利用余数定理进行因式分解

1、无利用余数定理进行因式分解利用余数定理进行因式分解深圳市外国语学校 苏永潮因式分解是多项式运算中很重要的一个环节， 在初中， 我们彻底解决了二次函数的因式分解，那么对于高次多项式的因式分解，又该如何进行呢？本文介绍一个比较简单的手段。基本技能：长除法基本技能：长除法我们看一个简单计算 132111211 1321 122220将上式中的 132 替换成100302，11 替换成10 1，则有10210 1 100302100 102022020用x替换上式中的 10，就可以得到2222202213222220 xxxxxxxxxxxx这就是长除法，我们这里以实战为主，就不介绍其中的理论了。称2

2、32xx为被除式，1x为除式，2x为商式，0 为余数例 1、计算：3(27)(2)xxx无解：3332323223232222777000262027222246761235xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx所以，3227(2)(26)5xxxxx注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用 0 补足。定理 1、余数定理我们还是先看一个长除法：32(27)(1)xxxx通过如例 1 所展示的方法，我们可以得到32227(1)(32)9xxxxxx记被除式32( )27f xxxx，商式2( )32Q xxx，余数9R 则( )(1) ( )9f xxQ x代入1x ，可以得到(1)(1

3、 1) (1)fQRR，即( )f x被1x除的余数为(1)f一般地，多项式( )f x被xa除，所得的余数为( )Rf a，把这个结论拓展我们可以得到：余数定理余数定理多项式多项式( )f x被被axb除，所得的余数为除，所得的余数为()bRfa例 2、求324274xxx被下列各式所除得的余数1)1x2)3x3)32x解：令32( )4274f xxxx则1）( )f x被1x除所得的余数为(1)5f2）( )f x被3x除所得的余数为( 3)151f 3）( )f x被32x除所得的余数为2290()327f 定理 2、因数定理我们来观察232xx被1x除所得的余数。无记2( )32f

4、xxx则余数(1)0Rf换言之，1x是( )f x的因式(1)0f推广到一般情形，我们可以得到因数定理因数定理axb是是( )f x的因式的因式( )0bfa利用这个定理，我们可以进行高次式的因式分解例 4、若3235xhxxk恰好能被3x整除，被1x除余数为 4，求, h k，并将多项式3235xhxxk进行因式分解。解：记32( )35f xxhxxk，则( 3)0( 1)4ff代入得9662hkhk解得8,6hk 所以32( )3856f xxxx由于( )f x必有因式3x，设其商式为2axbxc则23232( )(3)()(3 )(3 )33856f xxaxbxcaxba xcb

5、xcxxx比较系数可以得到3383536abacbc 解得312abc 即2( )(3)(32)(3)(1)(32)f xxxxxxx例 5、因式分解3244xxx解：记32( )44f xxxx（考虑到( )f x为三次式，因此( )f x可能分解为()()()xa xb xc，其常数项为4abc ，因此, ,a b c为 4 的因子）因为 4 的因子有1, 2, 4 无(1)1 1 440f ，所以1x为其一个因子（对于其他因式，有三个方法求）法一、试错法。( 1)1 14401fx 不是因子(2)848402fx 是因子( 2)848402fx 是因子所以( )(1)(2)(2)f xx

6、xx法二、长除法。322323322324144444400444xxxxxxxxxxxxxxxxxx所以2( )(1)(4)(1)(2)(2)f xxxxxx法三、比较系数法。设2( )(1)()f xxaxbxc，则3232( )()()44f xaxba xcb xcxxx所以1110444aababcbcc 即2( )(1)(4)(1)(2)(2)f xxxxxx小结：用因数定理分解因式，在求出一个因式后，其他因子可以有以上三种方法。例 7、解方程32211760 xxx解：记32( )21176f xxxx6 的因子有1, 2, 3, 6 (1)2 11 7601fx 是一个因子由长除法得2( )(1)(2136)(1)(21)(6)f xxxxxxx无所以方程32211760 xxx的根为11, 62例 8、设多项式2nxk有一个3x因子，且被1x除时余数为80，求, n k，并将多项式2nxk进行因式分解解：记2( )nf xxk则( 3)090( 1)80180nfkfk 解得2,81nk4222( )81(9)(9)(9)(3)(3)f xxxxxxx练习1、因式分解1）