刘克忠-九章数学中的等差数列等比数列

1、无九章算术中的等差、等比数列陕西省榆林市横山区横山中学刘克忠2016 年 9 月 26 日，教育部考试中心下发关于 2017 年普通高考考试大纲修订内容的通知 ，公布了 2017 年各学科高考大纲的主要修订内容.在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求，特别增加了数学文化的要求.提起数学文化，首先想到的就是中国古代数学文化.中国古代数学取得了极其辉煌的成就， 九章算术是代表作.九章算术系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.全书采用问题集的形式，收有 246 个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术

2、，有的是多题一术或一题多术。它的出现，标志着中国古代数学体系的形成.数列是九章算术的一个重要研究内容.在衰分、均输、盈不足中共有 6个等差数列问题，4 个等比数列问题，现将这 10 个问题整理如下，供参考.1.等差数列【例 1】今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何？ （第三章衰分1）【译文】现有大夫、不更、簪袅、上造、公士等五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配，问各得多少鹿？【注释】爵次：爵名的次序，按汉书百官公卿表 ： “爵一级曰公士，二上造，三簪袅，四不更，五大夫，二十彻侯.皆秦制”.“衰分”：比例分配问题.【解析】由题设条件知，五人

3、所得鹿数构成等差数列.设公士得鹿数为a，则上造、簪袅、不更、大夫所得鹿数依次为2a、3a、4a、5a，于是，23455aaaaa，解得13a .所以，五人所得鹿数分别为：大夫53只、不更43只、簪袅1只、上造23只、公士13只.【例 2】今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，一十五斗.今有大夫一人后来，亦当禀五斗.仓无粟，欲以衰出之，问各几何？（第三章衰分6）【译文】现要给大夫、不更、簪袅、上造、公士等五个不同爵次的官员，按照一定比例分配粟，共 15 斗，后又来了一位大夫，也应该发给 5 斗粟，但仓中没有粟，需要从前面 5 人中按比例拿出一部分给后来的大夫，问前面 5 人各出多少粟？

4、【解析】由例 1 知，原来 5 人中，公士、上造、簪袅、不更、大夫所得粟数构成等差数列，记为 na，且首项1a，公差1da，则1234515aaaaa，无所以11a ，22a ，33a ，44a ，55a .现需要将 15 斗粟从新分配，按照公士、上造、簪袅、不更、大夫、新大夫的顺序，则这 6 人分配数依次为1b，2b，3b，4b，5b，6b，前 5 项仍然构成等差数列，公差1db且56bb，于是123bbb45615bbb，解得134b .所以公士、上造、簪袅、不更、大夫所出粟数依次为1114ab，222142ab，3334ab，4434ab，4414ab，5554ab.【例 3】今有金棰，

5、长五尺.斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？（第六章均输17）【译文】今有金杖 5 尺.截本端一尺，重 4 斤；截末端一尺，重 2 斤. 问依次每尺各重多少？【注释】“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题.今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论.西方直到 15 世纪末以后才形成类似的全套方法.本题采用“锥形衰”.李籍九章算术音义 ： “下多上少，如立锥之形也”即是以 5、4、3、2、1 为列衰.【解析】 由题设条件知， 自上而下各段重量构成等差数列， 记 na， 首项12a ，第 5 项54a ， 项

6、数5n ， 设公差为d， 由等差数列性质知，514aad，12d ，因此，252a ，33a ，472a .所以，从上到下，依次每尺重为：2斤、52斤、3斤，72斤，4斤.【例 4】今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何？（第六章均输19）【译文】现有 5 人分 5 钱，要使上面 2 人所得的与下面 3 人所得的相等，问各得的多少钱？【解析】本题采用“锥形衰” 求解，按等差数列解题.自上而下的 5 人所得钱数构成等差数列， 其中得钱较多的 2 人的得钱数的和与得钱较少的 3 人的得钱数的和相等，设 5 人得钱数依次为1a，2a，3a，4a，5a，公差为d，则有123455aaaaa

7、，12345aaaaa，解得134a ，16d ，于是276a ，31a ，456a ，523a .【例 5】今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升.问中间二节欲均容各多无少？（第六章均输19）【译文】现有一根 9 节的竹子，下面 3 节的容积共 4 升，上面 4 节的容积共3 升.问使中间两节也均匀变化，每节容积是多少？【解析】本题采用“锥形衰”求解，由题设条件知，自上而下各节容积构成等差数列，记 na，其中最上面的 4 节的容积与最下面的 3 节的容积相等.设第一节容积为1a，公差为d则12343aaaa，7894aaa，解得11322a ，766d ，因此，246236633a ，353

8、66a ，460106611a ，56766a ，674376633a ，781276622a ，8884663a ，99566a .【例 6】今有良马与驽马发长安至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增十三里.驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马.问几何日相逢及各行几何？（第七章盈不足20）【译文】 现有良马与驽马从长安出发到齐国.齐过与长安相距 3000 里.良马第一天走 193 里，以后每天增加 13 里.驽马第一天走 97 里，以后每天减少12里.良马先到齐国，再返回迎接驽马.问良马、驽马经过多少天相逢，各自走了多少路？【注释】“盈不足”：即双设法问题；提出了

9、盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题， 以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法.这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大.【解析】 由题设条件知， 良马每天走的路程构成等差数列 na， 首项为1193a 公差为13d ，前n项和为nS；驽马每天走的路程构成等差数列 nb，首项为197b ，公差为12m ，前n项和为nT；设经过n天相遇，则6000nnST.即(1)(1)11931397()3000 2222n nn nnn ，化简2522748000nn.22714752915.7110n.良马走了大约 4533.95 里，驽马走了大约 1466.

10、05里.2.等比数列【例 1】今有牛、马、羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主曰： “我羊食半马.” 马主曰： “我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？（第三章衰分2）【译文】今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 5 斗粟.羊主人说： “我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说： “我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”现打算按这样的比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？无【解析】由题设条件知，羊、马、牛的主人各赔偿粟数构成等比数列.设羊主人赔偿a斗，则马主人赔偿2a斗，牛主人赔偿4a，于是245aaa，57a ，所以，牛主人赔偿207斗，马主人赔偿107斗，主人赔偿57斗.【例 2】今有女

11、子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？（第三章衰分4）【译文】今有一女子很会织布，每天加倍增长，5 天共织布 5 尺，问每天各织多少布？【解析】由题设条件知，该女子从第二天起，每天织布数是前一天的 2 倍，根据等比数列的定义， 每天织布数构成公比为2的等比数列.设第一天织布数为x尺，则248165xxxxx，531x .所以，第一天织布数为531尺，第二天织布数为1031尺， 第三天织布数为1531尺， 第四天织布数为2031尺， 第五天织布数为2031尺.【例 3】 今有蒲生一日， 长三尺.莞生一日， 长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？（第七章盈不足11）【译文】现有蒲生长

12、1 天，长为 3 尺；莞生长 1 天，长为 1 尺.蒲的生长长度为前一天的一半，莞的生长长度为前一天的 2 倍，问几天后蒲、莞长度相等？【解析】由题设条件知，蒲的生长长度构成等比数列 na，首项为13a ，公比为12q ，前n项和为nS；莞的生长长度构成等比数列 nb，首项为11b ，公比为2p ，前n项和为nT；设n天后长度相等，nnST，即13 1 ( ) )1 2211 212nn（，解得2log 6n .【例 4】今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？（第七章盈不足12）【译文】今有墙厚五尺，两鼠相对挖墙.大鼠第一天挖 1 尺，小鼠第一天也挖1 尺.大鼠挖墙逐天增加 1 倍，小鼠挖墙逐天减为一半.问大鼠、小鼠几天相遇？各挖墙多少？【解析】由题设条件知，大鼠挖墙长度构成等比数列 na，