因动点产生的等腰三角形问题（三）

1、因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的等腰三角形问题1、 （2012 临沂）如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过点 AO、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题；分类讨论。解答：解： （1）如图，过 B 点作 BCx 轴，垂足为 C，则BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4，OC= OB= 4=2，BC=OBsin60=4=2，点 B 的坐

2、标为（2，2） ；（2）抛物线过原点 O 和点 AB，可设抛物线解析式为 y=ax2+bx，将 A（4，0） ，B（22）代入，得，解得，此抛物线的解析式为 y=x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是 x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D，设点 P 的坐标为（2，y） ，若 OB=OP，则 22+|y|2=42，解得 y=2，当 y=2时，在 RtPOD 中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即 P、O、B 三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，点 P 的坐标为（2，2）若 OB=PB，则 42+|y+2|2=42，解得

3、y=2，故点 P 的坐标为（2，2） ，若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2|2，解得 y=2，故点 P 的坐标为（2，2） ，综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（2，2） ，2、 （湖州中考）如图 1，已知正方形 OABC 的边长为 2，顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，M 是 BC的中点。P（0，m）是线段 OC 上一动点（C 点除外） ，直线 PM 交 AB 的延长线于点 D。求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示） ；当APD 是等腰三角形时，求 m 的值；设过 P、M、B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E，过点 O 作直线 ME 的垂线，垂

4、足为 H（如图 2） ，当点 P 从点 O 向点 C 运动时，点 H 也随之运动。请直接写出点 H所经过的路径长。 （不必写解答过程）AOCPBDMxyAOCPBDMxy（第 24 题图）图 1图 2E3、 （盐城中考）如图，已知一次函数 y=-x+7 与正比例函数 y=43x 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B.（1）求点 A 和点 B 的坐标；（2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 ly 轴动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 OCA 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点

5、R，交线段 BA或线段 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动在运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒.当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由【答案【答案】 （1）根据题意，得y=-x+7y=43x，解得x=3y=4，A(3，4) .令 y=-x+7=0，得 x=7B（7，0）.（2）当 P 在 OC 上运动时，0t4.由 SAPR=S梯形COBA-SACP-SPOR-SARB=8，得12(3+7)4-123(4-t)-12t(7-t)-1

6、2t4=8整理,得 t2-8t+12=0,解之得 t1=2,t2=6（舍）当 P 在 CA 上运动，4t7.由 SAPR=12(7-t) 4=8，得 t=3（舍）当 t=2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8.当 P 在 OC 上运动时，0t4. 此时直线 l 交 AB 于 Q。AP= （4-t）2+32，AQ= 2t，PQ=7-t当 AP =AQ 时， （4-t）2+32=2(4-t)2, 整理得，t2-8t+7=0. t=1, t=7(舍)当 AP=PQ 时， （4-t）2+32=(7-t)2,整理得，6t=24. t=4(舍去)当 AQ=PQ 时，2（4-t）2=(7-t)2

7、整理得，t2-2t-17=0 t=13 2 (舍)当 P 在 CA 上运动时，4t7. 此时直线 l 交 AO 于 Q。过 A 作ADOB 于 D,则 AD=BD=4.设直线 l 交 AC 于 E，则 QEAC，AE=RD=t-4，AP=7-t.由 cosOAC=AEAQ=ACAO，得 AQ =53(t-4)当 AP=AQ 时，7-t =53(t-4)，解得 t =418.当 AQ=PQ 时，AEPE，即 AE=12AP得 t-4=12(7-t)，解得 t =5.当 AP=PQ 时，过 P 作 PFAQ 于 FAF=12AQ =1253(t-4).在 RtAPF 中，由 cosPAFAFAP3

8、5，得 AF35AP即1253(t-4)=35(7-t)，解得 t=22643.综上所述，t=1 或418或 5 或22643时，APQ是等腰三角形.【考点】【考点】一次函数，二元一次方程组，勾股定理，三角函数，一元二次方程，等腰三角形。【分析【分析】 （1）联立方程 y=- x+7 和 y=43x 即可求出点 A 的坐标，今 y=-x+7=0 即可得点 B 的坐标。（2）只要把三角形的面积用 t 表示，求出即可。应注意分 P 在 OC 上运动和 P 在CA 上运动两种情况了。只要把有关线段用 t 表示，找出 AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ 的条件时 t 的值即可。应注意分别讨论 P 在 OC 上运动（此时直线 l 与 AB 相交）和 P 在 CA 上运动（此时直线 l 与 AO 相交）时 AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ 的条件。4、 （扬州中考）已知抛物线 yax2bxc 经过 A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点