第三章离散傅里叶变换

1、第三章 离散傅里叶变换（DFT）教学目的要求l 离散傅里叶变换的定义；l 离散傅里叶变换的性质；l 离散傅里叶变换与傅里叶级数、Z和傅里叶变换之间的关系；l 频域采样定理；l DFT的应用。教学重点和难点重点：离散傅里叶变换的定义，离散傅里叶变换与傅里叶级数、Z和傅里叶变换之间的关系，频域采样定理，用DFT对连续信号进行谱分析。难点：离散傅里叶变换与傅里叶级数、Z和傅里叶变换之间的关系，频域采样定理。引言傅里叶变换，z变换是数字信号中常用的数学变换。对于有限长序列，有种更为重要的数学变换：离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform,简称DFT）。其之所以重要：（1）开

2、辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域中进行，增强了它的灵活性；（2）DFT有快速算法，称之为FFT，从而使信号的实时处理和设备的简化得到实现；（3）时域离散系统的研究和应用在许多方面取代了传统的连续时间系统。3.1 离散傅里叶变换的定义1、DFT的定义设是一个长度为M的有限长序列，定义的N点离散傅里叶变换为，的离散傅里叶逆变换IDFT(Inverse Discrete Fourier Transform)为：式中，N为DFT变换区间长度，。（1）DFT导出图形解释从图3-1说明DFT的导出过程，帮助我们理解DFT的周期延拓特性，该图不但概括前面的四种变换（FT，FS，DIFT和DFS

3、），而且涉及了时域、频域抽象的概念。（2）周期序列的傅里叶级数设是以N为周期的序列，可展开成傅里叶级数为：其中，为傅里叶级数的系数，表达式为：因为以N为周期、以N为周期，所以也是以N为周期，有，L为整数，令。定义离散傅里叶级数，用DFS表示DFS变换对： 周期序列可以看成是对的一个周期作z变换，将z变换在z平面单位圆上按等间隔抽样得到。数学表示为：tTp0FTtnDTFTtTpX(k)kx(n)nDFS 图3-1 DFT的图形解释2、DFT与z变换的关系设序列的长度为N，其z变换和DFT分别为：比较上面两式可得：()或 ()物理意义：l 式表明序列的N点DFT是的z变换在单位圆上的N点等间隔采

4、样。l 式表明的N点DFT是的FT变换在区间上的N点等间隔采样。显而易见，DFT的变换区间不同（N）表示对在区间上的采样间隔和采样次数不同，所以DFT变换结果不同，如图3-2所示。图3-2与的关系3、DFT的隐含周期性（1）在前面定义的变换对中，和均为有限长序列，但由于为周期性，使此变换对中的隐含周期性，且周期为N。（2）证明的周期为N对于任意整数m,总有，k,m,N均为整数同理可证前面我们也知道。周期为N的周期序列可以看作是序列的周期延拓，即：记，式中表示以N为周期的周期延拓序列，表示n对N求余。例：若，M为整数，则=。结论：有限长序列的离散傅里叶变换，正好是的周期延拓序列的离散傅里叶级数系

5、数的主值序列，即3.2 离散傅里叶变换的基本性质1、线性性质如果和是两个有限长度序列，长度分别为，且式中a,b为常数，取，则的N点DFT为其中和分别为和的N点DFT。2、循环移位性质（1）序列的循环移位设为有限长序列，长度为N,则的 循环移位定义为上式表明：先将以N为周期进行周期延拓；然后将左移m位得到；最后取的主值序列则得到。图3-3循环移位过程示意图（2）.时域循环移位定理设是长度N的有限长序列，是的循环移位，则其中是的DFT，证明：令，则由于上式求和项以N为周期，所以对任一周期上求和结果相同。则：（3）频域循环移位定理 如果，则（证明见481）。证明类似于时域循环移动定理。3、循环卷积已

6、知若则： 证明见循环卷积的过程：基本步骤：将，变换成，如图3-4(a)所示。取主值反转周期延拓将称为的循环反转。对循环反转移位n，取主值或对循环移位n。分别取n=0,1,2,N-1将与 对应项相乘再相加得到。最终结果如图(h)所示2(a)n,m310(b)123n,m-26521-3N=4(c)mm32n=0(d)m30n=1(e)m10n=2(f)2m1n=3(g)232m1(h)1 图44、复共轭序列的DFT设是的复共轭序列，长度为N，则(3-1)且。证明：根据DFT的唯一性，只要证明（3-1）式右边等于左边即可。又由的隐含周期性有 。同理可证 。5、DFT的共轭对称性（1）FT的共轭对称

7、性(关于n=0对称)，（2）DFT中的，均为有限长序列，长度为N对称性为关于点对称。定义有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列：有限长共轭反对称序列：例共轭对称 共轭反对称序列 图5 共轭对称与共轭反对称序列示意图任何有限长序列都可以表示成共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即.(3-2) 对（3-2）式n换成N-n，并取复共轭得(3-3)联立（3-2），（3-3）可得：任何序列也可以表示实部和虚部(3-4)其中 (3-5)(3-6)（3）DFT的共轭对称性对（3-4）进行DFT得：(3-7)对（3-5）进行DFT得：.(3-8)对（3-6）进行DFT得(3-9)结论：由（3-7）

8、，（3-8），（3-9）可得其中 任何序列可以表示为共轭对称和共轭反对称分量： (3-10)(3-11)(3-12)对(3-10)进行DFT得对(3-11)进行DFT得对(3-12)进行DFT得结论:其中是长度为N的实序列，且，则共轭对称，即若，则实偶对称，即若，则实奇对称，即利用DFT的对称性质，可减少DFT运算量，提高运算效率。3.3 频域采样定理1、引言（1）时域定理：在情况下，可以完全不失真的情况下由离散信号恢复连续时间信号，能否由频域离散采样恢复原频率函数？其条件是什么？内插函数是什么？（2）是和的采样与关系 (1)将看作长度为N的有限长序列的DFT，即（3）推导与原序列之间关系，从

9、而导出频域采样定理DFTDFSDFT与DFS之间的关系，； l 其中(2)将（1）代入（2）得：由于所以因此(3)式(3)说明：在单位圆上的N点采样的IDFT(即)，为原序列以N为周期的周期延拓序列的主值序列。（4）频域抽样造成时域的周期延拓，因此若是无限序列，则时域周期延拓造成混叠现象，并产生误差。随着N的增加，误差则减少。若是有限长序列，点数为M，则当对频域的采样点数时，以N为周期进行延拓，就会造成混叠，不能不失真完全恢复。 若是有限长序列，点数为M，当时，可由完全恢复这就是频域采样定理。2、用表示 (1) (2)将式(2)代入式(1)得：式中，因此令(3)则(4)式（4）称为用表示的内插

10、公式，称为内插函数。当时，（3）式和（4）式就成为的傅里叶变换的内插函数和内插公式，即进一步化简得：在数字滤波器的结构和设计中，将会看到频域采样理论及有关公式可提供一种有用的滤波器结构和滤波器设计途径。3.4 DFT的应用举例DFT快速算法FFT的出现，使DFT在数字通信、语音处理、图象处理、 功率谱估计、仿真、系统分析等各个领域都有广泛的应用。各种应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依据或以DFT作为连续傅里叶变换的近似为基础（FT）。只要掌握了这两种基本应用原理，就为用DFT解决数字滤波器和系统分析等问题打下了基础。1、用DFT计算线性卷积（1）循环卷积（2）时域循环卷积定理若则时域卷积

11、定理有：DFTIDFTDFT 图3-6用DFT计算循环卷积（3）时域卷积的计算方法（循环卷积）在时域里直接计算；可以按图3-6所示计算：(因为有FFT，当N很大时，速度提高很多)（4）利用DFT计算线性卷积导出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等条件线性卷积和循环卷积之间的关系设和都是有限长序列，长度分别为N和M,.(1)其中，所以对照式（1），即(2)和相等的条件式（2）说明等于以L为周期的周期延拓序列的主值序列，由前面可知的长度为。因此，只有当循环卷积长度时，以L为周期进行延拓无混叠现象。主值序列显然满足。取，则可用DFT（FFT）计算线性卷积，如图7所示补L-N个零点L

12、点DFT+IDFT y(n)补L-M个零点L点DFT 图7 用DFT计算线性卷积长序列卷积计算（不讲），见书2、用DFT对信号进行谱分析谱分析是计算信号的傅里叶变换连续信号的傅里叶分析不便于计算机进行计算，使其应用受到限制，而DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值计算。（1） 对连续时间、非周期信号的傅里叶变换的DFT逼近（即用DFT对连续时间非周期信号进行谱分析）的傅里叶变换对：用DFT方法计算这一对变换的方法（谱分析）如下：时域有限频域无限时域无限频域有限计算：将在t轴上等间隔（T）分段，每一段用一个矩形脉冲代替，脉冲幅度为，然后到矩形脉冲相加。由于因此的近似值为：(3)将序列截成

13、从开始长度为的有限长序列，含N个抽样点，则（3）式写为：(4)由于时域采样，采样频率为，则频域产生以为周期的周期延拓。为了数值计算，频域上进行数字化，即将频域上一个周期（）分成N段，F为每个采样点间的间隔，即频率采样间隔。计算 频域采样（离散），时域就得到原截断离散时间序列的周期延拓，其周期为，这时各参量之间的关系为：则综上各步，时域，频域都是离散化。因为，并将其代入式（3）可得：(5)由（2）式可得：(6)式（5），（6）是求连续和的方法3、利用DFT对非周期连续信号傅里叶变换对的全过程抽样卷积周期延拓周期延拓截短抽样DFTDFSDTFTDTFTFT周期延拓4、利用DFT计算连续信号谱分析可

14、能出现的问题（1）频域响应混叠失真及参数选择对连续信号先进行采样，变成离散信号才能用DFT（FFT）进行谱分析，采样频率满足采样定理，否则会在附近发生混叠现象，因此，理论上（为连续信号的最高频率）实际上取应满足，对确定后，一般在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率的频率分量，以免发生混叠。若信号最高频率，按抽样定理，抽样前对高于的信号进行滤波一般取。频域分辨率F（即频域的采样间隔）N不变，F减小减小引起谱分析范围减小不变，F减小N增加，又因增加因此，和N可按下面两式选择例1 有一频谱分析用FFT处理器，抽样点数为2的幂，假定没有采用任何特殊的数据处理，已给条件为频率分辨率信号的最高频率求：最小记录长度抽样点的最大间隔T在一个记录中最小点数N解： 取（2）频域泄