简单线性规划的应用

1、简单线性规划的应用张园和教学目标：1会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题； 2培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；教学重、难点：教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答教学难点：1建立数学模型把实际问题转化为线性规划问题；2寻找整点最优解的方法教学方法：讲练结合、分组讨论法教学过程：（一）讲解新课例1、医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元。若病人每餐至少需要35

2、单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养又使费用最省？解析：蛋白质(单位/10g)铁质(单位/10g)售价(元/10g)甲5103乙742设甲、乙两种原料分别用和，需要的费用为，病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为。同理，对铁质的要求可表示为。l0:3x+2y=05x+7y=3510x+4y=40A-2-264210642yxO问题成为：在约束条件下，求目标函数的最小值。作出可行域，令，作直线。由图可知，把直线平移至顶点时，取最小值。由，元。所以用甲种原料，乙种原料，费用最省。小结：简单线性规划应用问题的求解步骤：（教师示意学生观看板书，并给予适当的提示）1将已

3、知数据列成表格的形式(这一步可以省略)，设出变量x，y和z;2找出约束条件和目标函数;3作出可行域，并结合图象求出最优解; 4按题意作答例2、某厂生产一种产品，其成本为27元/，售价为50元/，生产中，每千克产品产生的污水，污水有两种排放方式：方式一：直接排入河流方式二：经厂内污水处理站处理后排入河流，但受污水处理站技术水平的限制，污水处理率只有，污水处理站最大处理能力是，处理污水的成本是5元/另外，环保部门对排入河流的污水收费标准是元/，且允许该厂排入河流中污水的最大量是，那么，该厂应选择怎样的生产与排污方案，可使其每净收益最大？分析：为了解决问题，首先要搞清楚是什么因素决定收益 净收益 =

4、 售出产品的收入生产费用 其中生产费用包括生产成本、污水处理、排污费等设该厂生产的产量为，直接排入河流的污水为，每小时净收益为元，则：（1）售出产品的收入为元/（2）产品成本为元/（3）污水产生量为，污水处理量为，污水处理费为元/（4）污水未处理率为，所以污水处理厂处理后的污水排放量为，环保部门要征收的排污费为元/（5）需要考虑的约束条件是：（1）污水处理能力是有限的，即（2）允许排入河流的污水量也是有限的即l0:20.708x-9.96y=00.3x-y=0.90.3x-y=09x+170y=453-11221yxO解析：根据题意，本问题可归纳为：在约束条件下，求目标函数的最大值作出可行域。

5、令，作直线，由图可知，平移直线，在可行域中的顶点处, 取得最大值。由故该厂生产该产品，直接排入河流的污水为时，可使每小时净收益最大，最大值为（元）答：该厂应安排生产该产品，直接排入河流的污水为时，其每小时净收益最大。例3、滨江校区高一(17)班举行元旦文艺晚会，布置会场要制作“中国结”，班长购买了甲、乙两种颜色不同的彩绳，把它们截成A、B、C三种规格甲种彩绳每根8元，乙种彩绳每根6元，已知每根彩绳可同时截得三种规格彩绳的根数如下表所示：A规格B规格C规格甲种彩绳211乙种彩绳123今需要A、B、C三种规格的彩绳各15、18、27根，问各截这两种彩绳多少根，可得所需三种规格彩绳且花费最少？分析：

6、将已知数据列成下表甲种彩绳乙种彩绳所需条数A规格2115B规格1218C规格1327单 价86解析：设需购买甲种彩绳x根、乙种彩绳y根，共花费z元，则，z=8x+6y在用图解法求解的过程中，学生发现：直线l最先经过可行域内的点A(3.6,7.8)并不是最优解,学生马上想到最优解可能是（4，8），引导学生计算花费，花费为80元，有没有更优的选择?进一步激发学生兴趣：可能是（3，9）吗? 此时花费为78元，可能是（2，10）吗？此时花费为76元，可能是，如何寻找最优解？满足题意的点是可行域内的整点，首先要找整点，引导学生采用打网格或利用坐标纸的方法；根据线性规划知识，平移直线l,最先经过的整点坐标

7、是整数最优解由网格法可得：当x=3，y=9时，zmin=78答：班长应购买3根甲种彩绳、9根乙种彩绳，可使花费最少。小结：确定最优整数解的方法：1若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）2若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线l、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解；这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范（二）课堂练习1已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿

8、运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?解析：设甲煤矿向东车站运万吨煤，乙煤矿向东车站运万吨煤，那么x=200y=300x+y=280x+y=140xyO总运费z=x+1.5(200x)+0.8y+1.6(300y)(万元) ，即z=7800.5x0.8y.x、y应满足：作出上面的不等式组所表示的平面区域，设直线x+y=280与y轴的交点为M，则M(0，280) ，把直线l：0.5x+0.8y=0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小。点M的坐标为(0，280)，

9、甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运280万吨向西车站运20万吨时，总运费最少。 2高一年级准备组织学生分批去师大新校区参观，每天至少要派送480名学生学校与某旅游公司联系客运，该公司有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人 已知每辆客车每天往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，能使总费用最少？解析：设每天派出小巴x辆、大巴y辆，总运费为z元，则 ，z=240x+180y由网格法可得：x=2，y=4时，zmin=1200答：派4辆小巴、2辆大巴费用最少（三）回顾与小结1把实际问题转化成线性规划问题即建立

10、数学模型的方法建模主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关。求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解2求解整点最优解的解法：网格法网格法主要依赖作图，要规范地作出精确图形 （四）布置作业1、P109页 B组第2题2、要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示： 规格类型钢管类型A规格B规格C规格甲种钢管214乙种钢管231Oxy4x+y=182x+2y=13x+3y=16今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少解析：设需截甲种钢管x根，乙种钢管y根，则作出可行域(如图)：目标函数为，作出一组平行直线中(t为参数)经过可行