第三章连续系统的频域分析习题解答

1、第三章 连续系统的频域分析习题解答3-1已知函数集，n为正整数。(1) 证明该函数集在区间(0, 2p)内为正交函数集；(2) 试问该函数集在区间(0, p!2)内是否为正交函数集？解：(1)证：可见满足正交函数集的条件。证毕。-A230 1A-1-2f(t)t(2) 不恒为0，可见在此区间上不是正交函数集。3-2证明图示矩形脉冲信号f(t)在区间(0, 1)内与正交，n为正整数。证：f1(t)t2p0Um(a)3pp-p-2pUm sint3-3将图示周期信号展开为三角型傅立叶级数。解：(a) f2(t)t2T0E(b)T-T-2Tf2"(t)tT!20(4E!T)T-T-(4E!

2、T)2T(b) f2(t)求二阶导数如中图，3-4 图题3-4所示信号展开为指数型傅里叶级数。-2-4240(a)f1(t)1-131(b)0f2(t)T-TE2Tt解：3-5图示四种同周期的信号，(1) 求f1(t)的三角型傅立叶级数；(2) 利用各波形与f1(t)的关系求另三个波形的三角型傅立叶级数。f3(t)tT01T/2(c)-Tf2(t)tT01T/2(b)-Tf1(t)tT01T/2(a)-T/2f4(t)tT01T/2(d)-T/2解：(1)f(t)t3501-1-323-6试将图示周期方波信号f(t)展开为傅立叶级数，画出其单边和双边振幅频谱图和相位频谱图，并求该信号的占有频带

3、Bv .解：方法一(按定义计算)方法二(利用微分性质，通过右图计算，并注意到V =2p/3 )f'(t)t0(1)2(1)(1)(-1)-33-1(-1)|Fn|nV0.670.280.140.070.05502p34p32p4p-2p3-4p3-2p0.280.140.070.055单边频谱双边频谱|An|nV0.670.550.280.140.1102p34p32p4pynnV2p0-p3-2p32p34p38p34p-2pp32p3-4pynnV2p0-p3-2p32p34p38p34p由图易知：Bv= 2p（注意：¹ 2p/t）3-7 试求题图3-7所示周期信号的指数

4、型傅里叶级数系数Fn，并画出其幅度频谱。T(a)0T/2tf1(t)AT(b)0T/2tf2(t)Af3(t)0Ttt0t0+TA(c)t(d)f4(t)tT0AT/2-A|Fn|v0V2V4V-V-2V-4V0.318A0.25A0.106A0.021A解：由于未知数太多，无法画出其幅度频谱。f(t)t0T43-8 已知周期函数f(t)前四分之一周期的波形如图题3-9所示。根据下列各情况的要求，画出f(t)在一个周期(0<t<T)的波形。(1) f(t)是偶函数，只含有偶次谐波；(2) f(t)是偶函数，只含有奇次谐波；(3)f(t)是偶函数，含有偶次和奇次谐波； (4)f(t)

5、是奇函数，只含有偶次谐波；(5)f(t)是奇函数，只含有奇次谐波； (6)f(t)是奇函数，含有偶次和奇次谐波；f2(t)t0T4T2T3T4解：分别如图f1(t)至f6(t)的图。f3(t)，中间部分不唯一t0T4T2T3T4f1(t)t0T4T2T3T4f6(t)，中间部分不唯一t0T4T2T3T4f5(t)t0T4T2T3T4f4(t)t0T4T2T3T4f1(t)t01t(a)3-9 求图题3-9所示各信号的傅里叶变换。解：f3(t)t(c)1-10EEcos(pt/2)f2(t)t0ET(b)f4(t)(d)T/20EEsinVttT-E3-10 试求下列信号的频谱函数。解：3-11

6、 利用傅里叶变换的对称性求下列信号的频谱函数。(1)；(2)；(3).解：F3( jv)t00.54p-4p3-12 已知信号f(t)的频谱函数F(jv)如下，求信号f(t)的表达式。解：(1) d(t)1，12pd(-v) = 2pd(v)，f1(t)t01t(a)-1-t3-13 利用傅里叶变换的微积分性质求图示信号的频谱。解：(a)=f2(t)tE0t2(b)t2-TT3-14 求下列函数的傅里叶反变换。3-12题(2)解：(a)；(b)；(3)3-15 已知f(t)*f'(t)5(12t)e-tÔ(t)，求信号f(t)。解：等式两边取傅里叶变换并利用时域微分性质与时域

7、卷积性质得：谱函数F( jv)：3-16图示余弦脉冲信号，试用下列方法分别求频(1) 利用傅立叶变换的定义；(2) 利用微分特性；f (t)t-1110(3)，利用线性和频域卷积性质。解：(1) 3-17 利用频域卷积定理求下列信号的频谱函数。解：3-18已知图示两门函数：f1(t)t(a)-E10t12t12f2(t)t(b)-E20t22t22.(1) 画出的图形；f(t)tE1E2t10t2-t12-t2-t12t2+t12-t2+t12(2) 求的频谱函数F(jv)，并与题3-13(b)的方法比较。解：(1) 利用微分积分性质得：比较：其方法与题3-13(b)的方法相类同。f(t)t0

8、21213-19 试求图示信号的频谱函数。解：方法一：方法二：3-20设f(t)为限带信号，频带宽度为vm，其频谱F(jv)如图所示。(1) 求f(2t)、f(0.5t)的奈奎斯特抽样频率fN和奈奎斯特间隔TN；(2) 用抽样序列对信号进行抽样，得抽样信号fs(t)，求fs(t)的频谱Fs(jv)，画出频谱图；F( jv)0vm58-vm1v(3) 若用同一个dTN(t)对f(2t)、f(0.5t)分别进行抽样，试画出两个抽样信号fs(2t)、 fs(0.5t)的频谱图。解：(1)f(2t)：f(2t)Û0.5F(j0.5v)(频域被展宽一倍)Fs( jv)082.55v2416-1

9、6-8-24Þvm'52vm516 ÞfN52 fm'516/p，TN5p/16；f(0.5t)：f(0.5t)Û2F(j2v)(频域被压缩一倍)Þvm"50.5vm54 ÞfN52 fm"54/p，TN5p/4；(2) F s"( jv)045.1v16-16-4Fs'( jv)01.27v2416-16-8-2432(3) 见右图。3-21 若下列各信号被抽样，求奈奎斯特间隔和奈奎斯特频率。解：3-22 对两个信号均按周期TS = (1/400)s抽样。试问哪个信号可不失真恢复成原信号？

10、并画出均匀冲激抽样信号fS(t)的波形及其频谱图。解：其波形及频谱图如下： 52t, ms05 152 25210152025- 52-5-10-15-20-25fS1(t)1-1v-100pFs1( jv)100p0-700p-1500p700p1500p(400p)(400p)(400p)(400p)(400p)(400p)-900p(400p)900p(400p)t, ms 52fS2(t)5 152101-11520 252v-100pFs1( jv)100p0-700p-1500p700p1500p(400p)(400p)(400p)(400p)(400p)(400p)-900p(4

11、00p)900p(400p)3-23已知一系统由两个相同的子系统级联构成，子系统的冲激响应为h1(t)= h2(t) =1/(pt)，激励信号为f(t)。试证明系统的响应y(t)=2f(t)。证明：sgn(t)2j sgn(v) ÞÞÞ y(t)=2f(t)证毕。3-24求图示电路的频域系统函数：及相应的+f(t)-RCi(t)+uC(t)-单位冲激响应h1(t)与h2(t)。解：Þ+u1(t)-LCR+u1(t)-3-25 求图示电路的频域系统函数。解：3-26图示电路，f(t)=10e-tÔ(t)+2Ô(t)。求关于i(t)的单位

12、冲激响应h(t)和零状态响应i(t)。+f(t)-Ri(t)L2H4V解：3-27 已知某系统的频域系统函数为，试求：(1) 单位阶跃响应g(t)；(2)激励的零状态响应yf (t)。解：(1)方法一：3-28设，并绘f (t)与yf (t)的波形。yf (t)0t-ppf (t)0t-pp解：3-29已知系统的频域系统函数为，系统的初始状态为y(0-)=2，y'(0-)=1，激励。求全响应y(t)。解：3-30 已知一LTI系统的方程为，试求其系统函数H(jv)和单位冲激响应h(t)。解：，3-31求图示各系统的系统函数H(jv)和单位冲激响应h(t)。积分器f(t)(d)y(t)微

13、分器f(t)(c)y(t)倒相器f(t)(b)y(t)单位延迟器f(t)(a)y(t)解：S延时器延时t f(t)+-g(t)y(t)3-32求图示系统的H(jv)。解：其频域模型如右下图所示。f(t)x(t)y(t) F(jv)+-Y(jv)S3-33图示系统，已知已知，求Y( jv)，并绘出之。解：vY( jv)0-5300-4700-6000(-j0.5p)-7000-4000(p)-3000(0.5p)(j0.5p)(0.5p)(p)470053004000(-j0.5p)30006000(p)7000(0.5p)(j0.5p)(0.5p)(p)3-34 理想低通滤波器的传输函数H(jv)5G2p(v)，求输入为下列信号时的响应y(t)。(1) f(t)5Sa(t) (2) f(t)54Sa(pt)解：(1)+f(t)-C1+y(t)-C2R1R2(a)3-35写出图示电路的H( jv)，若使之为无失真传输系统，元件参数应满足何条件？解：+u1(t)-+y(t)-R1R2(b)L1L23-36系统、F( jv)、H1( jv)和H2( jv)如图，求Y( jv) .-3v0H1( jv)103v0