113O tf21t两波形没有公共处，二者乘积为两波形没有公共处，二者乘积为0 0，即积分为，即积分为0 0 021 tff 021 tftfty0 tt 0t tf2 向向右右移移 tf2 时两波形有公共部分，积分开始不为时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限积分下限0 0，上限，上限t ，t 为移动时间为移动时间;0 t d)()()(201

59、tfftyt d10)( tte d0 tteete 103t tf2 3)1(30100)(3teetettytt卷积结果卷积结果Ot tf21Ot tf113Ot tf2323O 2f3 23O tf2233 tt t tt例例O 1f111 Ot tf1111 O 3/21 11浮动坐标：浮动坐标：下限下限 上限上限t- -3t- -0 1f tf2t ：移动的距离：移动的距离t =0 f2(t- ) 未移动未移动t 0 f2(t- ) 右移右移t 0 f2(t- ) 左左移移 从从左左向向右右移移动动对对应应到到从从 tft2, 1f-113 tt tf2浮动坐标浮动坐标O 1f111

60、 3 tt tf2两波形没有公共处，二者乘积为两波形没有公共处，二者乘积为0 0，即积分为，即积分为0 0 021 tff 021 tftftg1 tt -1O 1f111 3 tt tf2 向向右右移移 tf2 时两波形有公共部分，积分开始不为时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限积分下限- -1，上限，上限t ，t 为移动时间为移动时间;1 t d)()()(211 tfftgt d211 tt1422 t 41242 tt-1 t 1O 1f111 3 tt tf2311tt 即即1t 2 tttg d21)(111 t 2O 1f111 3 tt tf2即即2 t 43131tt