空间向量的坐标运算教师版

1、第一讲 空间向量的坐标运算（教师版）一、空间直角坐标系在空间内作三条相互垂直且相交的数轴,这三条数轴的长度单位相同它们的交点称为坐标原点 称为轴、轴和 轴一般地，取从后向前，从左向右，从下向上的方向作为轴，轴, 轴的正方向（图61） 统称为坐标轴由两个坐标轴所确定的平面，称为坐标平面，简称坐标面 轴，轴, 轴可以确定三个坐标面这三个坐标面可以把空间分成八个部分，每个部分称为一个卦限其中坐标面之上，坐标面之前，坐标面之右的卦限称为第一卦限按逆时针方向依次标记坐标面上的其他三个卦限为第二、第三、第四卦限在坐标面下面的四个卦限中，位于第一卦限下面的卦限称为第五卦限，按逆时针方向依次确定其他三个卦限为

2、第六、第七、第八卦限（图2）图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定用右手握住轴,当右手的四个手指从轴正向以的角度转向轴的正向时，大拇指的指向就是 轴的正向 图1 图2二、空间一点的坐标已知P为空间一点过点P作三个平面分别垂直于轴，轴和轴，它们与轴、轴、轴的交 点分别为A、B、C（图3），这三点在轴、轴、轴上的坐标分别为于是空间的一点P就唯一确定了一个有序数组这组数就叫做点P的坐标，并依次称为点P的横坐标，纵坐标和竖坐标坐标为的点P通常记为 图3例1已知ABCDA1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别是BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。三、向量的坐

3、标一方面，由向量可以唯一地定出它在三条坐标轴上的投影； 另一方面，由又可以唯一地定出向量。这样，向量与有序数组之间建立了一一对应的关系。故可以把向量在三条坐标轴上的投影叫做向量的坐标，将表达式称作向量的坐标表示式。注意：向量的坐标表示式是用花括号 表示的，不要与空间点的坐标表示式用圆括号( )表示相混淆。以为始点及为终点的向量的坐标式可表示成 特别地， 空间点对于原点的向径为四、两点间的距离公式设为空间内的两个点， 所以之间的距离为例2 求解 四、向量的直角坐标运算注：例3已知a(2，3,5)，b(3,1，4)，求ab，ab，8a，ab。解：ab（2，3,5）（3,1，4）（1，2,1），ab

4、（2，3,5）（3,1，4）（5，4,9），8a8（2，3,5）（16，24,40），ab（2，3,5）（3,1，4）6（3）（20）29例4在正方体要ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CD的中点，求证：D1F平面ADE证明：不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则又D1FAE，又ADAEA，D1F平面ADE小结：本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定。原点的坐标为(0,0,0)，x轴上的坐标为(x,0,0)，y轴上的坐标为(0,y,0)，z轴上的坐标为(0,0,z).要使一向量a(x,y,z)

5、与z轴垂直，只要z0即可。事实上，要使向量a与哪一个坐标轴垂直，只要向量a的相应坐标为0。例5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、D1B1的中点，求证EF平面B1AC。分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，需添加辅助线。证明：设A1B1的中点G，连EG、FG、A1B，则FGA1D1，EGA1B，A1D1平面A1B，FG平面A1B，A1BAB1，EGAB1，由三垂线的逆定理，得EFAB1，同理EFB1C，又AB1B1CB1，EF平面B1AC。分析二：选基底，利用向量的计算来证明。证明：设 a，b，c，则(abc)/2ab(abc)/2(ab)(b2a2cacb)/2(|

6、b|2|a|200)/20，即EFAB1，同理EFB1C，又AB1B1CB1，EF平面B1AC。分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的。证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2),(1,1,2)(2,2,1)(1,1,1)(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)(0,2,0)(2,0,0)(2,2,0)(1,1,1) (0,2,2)0(1,1,1) (2,2,0)0EFAB1， EFAC，又AB1B1CB1，EF平面B1AC。归纳总结1

7、、空间直角坐标系的概念2、向量的坐标运算3、实际问题中如何建系五、夹角公式设， ，我们怎样求这两个向量的模呢？， 这两个式子我们称为向量的长度公式这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度请大家动手试一试，如果把上述结果代入两个向量的数量积，会得出什么结果呢？ a·b|a|b|cosa,b··cosa,b由此可以得出：cosa,b这个公式成为两个向量的夹角公式利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cosa、b1时，a与b同向；当cosa、b1时，a与b反向；当cosa、b0时，ab、例6如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值解：不妨设已知正方体的棱长为个单位长度，且设i，j，k以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系Dxyz，则点B、E1、D、F1的坐标分别为B(1,1,0)，E1(1,1)，D(0,0,0)，F1(0,1)(1,1)(1,1,0)(0,1)，(0,1)(0,0,0)(0,1)，·cos,六、定比分点公式设和为两已知点，有向线段上的点将它分为两条有向线段和，使它们的值的比等于数()，即，求分点的坐标。 解：因为与在同一直线上，且同方向，故 ，解得例7已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：线段AB的中点坐标和长度；到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满