第十一章线面积分

1、第十一章 曲线积分与曲面积分 1 对弧长的曲线积分1设关于轴对称，表示在轴上侧的部分，当关于是偶函数时，A.0 B. C. D.ABC都不对2、设是以点为顶点的正方形边界,则= A. 4 B.2 C. D. 3、有物质沿曲线：分布，其线密度为，则它的质量 A. B. C. D.4求其中L为由所围区域的整个边界解：5其中L为双纽线解：原积分=6其中L为原积分7其中L为球面与平面的交线解：将代入方程得于是L的参数方程：，又原积分=8、求均匀弧的重心坐标， 2 对坐标的曲线积分一、选择题1.设关于轴对称，表示在轴上侧的部分，当关于是偶函数 时，A.0 B. C.D.ABC都不对2设为的正向，则A.0

2、 B.4 C.2 D.-23为的正向， A.2 B.-2 C.0 D.二、计算1，其中由曲线从到方向解：2其中是正向圆周曲线解：由奇偶对称性，：3其中为从点到的有向线段解：方程：，三、过和的曲线族，求曲线使沿该曲线从到的积分的值最小解：。最小，此时四、空间每一点处有力，其大小与到轴的距离成反比，方向垂直指向轴，试求当质点沿圆周从点到时，力所作的功解：由已知五、将积分化为对弧长的积分,其中L 沿上半圆周解：，于是 3 格林公式及其应用一、选择题1.若是上半椭圆取顺时针方向,则= A.0 B.C. D 2. 设为的正向，则A2B.-2C.0 D.3.设为曲线的正向，则A9 B.-18C. -9 D

3、.0 二、计算题1.设是圆取逆时针方向，则解：将方程代入被积函数在由格林公式得2其中为点到的抛物线 的弧段解：因故积分与路径无关，取3求，为(1) (2) 正方形边界的正向解：(1)直接用格林公式=0(2) 设为圆周：取逆时针方向，其参数方程原积分为所以4、验证在面上是某函数的全微分，求出解：， 5、设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且 ，计算的值解：取路径：沿从到；再沿从到则或 4对面积的曲面积分1、计算曲面积分 ，其中是平面在第一卦限的部分 解：2、求曲面积分 ，其中是界于平面z=0和z=H之间的圆柱面 解： =23、求曲面积分 ，其中是锥面被柱面 所截得的有限部分 解：= 5 对

4、坐标的曲面积分一、选择题1.设关于面对称反向，是在面的前侧部分，若关于为偶函数，则（ ） A.0 B. C. D.ABC都不对2.设取上侧,则下述积分不等于零的是（）AB C D 3.设为球面取外侧,为其上半球面,则有（） A.B. C. D. 0二、计算1其中由及三个坐标面所围成闭曲面的外侧2其中为锥面被平面所截部分的外侧3.其中为被平面所截部分，其法向量与z轴成锐角三、用两类曲面积分之间的关系计算1 求其中是柱面在部分，是的外法线的方向余弦2其中为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧=四、试求向量穿过由及及所围成圆台外侧面（不含上下底）的流量6 高斯公式1. 设是抛物面介于及之间部分的下侧

5、，求 解：做补面：取上侧，则构成一个封闭曲面，取外侧，由高斯公式知：原式=2设为取外侧,求解：原式=3.设为平面在第一卦限部分的上侧，则=解：由轮换对称性知原式=4. 求，其中有连续的二阶导数，是 所围立体的外侧5.求，其中是 及所围曲面的外侧6.，其中为取外侧7 斯托克斯公式1、设为依参数增大方向的椭圆：，求 （0）2设为平面与坐标面交线，从z轴看去为逆时针方向，求 （2）3.设为圆周若从轴正向看依逆时针方向，则 （） 4、其中为圆周若从轴正向看依逆时针方向。5,其中为曲线从轴正 向看依逆时针方向。6,其中为椭圆若从x轴正向看，此椭圆依逆时针方向。第十章 自测题一、填空（每题4分，共20分）

6、1、设平面曲线为下半圆周，则曲线积分 （）2、设为椭圆，其周长为,则(12)3、设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分（）4、设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则5、设为球面外侧，则曲面积分（0）二、选择题（每题5分，共15分）1、设是在第一卦限部分.则有AB.C.D.2、设取上侧，则下述积分不正确的是AB. C. D.3、设L是从点(0,0)沿折线、y=1-|x-1|至点A(2,0)的折线段，则曲线积分 为（ ） A 0 B -1 C 2 D 2 三、计算（每题8分）1计算曲面积分，其中为锥面在柱体 内的部分2、过和的曲线族，求曲线使沿该曲线从到的积分的值最小解：。最小，此时3、计算曲线积分，其中是以为中心，为半径的圆周（取逆时针方向）解：设为圆周：取逆时针方向，其参数方程原积分