第8章微分方程

1、高等数学练习题 第十二章 微分方程系专业班姓名学号 第一节 微分方程的基本概念 第二节 可分离变量的微分方程一选择题 1微分方程的阶是 A （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 2微分方程的通解是 C （A） （B） （C） （D） 3下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是 C （A） （B） （C） （D） 4微分方程满足的特解是 B （A） （B） （C） （D）二填空题 1微分方程的通解是 2微分方程满足的特解是 3的通解是 三计算题 1 解：原方程可化为 积分，得 故，方程的通解为 2求微分方程，满足的特解解：原方程可化为 积分得 即 当时， 方程的满足条件的特解为 ， 3质量为

2、1克的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。在秒时，速度等于50秒，外力为4克厘米/秒，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？ 解：由题意，外力，代入得 ， 即 又 所以微分方程 ， 所以 由初始条件 ，代入 得 故 方程的特解为 在将代入上式，得 4一曲线通过，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程。 解：设曲线上任一点为，则以该点为切点的切线在x轴，y轴上的截距，依题意应为2x与2y，设切线倾角为a，则 即 ， 解方程得 把代入，得C = 6 故 所求的曲线方程为 高等数学练习题 第十二章 微分方程系专业班姓名学号 第三节 齐次方程 第四节

3、 一阶线性微分方程一 填空题 1下列各微分方程中为一阶线性微分方程的是 B （A） （B） （C） （D） 2已知函数满足微分方程，且当时，则当时，A （A）（B）0（C）1（D） （） 3已知是微分方程的解，则的表达式为 A （A） （B）（C）（D） 4已知微分方程的一个特解为，则方程的通解为 C （A） （B） （C） （D）二 填空题 1微分方程的通解是 2微分方程，满足的特解为 3微分方程的通解为 三 计算题 1 求微分方程的通解 解：方程可化为： ，设 ， 则： 解得 即 2求微分方程的通解 解：方程可化为： 所以 3设为连续函数，由所确定，求解：对积分方程两边求导数得 ，即 且

4、当时，代入上方程得 故 4设偶连结点和的一段向上凸的曲线弧，对于弧上任一点，曲线弧与直线段所围图形的面积为，求曲线弧的方程。求微分方程 解：由题意满足： 即 且 所以 当 时，代入上式得 故 所求的曲线为高等数学练习题 第十二章 微分方程系专业班姓名学号 第五阶 全微分方程 第六节 可降阶的高阶微分方程一 选择题 1微分方程的通解是 B （A） （B） （C） （D） 2设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，则= A （A） （B） （C） （D）二 填空题 1微分方程的通解为 2微分方程的通解为 三 求下列微分方程的通解或特解 1解： 即 所以 方程的解为 或 由于，所以 故 方程

5、的解为 2解：方程可化为 即 所以 所求方程的解 或 因为 ，所以 = 故 方程的解为 3 解：设则 ，所以原方程为 所以 4，解：设，则方程可化为： 所以 当时，得 所以，即 ，当时，得 故 方程满足条件的特解为 或设，则， 所以，即，积分得 由于当 ， 所以 ，即 所以 ，当，得 故 方程满足条件的解为四 试求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线 解： 由题意，当，得 即 当，得 故 所求的积分曲线为 高等数学练习题 第十二章 微分方程系专业班 姓名学号 第七节 高阶线性微分方程方程 第八节 常系数齐次线性微分方程一 选择题 1 设线性无关函数是二阶非齐次线性方程的特解，C1，C2是任意常

6、数，则该方程的通解是y= D （A） （B）（C） （D） 2微分方程的通解是 A （A） （B） （C） （D） 3具有特解，二阶常系数齐次线性方程是 B （A） （B） （C） （D） 4微分方程，的特解是 C （A） （B）（C） （D）二 填空题 1具有特解和的二阶常系数齐次线性方程为 2设为某方程的通解，其方程为三计算题 1求微分方程的通解，其中常数. 解：特征方程为：，求得特征根 所以方程的通解 2求方程的通解 解：特征方程为 ，得特征根为 所以方程的通解 3求方程，的特解 解：特征方程为 ，解得特征根为 所以方程的通解为 把 ， 代入上二式，得 故 所求方程满足条件的解为 4设，

7、其中为连续函数，求函数 解：上方程可得： ，设 ，则解得 当，时，得 解得 当，时，得 故 高等数学练习题 第十二章 微分方程系专业班姓名学号 第九节 常系数非齐次线性微分方程一选择题 1微分方程的一个特解应具有形式（式中为常数） D （A） （B） （C） （D） 2对于方程，利用待定系数法求其特解时，正确的是 A （A） （B） （C） （D） 3对于微分方程，利用待定系数法求其特解时，正确的是 D （A） （B） （C） （D）二填空题 1微分方程的通解是 2微分方程的通解是 三 计算题1设函数满足微分方程，且其图形在点处的切线与曲线在该点的切线重合，求函数解：特征方程为，解得特征根 ，

8、因此对应的齐次方程的通解 非齐次方程中的是特征根，所以设特解为 代入原方程，解得 于是 原方程的通解为 由于积分曲线与曲线有公共切线，所以代入通解中得 ，解得 故 所求的函数为 2求微分方程的通解 解：特征方程为 ，解得其根为 ，所以对应的齐次方程的通解为 设非齐次方程的特解为 ，代入原方程，并整理得 比较两边的系数 ，解得 所以 故 所求方程的通解为3求微分方程的通解. 解：特征方程为 ，解得 和，齐次方程的通解： 设非次方程的特解为代入原方程，并整理，得 解得 故 所求方程的通解为4设二阶常系数线性方程的一个特解为，试确定常数，并求该方程的通解解：将代入原方程，得 比较同类项的系数，得 解

9、方程组，得，即原方程为 对应的特征方程的根为 ，故齐次方程的通解为 所以原方程的通解为 高等数学练习题 第十二章 微分方程系专业班姓名学号 综 合 练 习 题一选择题 1已知函数， ，则 C （A）y1与y2线性相关 （B）y2与y3线性相关（C）y1与y3线性相关 （D）它们两两线性相关 2若连续函数满足关系式，则 B （A） （B） （C） （D） 3设是二阶常系数微分方程满足初始条件的特解，则当时，函数的极限是 C（A）不存在 （B）1 （C）2 （D）3 二填空题 1已知曲线过点，且其上任一点处切线斜率为，则曲线为 2 的通解为 3微分方程的通解为 4微分方程满足初始条件，的特解是 5微分方程的通解 三计算题 1求微分方程 的通解 解: 方程可化为 所以方程的通解为 2已知，试确定，使为全微分方程，并求此全微分方程的通解.解: 由于 要使为全微分方程则 且由代入上式,得 所以 因而