第10章无穷级数习题课

1、第10章无穷级数习题课内容提要1.基本概念 设有序列:,称表达式为无穷级数,简称级数.当为数列时,称其为常数项级数或数项级数.当()是某个区间上的函数时,称其为上的函数项级数,例如和等.(1) 数项级数敛散性概念称 () 为的前项部分和,若部分和数列收敛(设),则称收敛,并称为其和,可记为;否则称发散,发散的级数没有和.(2) 级数收敛的必要条件若收敛,则必有;反之不真.(3) 级数的基本性质 当时,与敛散性相同; 对于,与敛散性相同.(4) 收敛级数的性质 设,有;（线性性质）收敛,且.(加括号性质)(5) 收敛（只要极限存在即可）, 当且仅当数列收敛.（区别数列与级数的概念！）(6) 几何

2、级数与级数的敛散性收敛的充要条件是,且收敛时;收敛的充要条件是,特别地,调和级数是发散的.2.正项级数的审敛法(1) 基本定理:()收敛有上界.(2) 比较法: 设有正项级数,若,使得当时有成立,则 1由收敛可得收敛; 2由发散可得发散.比较法的极限形式: 设有正项级数,若(有限数或),则 1当时, 与的敛散性相同;2当时,由收敛可得收敛;3当时,由发散可得发散.注: 运用比较法的关键在于: 1事先估计待审级数的敛散性（当时,若,则一般是收敛的,否则可能发散）; 2找到敛散性已知的级数作为比的较基准级数(通常是几何级数或级数).(3) 比值法与根值法若或(有限数或),则1当时收敛; 2当时发散

3、; 3当时,可能收敛,也可能发散.(4) 积分审敛法设在上连续、非负且单调递减,记(),则收敛的充要条件是广义积分收敛.3.任意项级数的审敛法(1)绝对收敛定理: 若任意项级数绝对收敛(即收敛),则必收敛,反之不真;但若由比值法与根值法判定发散,则也发散.(2)交错级数的Leibniz准则:若交错级数()满足条件及单调递减,则收敛,且.4.幂级数的收敛域与和函数的求法(1)关键在于求()的收敛半径 当其“不缺无限多项”时,使用公式:若或,则; 当其“缺少无限多项”时,要依照的定义使用比值法或根值法求得,有时可做变量代换化为“不缺项”的级数而使用公式.(2)收敛域收敛的端点 (收敛的端点).(3

4、)求和函数的方法 根据下列幂级数的和函数 <1>, ; <2>,; <3>,;通过逐项积分、逐项求导、加减、变量代换及恒等变形等求出.5.将函数展为幂级数Taylor级数(1)若在的某邻域内无限次可微函数在点处能展成幂级数,则所展级数是惟一的,即必为Taylor级数(时,称为Maclaurin级数).(2)在内无限次可微函数在点处能展成幂级数的充要条件是有, 其中是在点的阶Taylor公式中的余项.(3)利用直接展开法可得到下列常用的展开式 <1>,;<2>,;<3>,;<4>, 收敛半径.(4)一般采用间接展

5、开法求在点的Taylor展开式.6.将函数展为Fourier级数(1)Dirichlet收敛定理:若在(或)上满足条件:连续或只有有限多个第一类间断点,至多只有有限多个极值点,则的以为周期的Fourier级数在上处处收敛,且在(或)上,其中Fourier系数 (), ();特别地,当为的连续点时,.(2)正弦级数与余弦级数 当为上的奇函数时,其Fourier级数为,称为正弦级数,其中 (); 当为上的偶函数时,其Fourier级数为,称为余弦级数,其中 ().(3)对于定义在半区间上且满足Dirichlet条件的函数，或作奇式延拓,展为以为周期的正弦级数;或作偶式延拓,展为以为周期的余弦级数.

6、7.利用函数项级数求数项级数的和 一般利用幂级数,有时也利用函数的Fourier展开式求数项级数的和.(1)利用幂级数求数项级数的和,通常按以下步骤进行: (a) 找一个(容易求出和函数的)幂级数,使得;(b) 求的收敛域(应使,否则要另找幂级数);(c) 求出的函数;(d)(2) 利用函数的Fourier展开式求数项级数的和的问题,一般总是附在求的Fourier级数之后,由收敛定理而得.例如，在例5.3的展开式中，令即得（附：易知）利用这个结果，可得定积分课堂练习(1-5题选自复习题10) 1.填空题(1) 设幂级数的收敛半径,则的收敛区间为.解:因为的收敛半径,所以的收敛半径, 从而的收敛

7、半径,故其收敛区间为.(2)函数的Maclaurin级数为.解: ,.直接求解也不繁！(3) 的和函数为.解: 收敛域为.,.(4)的和为.解: 考虑幂级数,其收敛域为.,.故.(5)(补充)已知,则.解:只需求出.事实上,所以.(6)(补充)设在点处条件收敛,则其收敛半径.解:因为在点处收敛,故由Abel定理知,当时, 绝对收敛;又因为在点处发散,故当时, 发散(否则在处收敛);所以.(7)(补充)设是的以为周期的傅里叶级数的和函数,则.解:.2.选择题(1)设正项级数收敛,常数,则(A) 发散. (B)条件收敛. (C)绝对收敛. (D)敛散性与有关.答( C )解:因为当充分大时,于是，

8、又因为正项级数收敛,从而正项级数必收敛,故原级数绝对收敛.(2) 若收敛,则下列级数中必定收敛的级数是(A). (B). (C). (D).答( D )解: 收敛,必收敛,所以必收敛.反例: (A)收敛,但发散;(B)收敛,但发散;(C)收敛,但发散.注：若正项级数收敛，则（A）、（B）、（C）、（D）都是收敛！(3) 幂级数的和函数为 (A). (B). (C). (D).答( D )解: ,.因为,于是有及，解得，所以.(4)若的和函数为,则等于 (A). (B). (C). (D).答( B )解: 因为,所以.(5)(补充题)级数的敛散情况是(A) 当时绝对收敛,当时条件收敛.(B)

9、当时绝对收敛,当时条件收敛.(C) 当时发散,当时收敛.(D) 均绝对收敛.答( A )6.(补充题) 若收敛，则级数(A)收敛. (B)收敛. (C)收敛. (D)收敛.答( D )解：若收敛，则收敛，故收敛.反例：收敛，但(A)发散；(B) ;(C)发散.3.将展为的幂级数(3);解: , 而;直接使用的展开式也行！; , .4.求幂级数的和函数:(2);解: 此级数的收敛域为,令,.因为, ;, ;故,;当时,;当时,; 所以.5.将下列各周期函数展为傅里叶级数，若函数在一个周期的表达式为：(2), .解: 在内满足狄氏条件,且,于是, ();,();, .6.设,试证收敛.证: ,记,

10、则单调减且有界,故收敛,从而收敛.7.设,.(1) 求的值;(2) 证明:, 收敛.解: (1) (),所以.(2)因为 () ,于是 ().而收敛,所以,收敛.8.讨论级数的敛散性(包括绝对收敛性).解:这是交错级数.因为,且单调递减(令,则当时,),故收敛.但,而发散,于是发散,所以原级数条件收敛.9.求级数的和.解:显然收敛.考虑幂级数,.因为,故.也可以令10.设,求,.解: ,.因为,所以().11.(正项级数的对数审敛法)设,且(有限数或),则(1)当时收敛;(2)当时发散.证: (1)当时,必,s.t.因为,故,s.t.,有,于是,即(),而时收敛,所以收敛.(2)当时,必,s.t.因为,故,s.t.,有,于是,即(),而时发散,所以发散.12.设,且 ().试证:若收敛,则也收敛.证: 由 ()可得,于是 ().又因为收敛,故由比