第九章重积分部分习题

1、二重积分的概念与性质四、设为连续函数，求.解:根据积分中值定理，则至少存在一点使，根据函数的连续性，所以二重积分的计算(1)一、计算下列二重积分:1. ，其中解：3.，其中解：4，其中解：5. =三、设f(x,y)在a,b上连续, 证明：证明：令所以函数F(t)为单调不减函数，故结论成立。二重积分的计算(2)三、求由平面与柱面所围成的立体的体积(a>0).解：设D为xoy坐标面的圆面，则四、设闭区域为D上连续函数，且, 求解：五、求, 其中D是由所围成的，f是连续函数解：因为被积函数在关于y轴对称的区域D2上是奇函数，从而在关于x轴对称的区域D1上, ,二重积分的应用一、求由球面和柱面所

2、围的且在柱面内部部分的体积解：位于柱面内的部分球有四块，其体积相等，由曲面方程得二、求由曲面和曲面所围成的立体的体积解：三、求球面被平面所分成的上半部分曲面的面积解：设D为平面区域，由曲面方程得，于是四、求由与所围立体的表面积解：所围立体在xoy坐标面的投影区域D为，由曲面方程得，于是由曲面方程得，于是所求表面积为五、设有一半径为R的空球，另有一半径为r 的变球与空球相割，如果变球的球心在空球的表面上，问r 等于多少时，含在空球内变球的表面积最大？并求出最大表面积的值解：变球与空球相交线为，它在xoy面投影为：由曲面方程得，于是六、求坐标轴与所围成三角形均匀薄片的重心解：重心的横坐标为：重心的

3、纵坐标为：，所以重心为(1,2).七、由螺线与直线围成一平面薄片D，面密度，求它的质量解：质量为：八、求均匀椭圆关于直线的转动惯量，并求使转动惯量最小的m值转动惯量等于转动质量与其至转动中心距离的平方的积；刚体的转动惯量是由质量、质量分布、转轴位置三个因素决定的。如果你知道什么是惯性，就能理解什么是转动惯量。惯性：保持原来匀速直线运动状态或者静止状态的性质，惯性（质量）越大越难改变（容易保持）转动惯量：保持原来匀速圆周运动状态或者静止状态的能力。举个例子：呼啦圈转动时不难停下，但大型机床上的带动轮转起来后你能轻易使它停下吗？转动惯量的单位为千克米2,符号为kg.m2。解：在椭圆上任取一点P(x

4、,y),P点关于直线的转动惯量：当m=0时，G最小为。九、求面密度为常数的均质半圆环薄片：对位于z轴上点M0(0,0,a) (a > 0)处单位质量的质点的引力F .解由积分区域关于x轴对称性，有。设引力常数为G，则所以同理，故所求引力FFx，0，Fz。三重积分的概念及其计算一、设为：为：，则( C )A. B. C. D. 二、计算其中是由所围成的立体解由题设知，在xOy面上的投影区域为所以原式三、计算其中是由所围成的立体解由题设知，在xOy面上的投影区域为所以原式四、计算其中是由所围成的立体解由在xOy面的投影域为，可知，原式五、计算其中是由所围成的立体解由在xOy面的投影域为，可知

5、，原式六、计算其中是由所围成的立体解由在xOy面的投影域为，可知，原式七、计算其中是由所围成的立体解由在xOy面的投影域为，可知，原式利用柱面、球面坐标计算三重积分一、计算其中是由所围成的立体解：为，在柱面坐标系下，为，所以原式二、计算其中是由所围成的立体解：为，在柱面坐标系下，为，所以原式三、设为曲线绕z轴旋转一周形成曲面与平面z=4所围成的区域，求。解：旋转曲面为 故为，在柱面坐标系下，为，所以原式四、，其中是由曲面及所围成的所围立体.解由方程得两曲面的交线为从而在xOy平面上的投影区域为（z=0）在柱面坐标系下，为，所以原式五、计算，其中是由曲面及所围成的所围立体.解:在球面坐标系下,，

6、六、计算，其中是由曲面及所围成的所围立体.解:在球面坐标系下,七、计算，其中是由曲面所围成的所围立体.解:在球面坐标系下,八、将表示成柱面坐标系和球面坐标系的累次积分，其中是由所围成的所围立体.解:在柱面坐标系下,在球面坐标系下,三重积分的应用一、 一物体由圆锥和与圆锥共底的半球拼成，圆锥的高等于球的半径a，物体上任一点处的密度等于该点到圆锥顶点的平方，求此物体的质量解:在球面坐标系下,二、设有一半径为R的球体，P0是此球表面上的一定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比（比例常数R > 0 ),求球体的重心位置解:设球体方程为,P0的坐标为(0,0,R),密度函数为,球体的质量为：利用函数关于x轴和y轴的奇偶性有所以重心坐标为：三、设球在动点P(x,y,z)处的密度与该点到球心距离成正比，求质量为m的非均匀球体对于其直径的转动惯量解:设球体方程为, ,密度函数为,球体的质量为：所以，密度函数为,计算该球体绕z轴转动的转动惯量：四、一匀质