第04章内容提要及习题

1、第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要一一. 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 匀变速转动匀变速转动t020021tt)(20202 二二. 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成成正比，与刚体的正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 . JM 刚体刚体转动惯量转动惯量mrJd22iirmJ第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理212

2、22121d21JJMW三三. 刚体定轴转动功和能刚体定轴转动功和能21dMW 力矩的功力矩的功 转动动能转动动能2k21JE 重力势能重力势能CmghEP 刚体的机械能守恒定律：刚体的机械能守恒定律：若只有保守力做功时若只有保守力做功时, ,恒量kPEE则则第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要四四. 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 刚体对转轴的角动量：刚体对转轴的角动量：JL tJtLMd)(ddd 角动量定理：角动量定理：112221dJJtMtt0M常量JL，则，则若若

3、 角动量守恒定律角动量守恒定律 首先分析各物体所受力和力矩情况，然后根据已首先分析各物体所受力和力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应选用的规律，最后列方程知条件和所求物理量判断应选用的规律，最后列方程求解求解. .五五 定轴转动的动力学问题定轴转动的动力学问题 解题基本步骤解题基本步骤 第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要 1. 1. 求刚体转动某瞬间的角加速度，一般求刚体转动某瞬间的角加速度，一般转动转动定律求解定律求解。如质点和刚体组成的系统，对质点列牛顿。如质点和刚体组成的系统，对质点列牛顿运动方程，对刚体列转

4、动定律方程，再列角量和线量运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角量和线量的关联方程，联立求解的关联方程，联立求解. . 2. 2. 刚体与质点的碰撞、打击问题，在有心力场作刚体与质点的碰撞、打击问题，在有心力场作用下绕力心转动的质点问题，考虑用下绕力心转动的质点问题，考虑用角动量守恒定律用角动量守恒定律. . 另外另外：实际问题中常常有多个复杂过程，要分成：实际问题中常常有多个复杂过程，要分成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解. . 3. 3. 在刚体所受的合外力矩不等于零时，比如木杆在刚体所受的合外力矩不等于零时，比如木杆摆动，受重力矩作用，一般

5、应用刚体的转动摆动，受重力矩作用，一般应用刚体的转动动能定理动能定理或机械能守恒定律求解。或机械能守恒定律求解。第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要质点运动与刚体定轴转动描述的对照质点运动与刚体定轴转动描述的对照质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动速度速度加速度加速度trddvtvdda角速度角速度角加速度角加速度t ddt dd质量质量 m转动惯量转动惯量动量动量角动量角动量mrJd2JL vmP 力力力矩力矩FM第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动

6、内容提要质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照运动定律运动定律amF转动定律转动定律JM 质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动量定理动量定理00dvvmmtFtt角动量定理角动量定理00dLLtMtt动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律恒量iiimFv, 0恒量iiJM, 0力的功力的功barFWd力矩的功力矩的功0dMW动能动能2/2kvmE 转动动能转动动能2/2kJE 第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点运动规律与刚

7、体定轴转动的规律对照质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动能定理动能定理2022121vvmmW动能定理动能定理2022121JJW重力势能重力势能mghE p重力势能重力势能CpmghE 机械能守恒机械能守恒恒量pkEE只有保守力作功时只有保守力作功时机械能守恒机械能守恒恒量pkEE只有保守力作功时只有保守力作功时第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要 例例 一人握有两只哑铃一人握有两只哑铃, 站在一可无摩擦地转动站在一可无摩擦地转动的水平平台上的水平平台上, 开始时两手平握哑铃开始时两手平握哑铃, 人、哑铃、平

8、台人、哑铃、平台组成的系统以一角速度旋转组成的系统以一角速度旋转, 后来此人将哑铃下垂于后来此人将哑铃下垂于身体两侧身体两侧, 在此过程中在此过程中, 系统系统(A) 角动量守恒角动量守恒, 机械能不守恒机械能不守恒; (B) 角动量守恒角动量守恒, 机械能守恒机械能守恒; (C) 角动量不守恒角动量不守恒, 机械能守恒机械能守恒; (D) 角动量不守恒角动量不守恒, 机械能不守恒机械能不守恒. 第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要 例例 关于力矩有以下几种说法关于力矩有以下几种说法:（1）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量

9、）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量; （2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零; （3）质量相等）质量相等, 形状和大小不同的两个刚体形状和大小不同的两个刚体, 在相同在相同力矩的作用下力矩的作用下, 他们的角加速度一定相等他们的角加速度一定相等; 在上述说法中在上述说法中(A) 只有（只有（2）是正确的）是正确的; (B)（1）、（）、（2）是正确的）是正确的; (C)（2）、（）、（3）是正确的）是正确的; (D)（1）、（）、（2）、（）、（3）都是正确的）都是正确的. 第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版

10、）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要AMBF =Mg（A）AB ; （B）AB; （C） AB ; （D）无法确定）无法确定. 例例 如图所示如图所示, A、B为两个相同的定滑轮为两个相同的定滑轮, A 滑滑轮挂一质量为轮挂一质量为M的物体的物体, B滑轮受力滑轮受力F = Mg, 设设 A、B两滑轮的角加速度分别为两滑轮的角加速度分别为 A和和B ,不计滑轮的摩擦不计滑轮的摩擦,这这两个滑轮的角加速度的两个滑轮的角加速度的大小关系为大小关系为: AMaTMgraJJTrAAA AraJJMgrFrBBB BgMT第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转

11、动内容提要刚体的转动内容提要(A) 动量不守恒动量不守恒, 动能守恒动能守恒; (B) 动量守恒动量守恒, 动能不守恒动能不守恒; (C) 角动量守恒角动量守恒, 动能不守恒动能不守恒; (D) 角动量不守恒角动量不守恒, 动能守恒动能守恒. 例例 人造地球卫星人造地球卫星, 绕地球作椭圆轨道运动绕地球作椭圆轨道运动, 地球地球在椭圆的一个焦点上在椭圆的一个焦点上, 则卫星的：则卫星的：第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要 例例 一飞轮在时间一飞轮在时间 t t 内转过角度内转过角度 ，式中式中 a、b、c 都是常量，求它的

12、角加速度都是常量，求它的角加速度. .43ctbtat 324343)(ddctbtactbtatt232126)43(ddctbtctbtat解：解：第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要解（解（1）2srad8 . 05 . 04 . 0rarat 例例 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径径 , 如果升降机从静止开始以如果升降机从静止开始以 加速度上升加速度上升, 求求 （1）滑轮角加速度；滑轮角加速度；（2） 时时角速度及转过的圈数；角速度及转过的圈数；（3） 时轮缘上一点

13、的时轮缘上一点的加速度加速度.2sm4 . 0am5 . 0rs5ts1t已知：已知：m5 . 0r2sm4 . 0aar2tsm4 . 0 aa第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要srad4t6 . 12n2tsm4 . 0 aa22nsm32. 0rarad10212t1srad8 .0t求（求（2） 时角速度及转过的圈数；时角速度及转过的圈数；s5t2srad8 . 0求（求（3） 时轮缘上一点的加速度时轮缘上一点的加速度.s1tm5 . 0r22n2tsm51. 0aaa7 .38)arctan(tnaaarnata

14、a第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要l lo0iF 0iM解：解：刚体平衡的条件刚体平衡的条件 例例 一长为一长为 l l，重为，重为W W 的均匀梯子，靠墙放置，墙的均匀梯子，靠墙放置，墙光滑，当梯子与地面成光滑，当梯子与地面成 角时处于平衡状态，求梯子角时处于平衡状态，求梯子与地面的摩擦力。与地面的摩擦力。02f NF01 NP 以支点以支点O为转动中心，梯子受为转动中心，梯子受的合外力矩：的合外力矩：0sincos22lNlPcot22fPNF1N2NPfF第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）

15、（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要xo 例例 一质量为一质量为m、长为、长为L的均匀细棒，可在水平桌面的均匀细棒，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的摩擦系数为摩擦系数为 , 求棒转动时受到的摩擦力矩的大小求棒转动时受到的摩擦力矩的大小 dxxfFd解：解：取一小段如图取一小段如图xlmmdd)d(dmgxMmgLxxlmgmgxML21dd0mgFfdd第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要 例例 电风扇在开启电源后，经电风扇在开启电源后，经

16、t1时间达到了额时间达到了额定转速，此时相应的角速度为定转速，此时相应的角速度为0 ，当关闭电源后，当关闭电源后，经过经过t2时间风扇停转已知风扇转子的转动惯量为时间风扇停转已知风扇转子的转动惯量为J，并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，求电机的电磁力矩求电机的电磁力矩)11(210ttJM解：解：22110tt1fJMM2fJM 第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要 例：例：求一半径求一半径 的飞轮对过其中心轴的的飞轮对过其中心轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端挂一重物转

17、动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端挂一重物, 其其质量质量 的让其从的让其从 处静止下落处静止下落, 测得下落时间测得下落时间 ；若用质量；若用质量 的的重物时重物时, , 假定摩擦力矩假定摩擦力矩 是一个常量是一个常量 , 求求飞轮的转动惯量飞轮的转动惯量.cm50Rm0 . 2hkg0 . 81mkg0 . 42ms161ts252tfMR1mhR2mhfM解：受力分析、解：受力分析、坐标如图坐标如图TTgmy y第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要2222f2222221tahRaJMRTamTgm1111amTgmRa

18、JMRT1f121121tah fMTTgmy y已知：已知： cm50Rm0 . 2hkg0 .81mkg0 . 42ms161ts252tCM f求求：J J2211m/s0156. 02tha2222m/s0064. 02tha第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要22121)()(RTTJaa21221)(aaRTTJ23mkg1006. 1N2 .39)(222agmTN3 .78)(111agmT已知：已知： cm50Rm0 . 2hkg0 .81mkg0 . 42ms161ts252tCM f求求：J JfMTT

19、gmy yRaJMRT2f2RaJMRT1f11111amTgm2222amTgm21m/s0156.0a22m/s0064.0a第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要 例：例：证明关于行星运动的开普勒第二定律，行星证明关于行星运动的开普勒第二定律，行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。证明证明:)(trvsm)d(ttrmLrsin21rrSLmrtSt21sin21lim0vrrmmGFs3CL 时间内时间内径矢扫过的面积为径矢扫过的面积为tsin21trrtS单位时间单位

20、时间扫过的面积扫过的面积所以相等的时间内扫过相等的面积。所以相等的时间内扫过相等的面积。第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要 例例 一滑冰者开始转动时一滑冰者开始转动时 ，然后将，然后将手臂收回，使转动惯量减少为原来的手臂收回，使转动惯量减少为原来的 1/3，求此时的转，求此时的转动角速度动角速度.2200k0JE00031JJ 注意：注意：刚体定轴转动刚体定轴转动内力矩内力矩的功之的功之和为和为零，非零，非刚体刚体不不一定一定.200200k200k023932121JJEJE解：解：外力矩为零，外力矩为零，角动量守恒角动

21、量守恒内力做功，内力做功，转动动能转动动能变化变化03第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要 例例 把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆与单摆的摆锤质量均为与单摆的摆锤质量均为 m . 开始时直杆自然下垂，将单开始时直杆自然下垂，将单摆摆锤拉到高度摆摆锤拉到高度 ，令它自静止状态下摆，于垂直位，令它自静止状态下摆，于垂直位置和直杆作弹性碰撞置和直杆作弹性碰撞. 求求 碰后直杆下端达到的高度碰后直杆下端达到的高度 h .0hhhmlc 解：解：此问题分为此问题分为三个阶段三个阶段0hl

22、lmm0v002ghv 1） 单摆自由下单摆自由下摆（机械能守恒），摆（机械能守恒），与杆碰前速度与杆碰前速度第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要2）摆与杆弹性碰撞（摆与杆弹性碰撞（摆，杆摆，杆）角动量守恒角动量守恒vvmlJml0机械能守恒机械能守恒2220212121Jmmvv021vv l 230v3）碰后杆上摆，碰后杆上摆，机械能守恒（机械能守恒（杆，地球杆，地球）cmghJ2210232hhhc002ghvhhmlc第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内

23、容提要解解：盘和人为系统，角动量守恒。盘和人为系统，角动量守恒。设：设： 分别为人和盘相对地分别为人和盘相对地 的角速度，的角速度，顺时针为正向顺时针为正向.,00210202RmmR22200mmm顺时针向顺时针向tRmtmRdddd2102022002002dd21RmmR 例：例： 质量质量 ，半径，半径 的均匀圆盘可绕过中心的光滑的均匀圆盘可绕过中心的光滑竖直轴自由转动竖直轴自由转动. 在盘缘站一质量为在盘缘站一质量为 的人，开始人和的人，开始人和盘都静止，当人在盘缘走一圈时，盘对地面转过的角度盘都静止，当人在盘缘走一圈时，盘对地面转过的角度.0mRmmR0m第四章第四章 刚体转动刚体

24、转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要oRhmmm2022121JJ 和和 、 分别分别为圆盘终了和起始时的角为圆盘终了和起始时的角坐标和角速度坐标和角速度 .0,0dd00TTFRRF 例例 一质量为一质量为 、半径为、半径为 R 的圆盘，可绕一垂的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳，圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为一端挂质量为m 的物体的物体 . 问物体在静止下落高度问物体在静止下落高度 h 时，时，其速度的大小为多少其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计设绳的质量忽略不计 .m 解解 拉力

25、拉力 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力能定理可得，拉力 的力矩所作的功为的力矩所作的功为TFTFoTFNFPTFPm第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要202TT2121dd00JJFRRF物体由静止开始下落物体由静止开始下落0, 000v解得解得ghm2)2(mm2mmmgh2v并考虑到圆盘的转动惯量并考虑到圆盘的转动惯量221RmJ202T2121d0vvmmFRmgh由质点动能定理由质点动能定理TTFFoTFNFPTFPmRv第四章第四章 刚体转动刚体转动物理学教程物理学

26、教程（第二版）（第二版）刚体的转动内容提要刚体的转动内容提要 例例 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质、质量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物的物体体 B 上上. 滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计擦力可略去不计. 问：（问：（1） 两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体物体 B 从从BmCm 再求线加速度及再求线加速度及绳的张