等差数列教学案例设计

1、等差数列教学案例设计一、教学内容分析本节课是普通高中课程标准实验教科书·数学5（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。二、学生学习情况分析我所教学的学生是我校高二（1）班的学生，经过一年的学习，大部分学生知识经验已

2、较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。三、设计思想1教法诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。2学法引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水

3、库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。四、教学目标通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的

4、能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。五、教学重点与难点重点：等差数列的概念。等差数列的通项公式的推导过程及应用。难点：理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。理解等差数列是一种函数模型。关键： 等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。六、教学过程教学环节情境设计和学习任务学生活动设计意图创设情景上

5、节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。倾听课堂引入探索研究由学生观察分析并得出答案：在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，_,_,_,_,2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低

6、2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：时间年初本金（元）年末本利和（元）第1年10 00010 072第2年10 00010 144第3年10 00010 216第4年10 00010 288第5年10 00010 360各年

7、末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。观察分析，发表各自的意见引向课题发现规律思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20， 48，53，58，63 18，15.5，13，10.5，8，5.5 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 看这些数列有什么共同特点呢？观察分析并得出答案:引导学生观察相邻两项间的关系，得到： 对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -

8、2.5 ； 对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ； 由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。通过分析，激发学生学习的探究知识的兴趣，引导揭示数列的共性特点。总结提高等差数列的概念对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.

9、5，72。学生认真阅读课本相关概念，找出关键字。通过学生自己阅读课本，找出关键字，提高学生的阅读水平和思维概括能力，学会抓重点。提问：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A所以就有 让学生参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感。由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13中5是3和7的等差中项，

10、1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。看来，从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q则 深入探究，得到更一般化的结论引领学习更深入的探究，提高学生的学习水平。总结提高等差数列的通项公式对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。由学生经过分析写出通项公式：这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），由此可以猜想得到这个数列的通项公式

11、是 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10

12、288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是学会发现规律，并加以总结。、那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d，它的通项公式是什么呢？ 引导学生根据等差数列的定义进行归纳： 所以 引导学生进行理性分析与推导，从而得出公式。总结提高思考：那么通项公式到底如何表达呢？ 进一步的分析。得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为 也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。思考，并发表各自的意见。让学生有自主思考的时空。应用巩固

13、例1、求等差数列8，5，2，的第20项.-401是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？让两个学生分别对这两小题加以分析。让学生参与课堂。分析：要求出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。解：由=8，d=5-8=-3，n=20，得由=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。 解这个关于n

14、的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。聆听教师点评通过教师点评，提高学生对关键问题的认知水平。随堂练习：课本45页“练习”第1题；完成练习讲练结合，有利提高学生的知识应用水平例2某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候

15、时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费. 令=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费 答：需要支付车费23.2元。学以致用，将所学知识应用到具体生活中去，加深对概念的理解。例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。聆听教师点评通过教师点评，提高学生对关键问题的认知水平。随堂练习：课本45页“练习”第2题；完成练习讲练结合，有利提高学生的

16、知识应用水平例3 已知数列的通项公式为其中p、q为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？分析思考，然后分组讨论，让两组学生代表发表自己的见解。培养学生分析问题的能力，在小组讨论中提高组长的组织与归纳组内成员想法的能力。分析：判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n1）是不是一个与n无关的常数。解：取数列中的任意相邻两项（n1），求差得 它是一个与n无关的数.所以是等差数列。课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？这个数列的首项公差。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.例题评述：通过这个例

17、题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。对所得结论进行更深入一步的探究，激发学生的学习兴趣。探索研究引导学生动手画图研究完成以下探究：在直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点？在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。分析：n为正整数，当n取1，2，3，时，对应的可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次

18、函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。学生动手画图，并进行学习小组讨论，发表见解。通过学生动手作图，并加以对比，让学生体会数列与函数的内在关系。课堂小结本节主要内容为：等差数列定义：即(n2)等差数列通项公式：(n1)推导出公式：以学习小组为单位，在学习小组中，各自归纳自己对这堂课的收获，后由小组代表总结归纳。学生自己小结，使学生对自己所学知识有更深刻的认识。评价设计1、已知是等差数列. 是否成立？呢？为什么？ 是否成立

19、？据此你能得出什么结论？ 是否成立？据此你又能得出什么结论？2、已知等差数列的公差为d.求证：作业是课堂的延续，除了检验学生对本节课知识的理解程度，还在于引导学生对本课知识的进一步探究，让学生在更大的深度与广度之间进行思考。七、教学反思本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的概念，并在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式，培养了学生观察、分析、归纳、推理的能力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理性的认识过程，也使本节课的三维目标真正落到实处。圆锥曲线定义的运用教学案例设计一、教学内容分析本课选自全日制普通高级中学教科书（必修）数学(人教版)高二 (上

20、)，第八章（圆锥曲线方程复习课） 圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,我认为有必要再一次回到定义,熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略.二、学生学习情况分析我所任教班级的学生是初中开始“课程改革”后的第一届毕业生，他们在初中三年的学习中，接受的是“新课改”的理念，学习的是“新课标”下的课程、教材，由于05年高中“课改”还未全面推行，因此如今他们面对的高中教材还是旧教材。与以往的学生比较，这届学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在

21、课堂上发表与众不同的见解，但计算能力较差，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。三、设计思想由于这部分知识较为抽象,难以理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,我有意识地引导学生利用波利亚的一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥.借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率.四、教学目标1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本

22、知识求解圆锥曲线的方程。2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解， 培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高空间想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法.3借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.在民主、开放的课堂氛围中,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神.五、教学重点与难点:教学重点1.对圆锥曲线定义的理解2.利用圆锥曲线的定义求“最值”3.“定义法”求轨迹方程教学难点:巧用圆锥曲线定义解题六、教学过程设计【设计思路】由于这是一堂习题课, 加上我所任教的班级是重点中学的理科班，学生有较好的

23、数学基础，学习积极性较高，领悟能力较好，所以在教学中,我拟采用师生共同参与的谈话法：由教师提出问题，激发学生积极思考，引导他们运用已有的知识经验，利用合情推理来自行获取新知识。通过个别回答，集体修正的方法让我及时得到反馈信息。最后，我将根据学生回答问题的情况进行小结，概括出问题的正确答案，并指出学生解题方法的优缺点。（一）开门见山，提出问题一上课，我就直截了当地给出例题1：(1) 已知A（2，0）， B（2，0）动点M满足|MA|+|MB|=2，则点M的轨迹是（ ）。 （A）椭圆 （B）双曲线 （C）线段 （D）不存在（2）已知动点 M（x，y）满足，则点M的轨迹是（ ）。（A）椭圆 （B）双

24、曲线 （C）抛物线 （D）两条相交直线【设计意图】定义是揭示概念内涵的逻辑方法，熟悉不同概念的不同定义方式，是学习和研究数学的一个必备条件，而通过一个阶段的学习之后，学生们对圆锥曲线的定义已有了一定的认识，他们是否能真正掌握它们的本质，是我本节课首先要弄清楚的问题。为了加深学生对圆锥曲线定义理解，我以圆锥曲线的定义的运用为主线,精心准备了两道练习题。为杜绝一些错误认识在学生大脑中滋生、萌芽，我准备采用电脑多媒体辅助教学先制作好若干“电脑小课件”，一旦有学生提出错误的解法,就向学生们展示。希望用形象生动的“电脑课件”使学生对问题有正确的认识。此外，因为涉及的内容较多，学生的训练量也较大，所以考虑

25、利用实物投影器等媒体来辅助教学，一方面能弥补在黑板上板演耗时多的不足，另一方面则可以让学生一边演示自己的“成果”，一边进行介绍说明，有利于激发更多的学生主动参与，真正成为学习的主体。【学情预设】估计多数学生能够很快回答出正确答案，但是部分学生对于圆锥曲线的定义可能并未真正理解，因此，在学生们回答后，我将要求学生接着说出：若想答案是其他选项的话，条件要怎么改？这对于已学完圆锥曲线这部分知识的学生来说，并不是什么难事。但问题（2）就可能让学生们费一番周折如果有学生提出：可以利用变形来解决问题，那么我就可以循着他的思路，先对原等式做变形：这样，很快就能得出正确结果。如若不然，我将启发他们从等式两端的

26、式子入手，考虑通过适当的变形，转化为学生们熟知的两个距离公式。在对学生们的解答做出判断后，我将把问题引申为：该双曲线的中心坐标是 ，实轴长为 ，焦距为 。以深化对概念的理解。（二）理解定义、解决问题例2 (1)已知动圆A过定圆B：的圆心，且与定圆C： 相内切，求ABC面积的最大值。 （2）在（1）的条件下，给定点P(-2,2), 求的最小值。（3）在（2）的条件下求|PA|+|AB| 的最小值。【设计意图】运用圆锥曲线定义中的数量关系进行转化，使问题化归为几何中求最大（小）值的模式，是解析几何问题中的一种常见题型，也是学生们比较容易混淆的一类问题。例2的设置就是为了方便学生的辨析。【学情预设】

27、根据以往的经验，多数学生看上去都能顺利解答本题,但真正能完整解答的可能并不多。事实上，解决本题的关键在于能准确写出点A的轨迹，有了练习题1的铺垫，这个问题对学生们来讲就显得颇为简单，因此面对例2（1）、（2），多数学生应该能准确给出解答，但是对于例2（3）这样相对比较陌生的问题，学生要么就卡壳了，要么可能得出错误的解答。我准备在学生们都解答完后,选择几份有“共性”错误的练习，借助于实物投影仪与电脑，加以点评。这时，也许会有学生说应当是P、A、B三点共线时，取最小值。那么，我应该鼓励学生进行的大胆构想，同时不急于给出标准答案，而是打开“几何画板”，利用其能够准确测量线段的特点，让学生们自己发现错

28、误，在电脑动画的帮助下,让学生们寻找到点B所在的正确位置后，叫学生演练出正确的解题过程，并借助实物投影加以演示。在学生们得出正确解答后，由一位学生进行归纳小结：在椭圆中，当定点A不在椭圆内部时，则A，F的连线与椭圆的交点M就是使|BA|+|BF|最小的点；当定点A在椭圆内部时，则A与另一焦点的连线的延长线与椭圆的交点B即为所求。（三）自主探究、深化认识如果时间允许，练习题将为学生们提供一次数学猜想、试验的机会练习：设点Q是圆C：上动点,点A（1，0）是圆内一点,AQ的垂直平分线与CQ交于点M,求点M的轨迹方程。 引申:若将点A移到圆C外,点M的轨迹会是什么?【设计意图】练习题设置的目的是为学生

29、课外自主探究学习提供平台，当然，如果课堂上时间允许的话，可借助“多媒体课件”，引导学生对自己的结论进行验证。【知识链接】（一）圆锥曲线的定义1 圆锥曲线的第一定义2 圆锥曲线的统一定义（二）圆锥曲线定义的应用举例1双曲线的两焦点为F1、F2，P为曲线上一点，若P到左焦点F1的距离为12，求P到右准线的距离。2P为等轴双曲线上一点， F1、F2为两焦点，O为双曲线的中心，求的取值范围。3在抛物线上有一点A（4，m），A点到抛物线的焦点F的距离为5，求抛物线的方程和点A的坐标。4（1）已知点F是椭圆的右焦点，M是这椭圆上的动点，A（2，2）是一个定点，求|MA|+|MF|的最小值。（2）已知A（）为一定点，F为双曲线的右焦点，M在双曲线右支上移动，当最小时，求M点的坐标。（3）已知点P（2，3）及焦点为F的抛物线，在抛物线上求一点M，使|PM|+|FM|最小。5已知A（4，0），B（2，2）是椭圆内的点，M是椭圆上的动点，求|MA|+|MB|的最小值与最大值。七、教学反思本课将借助于“POWERPOINT课件”，利用两