第三章__数列(学案)

1、目录1数列的概念（一）4一、知识归纳：4二、例题讲解4三、针对练习：52数列的概念（二）6一、知识归纳：6二、例题讲解：6三、针对练习：73等差数列（一）8一、知识归纳：8二、例题讲解：8三、针对训练：94等差数列（二）10一、知识归纳：10二、例题讲解：10三、针对训练：115等差数列的前N项和（一）12一、知识归纳：12二、例题讲解：12三、针对训练：136等差数列的前N项和（二）14一、知识归纳：14二、例题讲解：14三、针对训练：157等比数列（一）16一知识归纳16二例题选讲16三针对训练：178等比数列（二）18一知识归纳18二例题讲解：18三针对训练：199等比数列的前N项和（一

2、）20一知识归纳：20二例题讲解：20三针对训练：2110等比数列的前N项和（二）22一知识归纳：22二例题讲解：22三针对训练：2311数列的求和学案24一、分组法求和：若：，且数列、的前n项和可以求出，则分组求和24二、错位相减法求和：（公差不为0的等差数列与公比不为1的等比数列的积的形式）24三、裂项法求和：若：（裂项），则：（相消）2512数列的求和练习2613、求数列的通项公式学案27一、型27二、型27三、（其中p，q均为常数，）型27四、递推公式为与的关系式(或)28五、型2814、求数列的通项公式练习291. 数列的概念（一）一、知识归纳：1、 数列：按排列的一列数叫做数列，数

3、列中的每一个数都叫做这个数列的数列可以看作一个定义域为自然数集的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值它的图像是一群2、 通项公式：如果数列的第n项与n之间的可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，即3、 数列分类：按数列项数的多少可以分为与，按项的特点可以分为，和二、例题讲解例1、根据下面数列的通项公式，写出前5项：（1）；（2）例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前5项分别是下列各数：（1）1，2，3，4，5；（2）2，4，6，8，10；（3）1，2，4，8，16；（4）1，4，9，16，25（5）；（6）9，99，999，9999，99999；（7）2，2

4、，4，4，6，6例3、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2），；（3）（4）；三、针对练习：1、数列的通项公式是，这个数从第几项起各项都是正数( ) A第6项 B第7项 C第8项 D第9项2、数列1，3，6，10，的一个通项公式=  ( )     A n- n1BD2n+13、数列7，9，11，2n-1的项数是  ( )AnBn-1Cn-2Dn-34、是数列的第几项（）A18项B19项C17项D20项5、无穷数列1，23，26，29，23n+6，中，23n+

5、6是第                 ( )A3n6项B3n7项Cn2项Dn3项6、在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，中，x的值是 ( )A19                B20C21      

6、          D227、写出下列各数列的通项公式：(1)0，3，8，15，24，35，（2）(3)3，33，333，3333，33333，（4）3，5，3，5，3，  (5) 3， 5， 9， 17， 33，（6）0， 1， 0， 1， 0， 1，(7) 1， 3， 3， 5， 5， 7， 7， 9， 9，（8）2. 数列的概念（二）一、知识归纳：1、 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任意一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递

7、推公式递推公式也是给出数列的一种方法2、 数列的前n项和与通项之间的关系：二、例题讲解：例1、已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项例2、已知数列中，()，试写出数列的前4项例3、已知，写出前5项，并猜想通项公式例4、已知数列的前n项和，求数列的通项公式：；三、针对练习：1、根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) ；(2) ；(3) 2、已知下列各数列的前n项和的公式，求的通项公式(1) ； (2) ；（3）3. 等差数列（一）一、知识归纳：1、等差数列的定义：；2、等差数列的通项公式：二、例题讲解：例1、求等差数列8，5，2的第20项；

8、是不是等差数列，的项？如果是，是第几项？例2、在等差数列中，已知，求，例3、梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度例4、首项为24的等差数列，从第10项起开始为负数，求公差的取值范围例5、已知数列的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？三、针对训练：1、首项为的等差数列从第10项开始为正数，则公差的取值范围是（）2、已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数3、求等差数列3，7，11，的第4项与第10项4、求等差数列10，8，6，的第20项5、在等差数列中，

9、（1）已知=10，=19，求与d；（2）已知=9，=3，求6、是不是等差数列0，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由7、100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由4. 等差数列（二）一、知识归纳：1、等差中项：若成等差数列，则；2、等差数列的性质：在等差数列中，为公差，若；若，则；下标成等差数列的项，构成新的等差数列3、判断一个数列是否成等差数列的常用方法：定义法：（常数）；递推法：；通项法：前n项和公式法：(A、B为常数) 二、例题讲解：例1、在等差数列中，若+=9， =7， 求 ， ，例2、等差数列中，求，例3、在等差数列中， 已知， 求例4、为

10、递减的等差数列， +=12， 且··=80求通项例5、已知a、b、c的倒数成等差数列，则是否也成等差数列？说明理由三、针对训练：1、若依次成等差数列，求的值2、设是递增的等差数列，已知，求等差数列的通项3、在等差数列中， 1°若，求；2°若，求：； 3°若，求；4°若，求4、已知数列满足，且当，时，有，（1）求证：数列为等差数列；（2）试问是否是数列中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由5. 等差数列的前n项和（一）一、知识归纳：等差数列的前项和公式：二、例题讲解：例1、某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：）是：750080

11、008500900095001000010500这位运动员7天共跑了多少米？例2、等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？例3、求集合的元素个数，并求这些元素的和例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前项和的公式例5、一个凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是， 最小内角为，求边数n例6、等差数列、的前n项和、满足，则，=三、针对训练：1、设是等差数列的前n项和，若（）A1 B1 C2 D2、等差数列的前n项和为，已知，则n为（）(A) 18 (B) 17 (C) 16 (D) 153、已知等差数列满足，则有ABC D4、等差数列的前n项和为25

12、，前2n项和为100，则它的前3n和为5、各项均为正数的等比数列中，则在等差数列中，则 _6、等差数列中，公差，求7、已知，求数列的前项和8、设等差数列中，求及的值6. 等差数列的前n项和（二）一、知识归纳：1、等差数列的前项和的性质：，成等差数列2、等差数列的判定(接等差数列2)：求和法：；若，是等差数列，则，也是等差数列3、等差数列的前项和的最值：，时，有最小值；，时，有最小值二、例题讲解：例1、在等差数列中：1°已知求和； 2°已知，求例2、若一个等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，求其中间项例3、已知，都成AP，且，试求数列的前100项之和A

13、BC1373123Ox例4、已知数列的前n项和是关于正整数n的二次函数，其图像上有三个点A、B、C（如图），（1）求数列的通项公式；（2）判定是否为等差数列，说明理由例5、根据数列的前n项和，判断下列数列是否是等差数列；例6、在等差数列中，该数列前多少项的和最大？三、针对训练：1、设等差数列的前n项和为，已知，>0，<0，(1) 求公差d的取值范围； (2) 指出， ， ， ， 中哪一个最大，说明理由2、一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32：27，求公差3、已知数列的前项和，求证数列成等差数列，并求其首项、公差、通项公式4、已知等差数列的前项和为

14、，前项和为，求前项和5、在等差数列中，该数列前多少项的和最小？7. 等比数列（一）一、知识归纳1等比数列定义：； 2等比数列通项公式：二例题选讲例1 培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项例3（1）等比数列中，（2）等比数列中，（3）等比数列中，若，求例4（06全国I文）已知为等比数列，求的通项公式三针对训练：1求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，15，45，；（2），；（3），；

15、（4），2（1）一个等比数列的第9项是，公比是，求它的第1项（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项3由下列等比数列的通项公式，求首项与公比：（1）；（2）4已知等比数列中，(1) 求数列通项公式；(2) 若，求数列的前20项和四小结本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式8. 等比数列（二）一、知识归纳1等比中项：若成等比数列，则；2等比数列的判定方法：定义法：（常数）；递推法：；通项法：3等比数列的性质：；若且，则；4等比数列的增减性：当q>1， >0或0<q<1， <0时， 是递增数列;当q>1， <0，或0&

16、lt;q<1， >0时， 是递减数列;当q=1时， 是常数列;当q<0时， 是摆动数列;二例题讲解：例1 已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列例2数列满足，（1）求证数列是等比数列；（2）求通项例3（1）在等比数列，已知，求的值(2) 已知是等比数列，且， 求的值三针对训练：1等比数列中，前10项和10，前20项和30，则前30项和为（）A 70 B 90 C 100 D 120 2各项均为正数的等比数列中，则（）A 12 B 10 C 8 D 3各项均为正数的等比数列中且，则（）A B C D 4等比数列中，5已知数列中，求通项四、课堂小节1、等比数列定义： 2、等比数

17、列通项公式3、等比中项： 4、等比数列性质9. 等比数列的前n项和（一）一、知识归纳：1等比数列的前n项和公式：；2错位相减法：若：，则：，可以求和（注意：用前式第项减后式的第项错位相减！）二例题讲解：例1求等比数列的前8项的和例2某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？例3（1）在等比数列中，已知：，求（2）（06全国2）等比数列的前项和为，已知，求数列的通项例4是等比数列的前n项和，已知1是和的等差中项，6是和的等比中项（1）求和；（2）求的通项公式；（3）求数列的前n项和三针对训练：1根

18、据下列条件，求相应的等比数列的：（1）；（2）；（3）；（4）2（1）求等比数列从第5项到第10项的和（2）求等比数列从第3项到第7项的和四、课堂小结：等比数列的前n项和10. 等比数列的前n项和（二）一、知识归纳：1等比数列的前n项和公式：2错位相减法：若：，则：，可以求和（注意：用前式第项减后式的第项错位相减！）3等比数列的前项和的性质：，成等比数列4等比数列判定：求和法：二例题讲解：例1求和：（x+（其中x0，x1，y1）例2若是等比数列的前项和，成等差数列，求证：成等差数列例3设数列为求此数列前项的和例4已知等差数列的第二项为8，前十项的和为185，从数列中，依次取出第2项、第4项、第

19、8项、第项，按原来的顺序排成一个新数列，求数列的通项公式与前n项和公式三针对训练：1一个等比数列前项的和为前项之和，求2数列的前n项和为，若，求：（1），的值及通项公式；（2）的值3求和：四课堂小结1等比数列的前n项和公式：2错位相减法的应用；11. 数列的求和学案一、分组法求和：若：，且数列、的前n项和可以求出，则分组求和例1：已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求例2：求数列1，3，32，3n的各项的和例3：求和：；二、错位相减法求和：（公差不为0的等差数列与公比不为1的等比数列的积的形式）若：，则：，可以求和（注意：用前式第项减后式的第项错位相减！）例4：1；例5：设a为常数，

20、求数列a，2a2，3a3，nan，的前n项和例6：已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和三、裂项法求和：若：（裂项），则：（相消）提示：；例7：求：例8：求：例9：已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：12. 数列的求和练习1=；2数列中，求这个数列前30项的绝对值之和；3已知数列的前n项和其中a、b是非零常数，则存在数列、使得（）A，其中为等差数列，为等比数列B，其中和都为等差数列C，其中为等差数列，都为等比数列D，其中和都为等比数列45设正项等比数列的首项，前n项和为，且求的通项；求的前n项和6、求： =7、求： =13、求数列的通项公式学案一、型解

21、法：把原递推公式转化为，利用累加法（逐差相加法）求解例1：数列中，其通项公式=例2：（08年北京卷14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数a的整数部分，例如，按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2008棵树种植点的坐标应为二、型解法：把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解例3：已知数列满足，求三、（其中p，q均为常数，）型解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解例4：四、递推公式为与的关系式(或)解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解例5：数列的前项和为，则是（）A等比数列 B等差数列 C从第2项起是等比数列 D从第2项起是等差数列五、型解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为例6：数列中，则（）A B C D14、求数列的通项公式练习1数列中，求其通项公式2（