第四描述图的曲率

1、第四讲 图形描绘 曲率授课题目：§3.6函数图形的描绘§3.7曲率教学目的与要求：1.掌握函数作图的方法和步骤，会描绘简单函数的图形2.了解并会计算曲率及曲率半径教学重点与难点：重点：曲率及曲率半径的定义难点：曲率及曲率半径的应用讲授内容： 一、函数图形的描绘将前面关于函数性态讨论的结果应用到函数的作图上，可以把函数的图形画得比较准确 利用导数描绘函数图形的一般步骤如下； 第一步 确定函数的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等）； 第二步 求和及和的根或和不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间； 第三步 根据和符号，确定函数图形的升降和凹凸，极值点

2、和拐点；第四步 找水平渐近线 或铅直渐近线 或第五步 找特殊点（与坐标轴交点、的间断点、极值点、拐点），有时还需要补充一些点.例1 画出函数的图形解 (1)定义域为()， ，的零点为、1； 的零点为，(2)将点，1由小到大排列，依次把定义域()划分成下列四个部分区间： ()， (3)列表如下：（）（）（）1（）+00+0+的图形极大拐点极大 (4) 当时，；当时，；(5) 算出处的函数值： （），（），（）. 适当补充一些点如计算出 ，就可补充描出点（），点（0，1）和点（）.结合（3）、（4）中得到的结果，画出的图形（图4）.图4例5 描绘函数的图形解(1)定义域为（）.(2)是偶函数，只讨

3、论上该函数的图形（3） ，令 ； . 令 列表：0（0，1）1（）00+的图形极大拐点(4)由于，所以图形有一条水平渐近线(5)算出，又，得函数图形上的三点，和.画出函数在上的图形最后，利用图形的对称性，便可得到函数在上的图形(图5) 图5二、弧微分 作为曲率的预备知识，先介绍弧微分的撅念 设函数在区间()内具有连续导数在曲线上取固定点作为度量弧长的基点(图1)，并规定依增大的方向作为曲线的正向对曲线上任一点，规定有向弧段的值(简称为弧)如下：的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的正向一致时，相反时显然，弧是的函数：，而且是的单调增加函数下面来求的导数及微分图1 设为()内两个邻近

4、的点它们在曲线上的对应点为(图320)，并设对应于的增量，弧的增量为那末.于是 ， .令取极限，由于时，这时弧的长度与弦的长度之比的极限等于1，即，又，因此得由于是单调增加函数，从而根号前应取正号，于是有 这就是弧微分公式三、曲率及其计算公式 我们直觉地认识到；直线不弯曲，半径较小的圆弯曲得比半径较大的圆厉害些，而其他曲线的不同部分有不同的弯曲程度，例如抛物线在顶点附近弯曲得比远离顶点的部分厉害些 在工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度例如，船体结构中的钢梁，机床的转轴等，它们在荷载作用下要产生弯曲变形，在设计时对它们的弯曲必须有一定的限制，这就要定量地研究它们的弯曲程度为此首先要讨论如何用

5、数量来描述曲线的弯曲程度 在图2中可以看出，弧段比较平直，当动点沿这段弧从移动到时，切线转过的角度不大，而弧段，弯曲得比较厉害，角就比较大图2图3 但是，切线转过的角度的大小还不能完全反映曲线弯曲的程度例如，从图3中可以看出，两段曲线及尽管切线转过的角度都是，然而弯曲程度并不相同，短弧段比长弧段弯曲得厉害些由此可见，曲线弧的弯曲程度还与弧段的长度有关 按上面的分析，我们引入描述曲线弯曲程度的曲率概念如下图4 设曲线C是光滑，在曲线C上选定一点作为度量弧的基点设曲线上点M对应于弧，在点M处切线的倾角为(这里假定曲线C所在的平面上已设立了坐标系)，曲线上另外一点对应于弧，在点处切线的倾角为(图4)

6、，那未，弧段的长度为，当动点从M移动到时切线转过的角度为我们用比值，即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度，把这比值叫做弧段的平均曲率、并记作，即.类似于从平均速度引进瞬时速度的方法，当时(即时)，上述平均曲率的极限叫做曲线C在点M处的曲率，记作K，即.在存在的条件下，K也可以表示为 . (2) 对于直线来说切线与直线本身重合当点沿直线移动时，切线的倾角不变(图5)，而从而，这就是说，直线上任意点M处的曲率都等于零，这与我们直觉认识到的“直线不弯曲”一致图5图6设圆的半径为由图6可见在点M、处圆的切线所夹的角等于中心角但，于是,从而.因为点M是圆上任意取定的点，上述结论表示圆

7、上各点处的曲率都等于半径r的倒数，这就是说，圆的弯曲程度到处一样，且半径越小曲率越大，即圆弯曲得越厉害 在一般情况下，我们根据(2)式来导出便于实际计算曲率的公式设曲线的直角坐标方程是，且具有二阶导数(这时连续，从而曲线是光滑的)因为，所以 ， ，于是 .又由(1)知道 .从而，根据曲率K的表达式(2)，有 (3)设曲线由参数方程,给出，则可利用由参数方程所确定的函数的求导法,求出及，代入（3）便得 （4）例1 计算等边双曲线在点(1，1)处的曲率解 由得 .因此， 把它们代人公式(3)，便得曲线在点(1，1)处的曲率为 .例2 抛物线上哪一点处的曲率最大?解 由，得 ，代人公式(3)，得 .

8、因为K的分子是常数，所以只要分母最小，K就最大容易看出，当，即时，K的分母最小，因而K有最大值而所对应的点为抛物线的顶点因此，抛物线在原点处的曲率最大在有些实际问题中，同1比较起来是很小的（有的工程书上把这种关系记成<<1，可以忽略不计这时，由 ，而有曲率的近似计算公式 .这就是说，当时，曲率K近似于.经过这样简化后，对一些复杂问题的计算和讨论就方便多了四、曲率圆与曲率半径 设曲线在点M()处的曲率为K().在点M处的曲线的法线上，在凹的一侧取点D，使.以D为圆心为半径作圆(图7)，这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆，曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心，曲率圆的半径做曲线在点M处

9、的曲率半径图7按上述规定可知，曲率圆与曲线在点M有相同的切线和曲率，且在点M邻近有相同的凹向因此，在实际问题中，常常用曲率圆在点M邻近的段圆弧来近似代替曲线弧，以使问题简化按上述规定，曲线在点M处的曲率与曲线在点M处的曲率半径有如下关系： .这就是说；曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为例数例3 没工件内表面的截线为抛物线(图8)现在要用砂轮磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适？图8解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于曲线上各点处曲率半径中的最小值由本节例2知道，抛物线在其顶点处的曲率最大，也就是说，抛物线在其顶点处的曲率半径最小因此，只要求出抛物线在顶点O(0，0)处的曲率半径由 ，而有 把它们