空间几何向量法之点到平面的距离

1、空间几何向量法之点到平面的距离1.要求一个点到平面的距离，可以分为三个步骤：(1) 找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量；(2) 求出该平面的法向量；(3) 求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，这就是该店到平面的距离。例子：点到面的距离（注：AB为点A的斜向量，是面的法向量，点是面内任意一点。）2.求立体几何体积（向量法）体积公式：1、柱体体积公式：2、椎体体积公式：3、球体体积公式：课后练习题zOADCBxyM例题：在三棱锥BACD中，平面ABD平面ACD，若棱长AC=CD=AD=AB=1，且BAD=300，求点D到平面ABC的距离。要求平面外一点P到平

2、面的距离，可以在平面内任取一点A，则点P到平面的距离即为d=建立如图空间直角坐标系，则A（），B（），C（），D（ ,设=(x,y,z)为平面的一个法向量，则 ，可取代入得，即点D到平面ABC的距离是。1. 已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点D到平面ABC的距离. 解：设是平面ABC的一个法向量，则由及,得 ,取x=3,得,于是点D到平面ABC的距离为d=.2.已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB和AD的中点，GC平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离. 解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xy

3、z，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，=(2,4,-2),=(4,2,-2),=(2,0,0).设平面EFG的一个法向量为，则由及，得,取y=1,得,于是点B到平面EFG的距离为d=.3.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，求点C到平面ABD的距离。解：建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(1,0,1),B(1,1,0),C (0, 1,1). 设平面ABD的一个法向量为，则由及，得,取x=-1,得=(-1,1, 1),于是点C到平面ABD的距离为d=.4.如图4，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=

4、2，AB=AD=，求点E到平面ACD的距离. 解：由题设易知AOBD，OCBD，OA=1，OC=，OA+OC=AC，AOC=90，即OAOC.以O为原点，OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, ,0),D(-1,0,0),E(,0), =(-1,0,-1), =(0, ,-1), =(-,-,0). 设平面ACD的一个法向量为，则由及，得,取z=,得=(-,1, ),于是点E到平面ACD的距离为d=. 5. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90°，ABBCAA12，M、N分别是A1C1、BC1的

5、中点()求证：BC1平面A1B1C；()求证：MN平面A1ABB1；()求三棱锥MBC1B1的体积()ABCA1B1C1是直三棱柱，BB1平面A1B1C1，B1BA1B1又B1C1A1B1，A1B1平面BCC1B1，BC1A1B1BB1CB2，BC1B1C，BC1平面A1B1C()连接A1B，由M、N分别为A1C1、BC1的中点，得MNA1B，又A1B平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，MN平面A1ABB1()取C1B1中点H，连结MHM是A1C1的中点，MHA1B1，又A1B1平面BCC1B1，MH平面BCC1B1，MH是三棱锥MBC1B1的高，三棱锥MBC1B1的体积6. 如图，在三棱柱中，