电磁学 习题与讨论课

1、aVE0210d21aVE d21220rraQrad4421220300arrrQd442122200aQaQ0202840aQ02203 电场能是以体密度定域分布电场能是以体密度定域分布在空间内的静电能。在空间内的静电能。 半径为半径为R、带电量为、带电量为Q的的均匀带电球面，其静电能与球均匀带电球面，其静电能与球体的静电能相体的静电能相比，哪个大？比，哪个大？求真空中一半径为求真空中一半径为a、带电量为、带电量为Q的均匀球体的静电场能。的均匀球体的静电场能。aQ解：解：作高斯面如图，作高斯面如图， 由高斯定理得由高斯定理得24 rE0333434raQ3014aQrE球内球内2024rQ

2、E球外球外VwWeed有一外半径有一外半径R1、内半径、内半径R2的金属球壳的金属球壳, 其其中放一半径为中放一半径为R3的金属球，球壳和球均的金属球，球壳和球均带有电量带有电量10-8C的正电荷。问：的正电荷。问：(1) 两球电两球电荷分布。荷分布。(2) 球心的电势。球心的电势。(3) 球壳电势。球壳电势。电荷分布如图所示球面电荷分布如图所示球面q, 壳内表壳内表 面面-q,壳外表面壳外表面2qR3由高斯定律可得：由高斯定律可得：)(033RrE)(423202RrRrqE)(0121RrRE)(421200RrrqE(2)0dlEUo3023121RRRRRR10232d0d0RRRrE

3、rE12023204d24dRRRrrqrrq12302114RRRq(3)rrqURd4212011042Rq求半径为求半径为R 、带电量为、带电量为q的的均匀带电细均匀带电细圆环轴线上的电场。圆环轴线上的电场。ORx P解：解：在圆环上取电荷元在圆环上取电荷元dqqdEdrlRqlqd2dderqE204dd 各电荷元在各电荷元在P点点 方向不同，分布于方向不同，分布于一个圆锥面上。一个圆锥面上。EdqdEdrEd/dE/dddEEE由对称性可知由对称性可知0dEE cos4d20/rqEErxRlqr2d4120 d2142030RlRrqx23220)(4Rxqx23220)(4Rxi

4、qxE：1、环心处环心处0E2、0 Ex3、令、令 0ddxE处处E有极大值有极大值 2 Rx均匀带电圆平面的电场均匀带电圆平面的电场(电荷面密度电荷面密度 )。OxrdrP叠加原理思想：叠加原理思想：圆盘圆盘 由许多均匀带电圆环组成。由许多均匀带电圆环组成。解：任取半径为解：任取半径为r的圆环的圆环rrqd 2d由上题结果由上题结果23220)(4RxiqxE得：得：23220)(4ddrxqxE )(4d2R023220rxrrxE1 2220Rxx：1、x0，或，或 R时，时，02E无限大带电平面的电场无限大带电平面的电场2、 x R时，想一想时，想一想?E2204xRE204xq 简化

5、为点电荷简化为点电荷21222122)1 ()(xRxRx2)(211xR(Gauss law) 真空中静电场内，通过任意封闭曲真空中静电场内，通过任意封闭曲面面(高斯面高斯面)的电通量等于该封闭曲面的电通量等于该封闭曲面所包围的电量代数和的所包围的电量代数和的 倍：倍：01讨论：讨论：1. 式中各项的含义式中各项的含义S：封闭曲面封闭曲面；E：总场：总场, S内外所有电荷均有贡献；内外所有电荷均有贡献；)CmN(1085. 8221120真空电容率（介电常数）真空电容率（介电常数）内qS内的净电荷；内的净电荷； :e只有只有S内电荷有贡献。内电荷有贡献。2. 揭示了静电场中揭示了静电场中“”

6、和和“” 的关系的关系静电场的重要性质之一：静电场的重要性质之一： 静电场是静电场是3.利用高斯定理可方便求解具有某些利用高斯定理可方便求解具有某些 对称分布的静电场对称分布的静电场成立条件成立条件：静电场静电场求解条件：求解条件：电场分布具有某些对称性电场分布具有某些对称性选择恰当的高斯面，使选择恰当的高斯面，使sSEd中的中的以标量形式提到积分号外，以标量形式提到积分号外， 从而从而简便地求出简便地求出 分布。分布。ESeSdE分立iq01连续dq01SSdE中的中的 能以标量能以标量E当场源电荷分布具有某种对称性时，当场源电荷分布具有某种对称性时，应用高斯定律，选取适当的高斯面，应用高斯

7、定律，选取适当的高斯面，使面积分使面积分形式提出来，形式提出来，均匀带电球壳均匀带电球壳均匀带电无限大平板均匀带电无限大平板均匀带电细棒均匀带电细棒ElS eOrpEQopeESSeSdE 即可求出场强。即可求出场强。常见类型：常见类型：场源电荷分布场源电荷分布球对称球对称性性轴对称轴对称性性面对称面对称性性例题例题 求电量为求电量为Q 、半径为、半径为R的均匀的均匀带电球面的场强分布。带电球面的场强分布。源球对称源球对称场球对称场球对称RrSeSdE Rr 0 0RrQ0 0 SdSE2 24 4 rE ERr 0RrrQ2 20 04 4 r0ER选高斯面选高斯面EEEESd 求均匀带电球

8、体求均匀带电球体(Q、R)的电场分的电场分 布。布。oqP解：对称性分析解：对称性分析作以作以O为中心为中心, r为半径的球形面为半径的球形面S，SrES面上各点彼此等价，面上各点彼此等价，E大小相等，大小相等，方向沿径向。方向沿径向。以以S为高斯面：为高斯面：sSEdsSEdcos0sSE d24rE由高斯定理：由高斯定理：sSEd24rEniiq101内24rqE0内 :qqRr内333434 :rRqqRr内304RqrE内令令334Rq体电荷密度体电荷密度rE03内204rqE外1. 求均匀带电球面求均匀带电球面( )的电场分布，的电场分布，并画出并画出 曲线。曲线。qR ,rE E0

9、 )( Rr 4 30rrq )( Rr rROE21 r2. 如何理解带电球面如何理解带电球面 处处 值突变？值突变？ERr 带电面上场强带电面上场强 E 突变是采用面模型突变是采用面模型的结果，实际问题中计算带电层内及其的结果，实际问题中计算带电层内及其附近的准确场强时，应放弃面模型而还附近的准确场强时，应放弃面模型而还其体密度分布的本来面目。其体密度分布的本来面目。3、计算带电球层、计算带电球层(R1, R2, )的电场分布。的电场分布。1R2Ro解：解：选一半径为选一半径为r 的球形高斯面的球形高斯面SSr由高斯定理由高斯定理SSEd24 rE内q01内qrE0241)(01Rr )(

10、 )(3212310RrRrRr)( 43)( 220203132RrrqrRR求求无限长均匀带电直线无限长均匀带电直线( )的电场。的电场。rP对称性分析：对称性分析：EEddqOqddddEEP点处合场强垂直于带电直线点处合场强垂直于带电直线,与与P 地位等价的点的集合为以带电地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面直线为轴的圆柱面。高斯面：高斯面：取长取长 L 的圆柱面，加上的圆柱面，加上底、下底构成高斯面底、下底构成高斯面S。SLSESd上SEd下SEd侧SEdrLESE2d0cos侧=0=0由高斯定理由高斯定理0012LqrLE内rE02 rOE1. 无限长均匀带电柱面的电场分布？

11、无限长均匀带电柱面的电场分布？P:视为无限长均匀带电直线的集合。视为无限长均匀带电直线的集合。EdEdrEEddO选同轴圆柱型选同轴圆柱型高高斯斯面面rl高高斯斯面面lrrERrERr02:0:ErRO 当带电直线，柱面，柱体当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时，不能视为无限长时， 能否用能否用高斯定理求电场分布？高斯定理求电场分布？无限大均匀带电平面的电场无限大均匀带电平面的电场 (电荷面密度电荷面密度 )。对称性分析：对称性分析：PPOEdEdEdEd 方向垂直于带电平面，离带电平面方向垂直于带电平面，离带电平面距离相等的场点彼此等价。距离相等的场点彼此等价。E选择圆柱体表面为高斯面，如

12、图：选择圆柱体表面为高斯面，如图： SSESd左SEd右SEd侧SEd=0SE 2根据高斯定理根据高斯定理SE 2内q010S02E得得均匀电场均匀电场其方向由其方向由的符号决定的符号决定1. 电势电势(electric potential)零势点ppplEqWdUo单位：伏特（单位：伏特（V） 静电场中某点电势等于单位正电荷静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电势能，或将单位正电在该点具有的电势能，或将单位正电荷由该点移至零势点过程中静电力所荷由该点移至零势点过程中静电力所做的功。做的功。2. 电势差电势差(electric potential difference)BABAABlEU

13、UUd 点电荷点电荷q在静电场中在静电场中a沿任意路径沿任意路径移至移至b过程中静电力做的功：过程中静电力做的功：)(dABABAABUUqlEq电势和电势差电势和电势差讨论：讨论：（1） U 为空间标量函数；为空间标量函数；（2）U 具有相对意义，其值与零势具有相对意义，其值与零势 点选取有关，点选取有关， 但但Uab与零势点与零势点 选取无关。选取无关。（3）电势遵从叠加原理：电势遵从叠加原理：即：点电荷系场中任一点的电势等于即：点电荷系场中任一点的电势等于 各点电荷单独存在时在该点产生各点电荷单独存在时在该点产生 的电势的的电势的代数和代数和。iUU(零势点相同零势点相同)（4）由保守力

14、与其相关势能的关系：由保守力与其相关势能的关系：3. 静电力做的功静电力做的功常选无穷远或地球电势常选无穷远或地球电势为零。电势差与电势的为零。电势差与电势的零点选取无关。零点选取无关。(3) 由电势定义计算由电势定义计算零势点零势点ppplElEU dcosd1.场强积分法场强积分法(由定义求由定义求)(1) 首先确定首先确定 分布分布;E(2) 选零势点和便于计算的积分路径选零势点和便于计算的积分路径;2.2.利用电势叠加原理利用电势叠加原理QrdQ04iiirQ04pU点电荷系点电荷系连续分布的带电体连续分布的带电体半径为半径为R的均匀带电球体，的均匀带电球体，带电量为带电量为q。求其电

15、势分布。求其电势分布。RqorPEro21rER选择同心球面为高斯面，选择同心球面为高斯面，S根据根据高斯定律得高斯定律得SSEd24rE 内q0134341433021rRqrERrRqrE3014RrrqE2024:Rr rlEUd1RrrE d1RrE d23200dd44RrRqrqrrRr30228)3(RrRq:Rr rqrrqrEUrr020224d4dr1rRoRq04U求无限大均匀带电平面求无限大均匀带电平面( )场场 中电势分布。中电势分布。xaOa 解：解： 电场分布电场分布) , ( 0 )( 0axaxaxaE 因为电荷无限分布，故在有限远因为电荷无限分布，故在有限远

16、处选零势点处选零势点.令令O点电势为零。点电势为零。0OU沿沿X 轴方向积分：轴方向积分： ax区域：区域：axaxExEU0dd a)(000a ：区区域域axa000 )(dxxxEUx ax 区域：区域： dd 0axaxExEU00)(0aa Ux曲线如图曲线如图Uxaoa例例1. 求无限长载流圆柱形导体的磁求无限长载流圆柱形导体的磁场分布。场分布。orPIR解：解：磁场分布分析磁场分布分析横截面图横截面图.Ir作半径为作半径为r 的圆环为积分回路的圆环为积分回路LLLdlBrB 2根据安培环路定理根据安培环路定理rB 2内I0内内IrB2 0rrIB120外外:Rr II 内:Rr

17、2222 RIrrRII内内rRIrB202内内求长直螺线管内的磁感强度求长直螺线管内的磁感强度(I, n已知已知)。lRon解：解： 分析磁场分布分析磁场分布B轴向轴向B均匀，均匀，外外B近近似为零。似为零。作安培回路作安培回路abcd如图：如图：PablBdLbalBdcblBddclBdadlBdabBlBba000d根据安培环路定理根据安培环路定理abnIabB0nIB0abnII 内内1RIN2Rro求载流螺绕环的磁场分布求载流螺绕环的磁场分布(R1、R2、N、I已知已知)。R1R2解：解： 分析磁场分布分析磁场分布对称性对称性L相等相等 点的集合点的集合B同心圆环同心圆环以中心以中

18、心O,半径半径 r 的圆环为安培环路的圆环为安培环路LLdlBrB 2根据安培环路定理根据安培环路定理rB 2内I0内内IrB2 00外外B: , 21RrRr0内内I:21RrRrNIB20内内NII内内为了测试某种材料的相对磁导率为了测试某种材料的相对磁导率, ,常将材料做成横截面为圆形的螺绕环芯常将材料做成横截面为圆形的螺绕环芯子子, , 设环上绕有线圈设环上绕有线圈200200匝匝, , 平均围长平均围长0.1m, 0.1m, 横截面积为横截面积为5 5 1010-5-5m m2 2, , 当线圈内当线圈内通有电流通有电流0.1A0.1A时用磁通计测得穿过横截时用磁通计测得穿过横截面积

19、的磁通量为面积的磁通量为6 6 1010-5-5 Wb, Wb, 试计算该材试计算该材料的相对磁导率。料的相对磁导率。IlHLdNILHLNIHBr0r0截面磁场近似均匀截面磁场近似均匀BSm30mr104.78NISL解：解：选如图所示的安培环路选如图所示的安培环路rNOL导线导线ab弯成如图形状，半径弯成如图形状，半径r=0.10m，B=0.50T,转速转速n=3600转转/分。分。电路总电阻为电路总电阻为1000 。求感应电动势。求感应电动势和感应电流以及最大感应电动势和最和感应电流以及最大感应电动势和最大感应电流。大感应电流。 rB依题依题意意-1s 120602ncosBSSBtrB

20、cos22根据法拉第电磁感应定律得根据法拉第电磁感应定律得tiddtrBsin22RIiitRrBsin22最大最大感应电动势和最大感应电流为：感应电动势和最大感应电流为：V96. 2mimA96. 2miI例例5. 一长直导线通以电流一长直导线通以电流 (I0为常数为常数)。旁边有一个边长分别为。旁边有一个边长分别为l1和和l2的矩形线圈的矩形线圈abcd与长直电流共面，与长直电流共面，ab边边距长直电流距长直电流r。求线圈中的感应电动势。求线圈中的感应电动势。tIisin01l2lrx处的磁感应强度为：处的磁感应强度为：xiB20如图取如图取dS=l2dxSSBd120d2lrrxlxir

21、lrtlI1200lnsin220t方向方向时时根据法拉第电磁感应定律得根据法拉第电磁感应定律得tiddrlrtlI1200lncos2根据楞次定律可知根据楞次定律可知为为逆逆时时针针转转向向时时，当当00cos20itt为为顺顺时时针针转转向向时时，当当00cos2ittIvacd 解：在解：在cd上任取上任取dlvB方向xIB20 x根据动生电动势公式得：根据动生电动势公式得：dlxIdi)90cos(90sin2000cossin20dxxIdxtgxILaaicos02aLatgIcosln20方向：方向：c至至d。：一直导线一直导线cd在一无限长直电在一无限长直电流磁场中作切割磁力线

22、运动，流磁场中作切割磁力线运动，cd长长为为L。求。求 ：动生电动势。：动生电动势。StBlESLdd感电磁场的基本方程之一电磁场的基本方程之一可见：可见：(1) 变化的磁场能够激发电场。变化的磁场能够激发电场。(2) “-”的含义：的含义： tB感E负右手螺旋负右手螺旋(3)感生电场的性质：感生电场的性质：0d SSE感StBlESLdd感(4) 对场中电荷的作用力：对场中电荷的作用力：感感EqF1. 定义求解：定义求解：LilEd感LilEd感2. 法拉第电磁感应定律求解：法拉第电磁感应定律求解：SiSBttdddddtBdd选择一回路选择一回路L, 逆时针绕行逆时针绕行L感生电场的方向如

23、图：感生电场的方向如图：感感E感感E感感EStBlESLdddd感StBrESddd2感，Rr 2dd2rtBrE感tBrEdd2感，Rr 2dd2RtBrE感tBrREdd22感BobaRch：定义法：定义法感生电场分布：感生电场分布：tBrEdd2内tBrREdd22外bcab感ldldr外Er内EcbbalElEdd外内cosddd2ltBrbacosddd22ltBrRcbrhRhRlhrcos 23 )2(222ltBhRddd20感lRlhtBhRRRd)2(1dd22222tBRtBRdd12dd4322tBRdd12332)( ), ( ca：法拉第电磁感应定律求解：法拉第电磁

24、感应定律求解BobaRch连接连接 , 形成闭合回路形成闭合回路OcOa,Oac感E半径半径内E内E外E0OcOaacOcacOaOac通过通过 的磁通量的磁通量:Oac)1233(2RB)(d扇SSBSBOabSmtmddtBRdd12332) ( , )( ca设某时刻导体棒位于设某时刻导体棒位于l处处任取任取xySddxxdtandSSSBdlxxtkx0dtancostklcostan313根据法拉第电磁感应定律：根据法拉第电磁感应定律：tiddtklsintan313ttlklcostandd2l = vt)cos3sin(tan3123ttttkivlS，N， 。lIlNBISlNNBSi2SlNILi2lSlN22lSV lNn VnL2l 一电缆由两个一