第四章微分中值定理与导数的应用

1、教学内容（含时间安排）板书或旁注第四章 微分中值定理与导数的应用第一节 中值定理（2课时）要求：理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理。重点：理解中值定理及简单的应用。难点：中值定理证明的应用。一、罗尔(Rolle)定理罗尔定理 如果函数满足条件（1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； （3）则在开区间内至少有一点，使得函数在该点的导数等于零，即几何解释设曲线的方程为，罗尔定理的条件的几何表示，是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，结论是曲线弧上至少有一点C，使该点处曲线的切线是水平的从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的

2、，这就启发了我们证明这个定理的思路，应在函数取最值点处找 例1验证罗尔定理对函数在上的正确性证明 因为函数在闭区间上连续，可导且 函数在区间上满足罗尔定理条件，所以在区间内存在使得，于是 故确实在区间内至少存在一点使得，结论成立二、拉格朗日中值定理（微分中值定理）几何分析拉格朗日中值定理 设函数满足条件（1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导则在区间内至少存在一点，使得等式成立推论1 如果函数在区间I上的导数恒为零，那么函数在区间I上是一个常数（它的逆命题也成立）例2试证证明 构造函数，因为函数在上可导，且由推论得 ，当时， 从而推论2如果函数在区间I上连续、可导，且，则在I上有（如何证明

3、？）例3证明不等式证明 设函数，因为函数在上满足拉氏定理条件，则有，由于，因此上式成为，又由于，有 ，从而 （）说明 利用拉格朗日中值公式证明不等式关键是选择函数及对应的区间，步骤如下，（1）选择适当函数及相应区间，使其满足定理的条件，有；（2）在区间上找出导函数最大（小）值，即有，于是得到不等式 三、柯西中值定理（广义微分中值定理）柯西中值定理 如果函数及满足条件（1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导，且，则在区间内至少有一点，使等式成立说明 （1）公式中的是同一值，即（）；（2）当时，正是拉氏中值公式；三个定理联系，罗尔定理拉氏定理柯西定理作业 习题4.1第二节 洛必达法则（2课时）

4、要求：知道洛必达法则成立的条件，能熟练的用洛必达法则求求各种不定式的极限。重点：利用罗比塔法则求未定式的极限。难点：利用罗比塔法则求幂指函数的极限。一、不定式依照极限运算法则求某些函数的极限时，常会遇到几种奇怪的现象 ，,，这些都称为不定式或未定式，究竟这种极限是否存在？如何计算这些极限呢？下面介绍的洛必达法则就是求基本不定式“”极限的一个简单方法它的理论依据是柯西中值定理二、基本不定式1“”型不定式定理1 若函数满足下列条件（1）； （2）在点的某空心邻域内、存在，且； （3）存在（或为无穷大）；则 (利用柯西中值定理 ，将函数与其导数联系起来)注意（1）使用洛必达法则时，要注意条件，首先必

5、是型的不定式，再极限存在或无穷大，若极限不存在或非无穷大，则不可以使用洛必达法则；（2）如果极限仍为型不定式，且满足定理条件，可继续使用洛必达法则例1求极限解注意 上式中的极限已不是不定式，不能对它再使用洛必达法则例2求极限 解（或=）例3求极限解=例4求极限解 = =注意（3）应用洛必达法则求极限，常与以前讲过的方法结合起来使用会更方便；（4）应用洛必达法则求极限过程中，极限存在且不为零的因子可分离出来，以便化简后面求解过程定理2 若函数满足下列条件 （1）； （2）当时，都存在，且； （3）存在（或为无穷大）；则 = （证明时令，则时，应用定理1即可证）例5求极限解=12型不定式定理3 若

6、函数满足下列条件（1）， ； （2）当时，都存在，且； （3）存在（或为无穷大）；则 = 说明 定理3对时仍成立求两个基本极限例6求基本极限 （）解=0例7求基本极限（为自然数，）解= =0利用上面的结果易知，当时，函数的速度一个比一个大练习：1；2；3；例8求极限解 这是一个型不定式，但如果使用洛必达法则，会得到=（不存在）的结果而实际上=1例9求解这将会陷入无休止的循环中去，所以该题不能使用洛必达法则，可以如下做法，=注意（5）虽然有些极限是或型，但不能用洛必达法则，为什么？三、其它五种不定式其它五种不定式为“，”（1）若为型不定式，则或；例10求极限 （）解这种是将下放，注意一般对数函数

7、、反三角函数不下放（2）若为型不定式，则一般把合并成一个分式，这分式就是或型不定式；例11求极限解=（3）若是，三种不定式，则 =为型不定式例12求极限（型）解= =1例13求极限（型）解= =1例14求极限（型）解=特别强调 洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用，如能化简时应尽量化简，能用等价无穷小代换或重要极限应尽可能应用，这样可使运算简捷例15求极限解= =注意（7）对于数列极限，若用洛必达法则必须化为相应函数后，再用该法则求极限例16作业 习题4.2第三节 函数的极值及其求法（2课时）要求：熟练掌握用导数研究函数的极值。重点：用导数求函数的极值。难

8、点：解决实际问题的极值。一、极值的概念定义 设函数在区间内有定义，是内的一个点如果存在着点的一个去心邻域，对该邻域内的任何，均有成立，就称是函数的一个极大值；如果存在着点的一个去心邻域，对该领域内的任何，均有均成立，就称是函数的一个极小值说明 （1）极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点如 函数，由上节知道，极大值，极小值，极值点为； （2）极大值、极小值是局部性的，极大值不一定比极小值大；（3）从图中可看到，在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的二、函数取得极值的必要和充分条件定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在点处取得极值，那么函数在点处的导数为零，即 说明 （1）导数

9、为零的点（即方程的实根）称为函数的驻点由定理1可知，可导函数的极值点就是驻点；反之，驻点不一定是极值点如函数在怎样？（2）定理1虽没有提供判别极值的方法，但却把求可导函数的极值点的路径给出，即从中找，找出的这些点后，还需加以判别是否为极值点，是极大值还是极小值下面定理2和定理3是关于极值的两个判别法定理2（第一充分条件）设函数在点的某个邻域内可导，且（1）如果当取左侧邻近的值时，导数恒为正；当取右侧邻近的值时，导数恒为负，那么函数在点处取得极大值；（2）如果当取左侧邻近的值时，导数恒为负；当取右侧邻近的值时，导数恒为正，那么函数在点处取得极小值； （3）如果当取左右两侧邻近的值时，导数恒为正或

10、恒为负，那么函数在点处没有极值例1求函数的极值解 （1）函数的定义域是，导数为 ， （2）令，得，（3）列表如下符号极大值10极小值应用定理2判别极值的步骤如下，（1）求出函数的定义域，及导数；（2）求出函数的全部驻点（即求出方程在所讨论的区间内的全部实根）；（3）用这些点将函数的定义域分成若干小区间，考查在各点两侧导数的符号，根据定理2判别该点是否有极值点，是极大值点还是极小值点；（4）求出各极值点的函数值，就得的全部极值例2求函数的极值解 （1）函数的定义域为，导数为 ， （2）令，得， （3）列表如下（）()不存在0极大值0极小值注意：完整地说，若点是函数的极值点，那么点不是驻点就是导数

11、不存在的点如果函数存在二阶导数，那末函数的极值可以用二阶导数符号判别定理3（第二充分条件）. 设函数在点处具有二阶导数，且，那么（1）当时，函数在点处取得极大值； （2）当时，函数在点处取得极小值；注意 （1）当，不能用此判别点是否为极值点； （2）用该判别法判别时，不要遗漏的点，须用定理2判别例3求函数的极值解 函数的定义域为，导数为 ，,令得，驻点，因为,所以函数在点处有极小值，由因为，定理3失效，所以用定理2判别这两点不是极值点最后检查函数无导数不存在的点作业 习题4.3第四节 函数的最值（1课时）要求：明确函数极值与最值区别，会求简单实际问题的最大值与最小值。重点：解决实际问题的最值。

12、难点：求实际问题最值中建立模型。问题提出 在一定条件下，怎样使产品最多、用料最省、成本最低、效率最高等问题，这类问题在数学上有时可归纳为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题一求最值的一般方法把函数的驻点及导数不存在的点连同端点的函数值求出来，即、进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值例1求函数在闭区间上的最值解 由§5知当时，；时不存在，所以经过比较得到最大值为，最小值为例2设函数，问等于多少时，的值最小，并求最小值 解 由导数，得因为，所以为函数的极小值点，即有极小值又因为函数在开区间内只有一个极小值，故为最小值二最优化问题建立模型：建立拉格朗日函数及相应的区间；利

13、用求最值的方法求出函数的最值例3铁路线上AB段的距离为，工厂距离A处为，AC垂直于AB，为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路，已知铁路每公里货运的费用与公路上每公里的运费之比为，为使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？ 解 1）建立模型总费用与D的选择有关，设，总费用与有关，因为 ，由于铁路运费与公路运费之比为，因此不妨设铁路运费为，公路运费为（为某整数），则从点到点需总运费=（），2）现在问题归结为在闭区间上取何值时目标函数的值最小，因为，令，解方程得又由于，经过比较可得，为最小值，因此当时，总费用最省说明在实际问题中，根据实际问题性质可以判定可导函数确有

14、最值，而且一定在区间内部取得，若只有一个根，那么不必讨论是否为极值，就可判定为最值作业 习题4.4第五节 曲线的凹凸性与拐点（1课时）要求：会用导数研究函数图形的凹凸性和拐点。会求函数图形的水平与垂直渐近线，会利用导数作函数的图形。重点：曲线的凹凸性与拐点，函数的作图。难点：复杂函数的作图。问题提出 前面已经研究了函数的单调性与极值，这对于描绘函数的图形有很大的作用，但仅仅知道这些还不能比较准确地描绘函数的图形，例如见图中有两条曲线弧，虽然它们都是单调递增的，但图形却有显著的不同曲线是向上凸的曲线， 曲线是向下凸的曲线，它们的凹凸性不同，下面来研究曲线凹凸性及判别法一、凹凸性的概念及判别法定义

15、 设函数在区间I上连续，（1）如果对区间I上任意两点，恒有 成立，则称函数在区间I上的图形是凹的（或凹弧）；（2）如果对区间I上任意两点，恒有成立，则称函数在区间I上的图形是凸的（或凸弧）如 正弦函数在区间上为凸的，在区间上为凹的，问题：如何判别函数的凹凸性？如果用定义判别太繁琐，由图形判别，一般用描点法不能准确的画出函数的图形，所以用函数二阶导数的符号判别，由图中容易看出：当导数单调增加时，曲线是凹的；当导数单调减少时，曲线是凸的，那么这种情况是否具有一般性？下面给出判别定理定理 设函数在区间上连续，在内具有一阶和二阶导数， （1）若当时，二阶导数，则函数在上的图形是凹的； （2）若当时，二

16、阶导数，则函数在上的图形是凸的；例1判别曲线的凹凸性解 因为，,所以，当时，在区间内的图形为凹的；当时，在区间内的图形为凸的；在本例中，点是曲线凹与凸的分界点拐点二、曲线的拐点连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点讨论曲线凹与凸及拐点，相当于讨论导函数的单调性及极值因此，如果函数在区间内具有二阶导数，我们就可以按下列步骤来判定曲线的拐点：（1）求出二阶导数；（2）令，解出这个方程在区间内的实根；（3）对每一个点，检查二阶导数在点左、右两侧符号（，若在两侧符号相反时，点是拐点；若在两侧符号相同时，点不是拐点例2求函数的凹凸区间及拐点解 因为， ， 令，得，当时，不存在列表如下，（）（）不存在凹凸性与拐点凸