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文档简介
1、课时作业(五十六)1设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y22px(p>0)上的两点,并且满足OAOB,则y1y2等于()A4p2B3p2C2p2Dp2答案A解析OAOB,·0.x1x2y1y20.A、B都在抛物线上,代入得·y1y20,解得y1y24p2.2抛物线yax2与直线ykxb(k0)交于A,B两点,且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有()Ax3x1x2Bx1x2x1x3x2x3Cx1x2x30 Dx1x2x2x3x3x10答案B解析由方程组得ax2kxb0,可知x1x2,x1x2,x3,代入各项验证即可得B正确,故
2、选B.3已知A,B,C三点在曲线y上,其横坐标依次为1,m,4(1<m<4),当ABC的面积最大时,m等于()A3 B.C.D.答案B解析由题意知A(1,1),B(m,),C(4,2)直线AC所在的方程为x3y20,点B到该直线的距离为d.SABC|AC|·d××|m32|()2|.m(1,4),当时,SABC有最大值,此时m.故选B.4过抛物线y22px(p>0)上一定点M(x0,y0)(y00),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2),当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时,则等于()A2 B2C4 D4答案A解析kMA(y
3、0y1),同理:kMB.由题意:kMAkMB,y1y0(y2y0),y1y22y0,2,故选A.5已知P为抛物线y24x上一个动点,Q为圆x2(y4)21上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是()A5 B8C.1 D.2答案C解析抛物线y24x的焦点为F(1,0),圆x2(y4)21的圆心为C(0,4),设点P到抛物线的准线的距离为d,根据抛物线的定义有d|PF|,|PQ|d|PQ|PF|(|PC|1)|PF|CF|11.6.(2012·东北三校)已知曲线C1的方程为x21(x0,y0),圆C2的方程为(x3)2y21,斜率为k(k>0)的直线
4、l与圆C2相切,切点为A,直线l与曲线C1相交于点B,|AB|,则直线AB的斜率为()A.B.C1 D.答案A解析设B(a,b),则由题意可得解得则直线AB的方程为yk(x1),故1.k,或k(舍去)7已知点M是抛物线y24x上的一点,F为抛物线的焦点,A在圆C:(x4)2(y1)21上,则|MA|MF|的最小值为_答案4解析依题意得|MA|MF|(|MC|1)|MF|(|MC|MF|)1,由抛物线的定义知|MF|等于点M到抛物线的准线x1的距离,结合图形不难得知,|MC|MF|的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线x1的距离,即为5,因此所求的最小值为4.8若抛物线y24x的焦点为F,过
5、F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,动点P在曲线y24x(y0)上,则PAB的面积的最小值为_答案2解析由题意,得F(1,0),直线AB的方程为yx1.由,得x26x10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x26,x1x21,|AB|·8.设P(,y0),则点P到直线AB的距离为,PAB的面积S2,即PAB的面积的最小值是2.9(2012·海淀期末)已知点M(1,y)在抛物线C:y22px(p>0)上,M点到抛物线C的焦点F的距离为2,直线l:yxb与抛物线C交于A,B两点(1)求抛物线C的方程;(2)若以AB为直径的圆与x轴相切,求该圆的方程;(3)若
6、直线l与y轴负半轴相交,求AOB面积的最大值解析(1)抛物线y22px(p>0)的准线为x,由抛物线定义和已知条件可知|MF|1()12,解得p2,故所求抛物线方程为y24x.(2)解法一联立消去x并化简整理得y28y8b0.依题意应有6432b>0,解得b>2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y28,y1y28b.设圆心Q(x0,y0),则应有x0,y04.因为以AB为直径的圆与x轴相切,得到圆的半径为r|y0|4,又|AB|所以|AB|2r8.解得b.所以x1x22b2y12b2y24b16.所以圆心坐标为(,4)故所求圆的方程为(x)2(y4)216.解法二
7、联立消去y并化简整理得x2(4b16)x4b20.依题意应有16(b4)216b2>0,解得b>2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x24b16,x1x24b2.设圆心Q(x0,y0),则应有x0,y04,因为以AB为直径的圆与x轴相切,得到圆的半径为r|y0|4.又|AB|,又|AB|2r8,所以有8.解得b.所以x1x2.所以圆心坐标为(,4)故所求圆的方程为(x)2(y4)216.(3)因为直线l与y轴负半轴相交,所以b<0.又l与抛物线C交于两点,由(2)知b>2,所以2<b<0.直线l:yxb整理得x2y2b0.点O到直线l的距离d,所
8、以SAOB·|AB|d4·.令g(b)b32b2,2<b<0,g(b)3b24b3b(b),当b变化时,g(b)、g(b)的变化情况如下表:b(2,)(,0)g(b)0g(b)极大由上表可得g(b)的最大值为g().所以当b时,AOB的面积取得最大值.10(2011·山东理)已知动直线l与椭圆C:1交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点,且OPQ的面积SOPQ,其中O为坐标原点(1)证明:xx和yy均为定值;(2)设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值(3)椭圆C上是否存在三点D,E,G,使得SODESODGSOEG?若存
9、在,判断DEG的形状;若不存在,请说明理由解析(1)当直线l的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称,所以x2x1,y2y1.因为P(x1,y1)在椭圆上,因此1,又因为SOPQ,所以|x1|·|y1|.由、得|x1|,|y1|1,此时xx3,yy2.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为ykxm,由题意知m0,将其代入1得(23k2)x26kmx3(m22)0,其中36k2m212(23k2)(m22)>0,即3k22>m2,(*)又x1x2,x1x2,所以|PQ|··.因为点O到直线l的距离为d,所以SOPQ|PQ|·d·
10、3;,又SOPQ,整理得3k222m2,且符合(*)式,此时,xx(x1x2)22x1x2()22×3,yy(3x)(3x)4(xx)2.综上所述,xx3,yy2,结论成立(2)解法一当直线l的斜率不存在时,由(1)知|OM|x1|,|PQ|2|y1|2,因此|OM|·|PQ|×2.当直线l的斜率存在时,由(1)知:,k()mm,|OM|2()2()2(3),|PQ|2(1k2)2(2),所以|OM|2·|PQ|2×(3)×2×(2)(3)(2)()2.所以|OM|·|PQ|,当且仅当32,即m±时,等号
11、成立综合得|OM|·|PQ|的最大值为.解法二因为4|OM|2|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2(x2x1)2(y2y1)22(xx)(yy)10.所以2|OM|·|PQ|5.即|OM|·|PQ|,当且仅当2|OM|PQ|时等号成立因此|OM|·|PQ|的最大值为.(3)椭圆C上不存在三点D,E,G,使得SODESODGSOEG.假设存在D(u,v),E(x1,y1),G(x2,y2)满足SODESODGSOEG,由(1)得u2x3,u2x3,xx3,v2y2,v2y2,yy2,解得u2xx;v2yy1.因此u,x1,x2只能从±中选取,v
12、,y1,y2只能从±1中选取,因此D,E,G只能在(±,±1)这四点中选取三个不同点,而这三点的两两连线中必有一条过原点,与SODESODGSOEG矛盾,所以椭圆C上不存在满足条件的三点D,E,G.1(2012·福建厦门质检)定义一个法则f:(m,n)(m,)(n0),在法则f的作用下,点P(m,n)对应点P(m,)现有A(1,2),B(1,0)两点,当点P在线段AB上运动时,其对应点P的轨迹为G,则轨迹G与线段AB公共点的个数为()A0 B1C2 D3答案C解析点P的轨迹方程为xy1(1x1),设P(x,y),则对应的点P(x,y2),代入上式,可得P
13、(x,y)的轨迹方程为y2x1,则轨迹G与线段AB交于(1,0),(0,1)两点2(2012·郑州质检)已知圆C:(x)2y216,点N(,0),Q是圆上一动点,NQ的垂直平分线交CQ于点M,设点M的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程;(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A、B,AOB(O是坐标原点)的面积S,求直线AB的方程解析(1)由题意得|MC|MN|MC|MQ|CQ|4>2,所以轨迹E是以N,C为焦点,长轴长为4的椭圆,即轨迹E的方程为y21.(2)记A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,直线AB的斜率不可能为0,故可设直线AB的方程为:xmy1,由消
14、去x得(4m2)y22my30.所以S|OP|y1y2|.由S,解得m21,即m±1.故直线AB的方程为x±y1,即xy10或xy10为所求3(2012·合肥质检)已知抛物线y24x,过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点,且直线l与x轴交于点C.(1)求证:|MA|,|MC|,|MB|成等比数列;(2)设,试问,是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由解析(1)由题意知,直线l的斜率存在,可设直线l的方程为:ykx2(k0),联立方程可得得:k2x2(4k4)x40.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(,0),则x1x2,x1·x
15、2.|MA|·|MB|x10|·|x20|(1k2)·|x1x2|,而|MC|2(|0)2,|MC|2|MA|·|MB|,即|MA|,|MC|,|MB|成等比数列(2)由,得,(x1,y12)(x1,y1),(x2,y22)(x2,y2),即得:,.得.由(1)中代入得1,故为定值且定值为1.4(2012·江西南昌)已知双曲线1(b>a>0),O为坐标原点,离心率e2,点M(,)在双曲线上(1)求双曲线的方程;(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点,且·0.求|OP|2|OQ|2的最小值解析(1)e2,c2a,b2c2a23
16、a2,双曲线方程为1,即3x2y23a2.点M(,)在双曲线上,1533a2.a24.所求双曲线的方程为3x2y212.(2)设直线OP的方程为ykx(k0),联立3x2y212,得|OP|2x2y2.则OQ的方程为yx,有|OQ|2,.设|OP|2|OQ|2t,则t()2()2()2224,t24.即|OP|2|OQ|224(当且仅当|OP|OQ|2时取等号)当|OP|OQ|2时,|OP|2|OQ|2有最小值24.5(2011·广东文)在平面直角坐标系xOy中,直线l:x2交x轴于点A.设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足MPOAOP.(1)当点P在l上运动时,求
17、点M的轨迹E的方程;(2)已知T(1,1)设H是E上动点,求|HO|HT|的最小值,并给出此时点H的坐标;(3)过点T(1,1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线l1的斜率k的取值范围解析(1)如图1可得直线l:x2与x轴交于点A(2,0),设P(2,m),当m0时,点P与点A重合,这时OP的垂直平分线为x1,由AOPMPO0°,得M(1,0),当m0时,设M(x0,y0),()若x0>1,由MPOAOP得MPOA,有y0m,又kOP,OP的中点为(1,),OP的垂直平分线为y(x1),而点M在OP的垂直平分线上,y0(x01),又my0,于是y0(
18、x01),即y4(x01)(x0>1)()若x0<1,如图1,由MPOAOP得点M为OP的垂直平分线与x轴的交点,在y(x1)中,令y0,有x1<1,即M(1,0),点M的轨迹E的方程为y24(x1)(x1)和y0(x<1)(2)由(1)知轨迹E为抛物线y24(x1)(x1)与射线y0(x<1),而抛物线y24(x1)(x1)的顶点为B(1,0),焦点为O(0,0),准线为x2,当点H在抛物线y24(x1)(x1)上时,作HG垂直于准线x2于点G,由抛物线的定义得|HO|HG|,则|HO|HT|HT|HG|,作TF垂直于准线x2于点F,则|HT|HG|TF|,又T
19、(1,1),得|TF|3,在y24(x1)(x1)中,令y1得x,即当点H的坐标为(,1)时,|HO|HT|的最小值为3,当点H在射线y0(x<1)上时,|HO|HT|>|TF|,|HO|HT|的最小值为3,此时点H的坐标为(,1)(3)由(2)得kBT,由图2得当直线l1的斜率k或k>0时,直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点直线l1的斜率k的取值范围是(,(0,)6已知定点F(0,1)和直线l1:y1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q,交直线l1于点R,求·的最小值解(1)由题设点C到点
20、F的距离等于它到l1的距离,点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线所求轨迹的方程为x24y.(2)由题意直线l2的方程为ykx1,与抛物线方程联立消去y,得x24kx40.记P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1x24k,x1x24.直线PQ的斜率k0,易得点R的坐标为(,1),·(x1,y11)·(x2,y21)(x1)(x2)(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(2k)(x1x2)44(1k2)4k(2k)44(k2)8,k22,当且仅当k21时取到等号·4×2816,即·的最小值为16.7已知椭圆C:1(a>b>
21、0)以双曲线y21的焦点为顶点,其离心率与双曲线的离心率互为倒数(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C的左、右顶点分别为点A,B,点M是椭圆C上异于A,B的任意一点求证:直线MA,MB的斜率之积为定值;若直线MA,MB与直线x4分别交于点P,Q,求线段PQ长度的最小值解(1)易知双曲线y21的焦点为(2,0),(2,0),离心率为,则在椭圆C中a2,e,故在椭圆C中c,b1,所以椭圆C的方程为y21.(2)设M(x0,y0)(x0±2),由题易知A(2,0),B(2,0),则kMA,kMB,故kMA·kMB·,点M在椭圆C上,则y1,即y1(x4),故kMA
22、3;kMB,即直线MA,MB的斜率之积为定值解法一:设P(4,y1),Q(4,y2),则kMAkPA,kMBkBQ,由得·,即y1y23,当y1>0,y2<0时,|PQ|y1y2|22,当且仅当y1,y2时等号成立同理可得,当y1<0,y2>0时,当且仅当y1,y2时,|PQ|有最小值2.解法二:设直线MA的斜率为k,则直线MA的方程为yk(x2),从而P(4,6k),由知直线MB的斜率为,则直线MB的方程为y(x2),故得Q(4,),故|PQ|6k|2,当且仅当k±时等号成立,即|PQ|有最小值2.8如图所示,已知直线l:ykx2与抛物线C:x22
23、py(p>0)交于A,B两点,O为坐标原点,(4,12)(1)求直线l和抛物线C的方程;(2)抛物线上一动点P从A到B运动时,求ABP面积的最大值思路(1)根据根与系数关系和(4,12)列方程组,利用待定系数法求解;(2)线段AB的长度为定值,只要求点P到直线AB的最大值即可解析(1)由得x22pkx4p0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x22pk,y1y2k(x1x2)42pk24.因为(x1x2,y1y2)(2pk,2pk24)(4,12),所以解得所以直线l的方程为y2x2,抛物线C的方程为x22y.(2)解法一:设P(x0,y0),依题意,抛物线过点P的切线与l平行时,ABP的面积最大,yx,所以x02x02,y0x2,所以P(2,2)此时点P到直线l的距离d,由得x24x40,|AB|··4.ABP的面积最大值为8.解法二:由得x24x40,|AB|··4,设P(t,t2)(22<t<22),因为AB为定值,当点P到直线l的距离d最大时,ABP的面积最大,d,因为22<t<22,所以当t2时,dmax,此时P(2,2)ABP的
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