简单的三角恒等变换

1、4-5简单的三角恒等变换基础巩固强化1.(文)已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为()A. BC. D答案C解析设该等腰三角形的顶角为，底角为，则有2，0<<，2cos21cos，sinsin()cos，故选C.(理)(2011·天津蓟县模拟)函数f(x)cos2xsinxcosx在区间，上的最大值为()A. B.C1 D.答案D解析f(x)sin2xsinx，2x，sin1，f(x)的最大值为.2(文)已知tan2，则sin2cos2的值是()A. B.C. D.答案B解析sin2cos2.(理)(2012·东北三省四市联考)若点P(co

2、s，sin)在直线y2x上，则sin22cos2()A BC2 D.答案C解析点P在直线y2x上，sin2cos，sin22cos22sincos2(2cos21)4cos24cos222.3(2012·大纲全国文)若函数f(x)sin(0,2)是偶函数，则()A. B.C. D.答案C解析本题考查了三角函数奇偶性，诱导公式由ysin是偶函数知k，即3k，又0,2，适合本题也可用偶函数定义求解4(2012·北京海淀期中练习)已知关于x的方程x2xcosA·cosB2sin20的两根之和等于两根之积的一半，则ABC一定是()A直角三角形 B等边三角形C等腰三角形 D

3、钝角三角形答案C解析由题意得，cosAcosB·2sin2cosA·cosB2cosA·cosB1cos(AB)2cosA·cosB1cosA·cosBsinA·sinBcosA·cosBsinA·sinB1cos(AB)1AB0AB，所以ABC一定是等腰三角形，故选C.5(文)(2011·陕西宝鸡质检)设，均为锐角，且cos()sin()，则tan的值为()A2 B.C1 D.答案C解析由已知得coscossinsinsincoscossin，所以cos(cossin)sin(cossin)，因为为锐角

4、，所以sincos0，所以sincos，即tan1，故选C.(理)已知cos()，sin，且，则sin()A. B.C D答案A解析，0<<，又cos()，sin()；<<0，且sin，cos.从而sinsin()sin()coscos()sin.6(文)设<<3，且|cos|，那么sin的值为()A. BC D.答案C解析<<3，cos<0，cos.<<，sin<0，又cos12sin2，sin2，sin.(理)已知tan3，则cos()A. BC. D答案B解析coscos2sin2，故选B.7(文)在ABC中，aco

5、s2ccos2b，则()Aa，b，c依次成等差数列Bb，a，c依次成等差数列Ca，c，b依次成等差数列Da，b，c既成等差数列，也成等比数列答案A解析acos2ccos2b，a·c·b，(ac)(acosCccosA)3b，acosCccosAb，ac2b，a、b、c依次成等差数列(理)(2012·河南六市联考)已知函数f(x)Asin(x)，(A>0，>0,0<<)，其导函数f (x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()Af(x)4sin(x)Bf(x)2sin(x)Cf(x)2sin(x)Df(x)4sin(x)答案A解析f

6、 (x)Acos(x)，由图象知，2×()，又A2，A4，f (x)2cos(x)，由f (x)的图象过点(，0)得，cos()0，0<<，f(x)4sin(x)，故选A.8已知sin，cos，其中，(0，)，则_.答案解析，(0，)，sin，cos，cos，sin，cos()coscossinsin××0，(0，)，.9已知：sincos，<<2，则cos_.答案解析cos.10在ABC中，A、B、C成等差数列，则tantantan·tan的值是_答案解析A、B、C成等差数列，2BAC，又ABC，B，AC，tantantan&#

7、183;tantantantan.能力拓展提升11.的值为()A.B.C2D4答案C解析原式2.12(文)(2011·天津蓟县模拟)函数f(x)cos2xsinxcosx在区间，上的最大值为()A. B.C1 D.答案D解析f(x)sin2xsin，x，2x，sin1，f(x)的最大值为.(理)在ABC中，若sinAsinBcos2，则ABC是()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D既非等腰又非直角的三角形答案B解析sinAsinBcos2，cos(AB)cos(AB)(1cosC)，cos(AB)cos(C)1cosC，cos(AB)1，<AB<，AB0，ABC为等腰

8、三角形13已知sincos，且<<，则cos2的值是_答案解析由消去cos得，sin2sin0，<<，sin>0，sin，cos212sin2.14(2012·河北保定模拟)设为ABC的内角，且tan，则sin2的值为_答案解析tan，sin2.15(文)已知函数f(x)2sinxcosx2cos2x1(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，上的最大值和最小值(2)若f(x0)，x0，求cos2x0的值解析(1)由f(x)2sinxcosx2cos2x1，得f(x)(2sinxcosx)(2cos2x1)sin2xcos2x2sin.所以函数

9、f(x)的最小正周期为.因为f(x)2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)1，f2，f1，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为1.(2)由(1)可知f(x0)2sin.又因为f(x0)，所以sin.由x0，得2x0，从而cos.所以cos2x0coscoscossinsin.(理)已知向量m，nsin，cos.(1)若m·n，求cos的值；(2)记f(x)m·n，在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(ac)cosBbcosC，求函数f(A)的取值范围解析(1)m·ncossincos2sincos，即sin，所以cos1

10、2sin2.(2)f(x)m·nsin，则f(A)sin，因为(ac)cosBbcosC，则(sinAsinC)cosBsinBcosC，即sinAcosBsinA，则B，A，则f(A).16(文)(2012·湖南文，18)已知函数f(x)Asin(x)(xR，>0,0<<)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)f(x)f(x)的单调递增区间解析(1)由题设图象知，周期T2()，所以2.因为点(，0)在函数图象上，所以Asin(2×)0，即sin()0.又因为0<<，所以<<.从而，即.又点(

11、0,1)在函数图象上，所以Asin1，得A2.故函数f(x)的解析式为f(x)2sin(2x)(2)g(x)2sin2(x)2sin2(x)2sin2x2sin(2x)2sin2x2(sin2xcos2x)sin2xcos2x2sin(2x)由2k2x2k，得kxk，kZ.所以函数g(x)的单调递增区间是k，k，kZ.点评本题考查了正弦型函数解析式求法，周期、单调区间求法、两角和与差的正弦公式等基础知识由图象求 (理)(2012·乌鲁木齐地区二诊)已知函数f(x)sinx(1sinx)cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在，上的最大值和最小值解析(1)f(x)s

12、inxsin2xcos2xsinx1，f(x)的最小正周期为2.(2)f(x)在，上为增函数，在，上为减函数，又f()<f()，x时，f(x)有最小值f()sin()1；x时，f(x)有最大值f()sin12.1已知cos2cos2a，那么sin()· sin()等于()A B. CaDa答案C解析sin()sin()(sincoscossin)(sincoscossin)sin2cos2cos2sin2(1cos2)·cos2cos2(1cos2)cos2cos2a.故选C.2若0<<<，则下列不等式中不正确的是()Asinsin< Bsin

13、<sinC·sin<·sin D. ·sin<·sin答案D解析由已知得sin<，sin<，0<sin<sin，因此sinsin<，即选项A正确·sin<·sin，即选项C正确构造函数f(x)xsinx(其中x>0)，则f (x)1cosx0，因此函数f(x)xsinx在(0，)上是增函数，当0<<<时，有f()<f()，即sin<sin，sin<sin，选项B正确对于选项D，当，时，·sin>··sin，选项D不正确点评作为选择题可用特殊值找出错误选项D即可3若，则等于()A2cos B2cosC2sin D2sin答案C解析，.(sincos)(sincos)2sin.4.2的化简结果是()A4cos42sin4 B2sin4C2sin44cos4 D2sin4答案D解析<4<，sin4<cos4<0.22|cos4|2|sin4cos4|2cos42(cos4sin4)2sin4.故选D.5已知acosb