算两次在证明组合恒等式中的应用_第1页
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1、“算两次”思想在证明组合恒等式中的应用1.，取走和剩下的一一对应；2.我们可令等式中的x等于1，得到该式。另外，我们可考察集合的子集的个数：一方面，采取加法原理，根据子集中元素个数分类：；另一方面，采取乘法原理，设其子集为S，我们逐一考察是否在S内，每个元素都有两种可能，考察完毕，子集S确定，或者我没把子集看成一个排列，如；。共。所以得证。3.，从取m个有种：一类含a：，一类不含a：。推广： 从取m个排成一排：一类含a：，一类不含a：。推广：解释：有m+n+1不同小球，其中黑球m+1个，白球n个。从中选取n+1个小球，选法共：种，考虑另外一种算法：若有黑1则在剩余小球中选n个，即，若无黑1，则

2、考虑是否有黑2，若有则从剩余n+m-1个小球中取n个，即，依次考虑下去，到考虑是否有黑m，若有，则在剩余n个小球取n个，即，若无黑m。则必有黑m+1，最后剩下的m个白球全取。总共。所以得证。本公式另一种表现形式：。本公式也可从杨辉三角观察可得。还可考察等式两端的系数相同。推广： 从取个元素：从这个元素中取个a系，r-k个b系的方法种，所以。（Vandermonde恒等式）特例，当时，即。 当时，。（人教B选修2-3教材P35T17，此题还可以通过考察等式左右两边含项的系数相等得到；同样考察左右两边含项的系数相等得到Vandermonde恒等式）推广：。证明：由，令结合可得。得证。解释：a系选一

3、个作为主元素，从剩余的2n-1中再选n-1个；再有对于k=1，2,3，n从n个a系中选k个，再从中选一主元素，再从n个b系中选n-k个（不做主元素），即。另一种证明方法：因为：，两展开式右边乘积中的常数项恰好等于，而，中含的系数是。推广：，当时，即是上式。4.，（可直接用组合数公式证明）解释：从n个元素中选出r个元素并把其中之一作为主元素，另一方法，先从n个元素中选出一个主元素，再从剩余的n-1个元素中选取r-1个元素。用之可证明人教B版选修2-3P32T6：。（证明一：倒序相加；证明二：从左往右结合；证明三：两端求导并令）的推广：时，。解释：考虑从n人中选出m名正式代表及若干名列席代表的选法（列席代表不限人数，可以为0）.一方面，先选定正式代表，有种方法，然后从个人选列席代表，有种方法，共有种。另一方面，可以先选出人（），然后再从中选出m名正式代表，其余的k人为列席代表。对于每个k,这样的选法有种，从

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