第1章常微分方程

1、第一章 初等积分法微分方程的古典内容主要是求方程的解，用积分的方法求常微分方程的解，叫做初等积分法，而可用积分法求解的方程叫做可积类型。初等积分法一直被认为是常微分方程中非常有用的基本解题方法之一，也是初学者必须接受的最基本训练之一。在本章学习过程中，读者首先要学会准确判断方程的可积类型，然后要熟练掌握针对不同可积类型的5种解法，最后在学习指导下的帮助下，总结一下初等积分法中的各种解法与特点与内在联系，以提高自己的解题能力与技巧。主要内容回顾一、主要概念微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式。常微分方程：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导数构成的等式。偏微分方程：未知函数是两个

2、或两个以上变元的函数，由这样的未知函数及其偏导数构成的等式。微分方程的阶：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。微分方程的解：一个函数代入微分方程中去，使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解。通解：n阶方程，其解中含有n个（独立的）任意常数，此解称为方程的通解。由隐式表出的通解称为通积分。特解：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解，由隐式给出的特解称为特积分。初值问题：求微分方程满足初值条件的解的问题。变量可分离方程：形如或的方程称为变量可分离方程。齐次微分方程：形如的方程，称为齐次微分方程。线性微分方程：未知函数和它的导数都是一次的微分方程。一阶线性微分

3、方程：一阶线性微分方程的形式是如果,即称为一阶线性齐次方程。如果不恒为零，则称为一阶线性非齐次方程。伯努利（Bernoulli）方程：形如 () 的方程，称为伯努利方程。全微分方程：如果微分形式的一阶方程的左端恰好是一个二元函数的全微分，即则称是全微分方程或恰当方程，而函数称为微分式的原函数。积分因子：假如存在这样的连续可微函数，使方程成为全微分方程，我们就把称为方程的一个积分因子。二、主要定理定理1.1假如是微分的一个原函数，则全微分方程（5）的通积分为，其中C为任意常数。定理1.2如果方程中的在矩形区域上连续可微，则方程（5）是全微分方程的充要条件是：在R上有三、基本解法初等积分法中有5中

4、基本解法，每中解法所对应的可积类型可归纳如下：对于导数已解出的一阶方程，有分离变量法常数变易法积分因子法：化成全微分方程，按全微分方程求解。对于导数未解出的一阶方程有参数法对于高阶方程有降阶法教学基本要求1了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程方程类型的判断方法。2了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法。3了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法。4了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法。5了解全微分方程的类型及积分因子概念，熟练掌握全微分方程及简单积分因子的求法。6了解一阶隐式微分方程的可积类型，掌握隐式方

5、程类型I、II的参数解法7了解可降阶的高阶方程的可积类型，掌握高阶方程的三种降阶法。8学会对应用问题建立常微分方程的一般步骤。重难点解析1初等积分法简史1676年Leibniz在Newton的信中，首次提出了“微分方程”这个名称。Leibniz在1691年给出了一阶方程的变量分离法和齐次方程解法，一阶线性方程的解法和Bernlulli方程的解法也是由Leibniz分别在1694年和1695年完成的。17331735年，Euler提出了全微分方程（恰当方程）和积分因子的解法以及通解、特解等概念。1694年，Leibniz和John Bernoulli提出了等角轨迹问题，而等角轨迹与正交轨线的解法

6、是1715年由Newton完成的。这样，求解一阶方程的主要初等积分法到1715年都已清楚了。2关于通解的定义在微分方程发展的早期，通解是作为一个方程全部解的共同表达式加以理解的，后来，在具体应用上遇到许多困难：首先，判断一个解的表达式是否已表示了全部解是困难的；其次，这样的表达式是否一定存在也是一个问题。11节所给出的通解的定义，其主要功用在于，如果通解表达式存在，由于通解中的任意常数是独立的，这样对于一定范围内给出的初值条件，可以确定出初值问题解。从这个意义上讲，通解包含了一个方程的全部解。3通解是否一定包含了全部解不是。例如，1.1节中的方程有通解，另外该方程还有常数解不包含在通解中。4是

7、否任何一个方程都有通解不是。例如，方程，只有解，而无含任意独立常数的通解。5常微分方程与其它方程的关系我们学过的方程主要有两类方程。第一类是代数方程和超越方程。例如，在方程中，对未知数所施加的是代数运算，因此，它们都是代数方程。在方程中，出现了对未知量的超越方程。第二类是隐函数方程，例如（设是自变量，则是未知函数），两类方程都是要求解，然而，第一类方程的解是求未知量的某些个特定值，第二类方程是要求由方程所确定的某个函数。一般地，第二类方程统称为函数方程。从这个问题上讲，常微分方程是最要的函数方程的一种。6一阶显式方程初等积分法的内在关系用积分因子的观点可以把1.2节1.5节所介绍的五种可积类型

8、方程（变量可分离方程，齐次方程，线性方程，伯努利方程几及全微分方程）如图所示：变量可分离方程线性方程齐次方程全微分方程坐标平移伯努利方程一阶显式方程可积类型关系图7积分因子是否唯一不是。例如，考虑方程，显然它不是全微分方程。但是，因为所以，都是此方程的积分因子。一般地，设是方程的一个积分因子，于是存在二元函数，有。现对于的任一连续函数，由于其中是的一个原函数，可见也是方程的积分因子，因而方程有无穷多个积分因子。8判断题型的顺序为了熟练掌握初等积分法，不仅要掌握每种可积类型方程的解法，而且还要正确而又敏捷地判断一个给定方程属于何种可积类型。在判断题型时，经验告诉我们，可以按如下顺序判断，即：阶显

9、次即线性方程伯努利方程显式方程齐次方程一阶方程非线性方程变量可分离方程阶隐式方程全微分方程高阶方程（积分因子）判断顺序，由左向右，通常积分因子在最后加以考虑。计算题类型及其解法一、一阶微分方程类型及其解法 表一方程类型及其表达式解法及其解的表达式变量可分离方程两边乘以，令则通解为 若有使得，则也是其解。齐次型方程或者其中是关于的零次齐次函数令，则，故，利用，有，有，利用变量分离方程的解法，其通解为 一阶线性方程用常数变易法：（1）求对应齐次方程的通解（利用齐次方程的解法）（2）令原方程的解为（3）代入原方程整理得得到（4）原方程的通解为方程类型及其表达式解法及其解的表达式恰当方程（全微分方程）

10、其中 通解为，其中（或者通解为）伯努利方程其中n为常数且和1以乘方程的两边，得令，有这是一个关于未知函数的一阶线性方程不显含未知函数的二阶方程或令，则，原函数化为是一个一阶方程，设其解为即，则原方程的通解为不显含的二阶方程或令，把看作的函数，则,把的表达式代入原方程得 是一个一阶方程设其解为即则原方程的通解为（注：对于微分方程，在方程两边乘以函数后的微分方程为全微分方程，则称为原微分方程的积分因子。二阶微分方程为），有四个变数，仅当缺少或时一定可以降阶求解。对既不含的二阶微分方程，可视为左边两类可降阶方程的特解情况。） 表二原微分方程积分因子化为全微分方程二、典型例题1.变量可分离的方程的求解

11、【题型特点与解题技巧】判断为变量分离方程后，在变量分离的同时，会漏掉一部分解，要在最后补上，在作适当变换把原方程化为变量分离方程求解后，一定要还原为原变量。例1求解下面微分方程：解：该方程是可分离变量。用去除方程，则有 变量可分离方程的解法积分上式，得， 因此，方程的通解是。显然即是原方程的解，而此解在通解中令得到。例2 求解微分方程：变量可分离方程解：令 ，得代入原方程，经整理，得 ，两边积分得：，还原变量，得：变量可分离方程例3求解微分方程： 解：分离变量，方程化为 两端积分，即得通积分 （）整理，得方程通解 （）例4求解微分方程：解：分离变量，方程化为两端积分，得 因此，上式即为方程的通

12、解。例5求解微分方程满足初值条件的解。求可分离变量初值问题的解解：原方程可改写为 分离变量，得 两端积分，得 将代入上式，得 ，则所求解为例6求解微分方程满足初值条件的解。解：原方程可改写成 两端积分，得 又由 ，有故所求方程的特解为：2齐次型方程的求解【题型特点与解题技巧】此类方程的求解方法要点是利用变量变换将原方程化为变量分离方程对于形式为方程，通常令例7求解方程解：这是齐次方程，以及代入，则原方程变为即 将上式变量分离，得 两边积分，整理得 此外方程还有解 即 若要 允许 则包含在其中。故原方程的通解是，C为任意常数。例8求解微分方程 解：设 ，则得此方程是齐次型，可设 ，即得从而得 ，

13、即 又由于得 即 当即时，也是原方程的解，而这已包含在通解之中（C=0）时，故原方程的通解为 ，C为任意常数。例9求微分方程满足初始条件的特解。解：原方程改写为这是齐次型方程。令，代入原方程得分离变量并积分得得 即 将 代入上式得 由 ，得 ，则所求解为，即 3一阶线性微分方程的求解【题型特点与解题技巧】对于一阶齐线性方程（即为变量分离方程）的求解，参见题型一，对于一阶非齐次线性方程的求解利用常数变易法。注意此类型在考研中出现的频率很高。例10求解微分方程 （1）解：先求化方程为的通解。由于其次利用常数变易法求非齐次线性方程的通解。为此，在上式中把C看成为的待定函数，即 积分之，得到 将上两式

14、代入原方程，并整理后得故原方程的通解为 ，C为任意常数。也可利用通解公式直接求之。例11求解微分方程 解：先解对应齐次方程 （1）将（1）式变形得到 两端同时积分得 即 下面用常数变易法解原方程的解。设 是原方程的解，则代入原方程得 即 两端同时积分，得所以，原方程的通解为 即 例12求解微分方程 （1） 的通解解：先求（1）式所对应的齐次微分方程 （2）的通解上式化简后得 两端同时积分，得 常数变易法令 是（1）的通解，则代入（1）式，得解得 所以原方程的通解为例13求微分方程 （1）解：将上式化简得 （2）（2）式所对应的齐次方程的通解为令 是方程（1）的通解，因此有将上式代入（1）得整理

15、后得 即 （3）所以，微分方程（1）的通解为4全微分方程的求解【题型特点与解题技巧】对于形式为的微分方程，若能验证，则其为全微分方程，进一步可求得其解。若不成立，则可利用积分因子。具体做法见以下例子。例12验证下面微分方程是否为全微分型并求解解：设因为 ，所以所给微分方程是全微分型。利用全微分方程的通解公式，有全微分方程的通解公式故通解为 （C为任意常数）例13求解微分方程 解法1 设，由于 ，故所给微分方程为全微分型。由通解公式，得故其通解为，C为任意常数。解法2利用简单全微分凑微分原方程可以写为 有故有 ，即得原方程的通解为 C为任意常数。例14 求解微分方程 解：因为，故方程为全微分方程

16、。把方程重新“分项组合”，得到即 或为 于是，方程的通解为，C为任意常数。例15求解微分方程解： 可验证其不是全微分方程，利用积分因子，在方程两边除以，得即 在方程两边乘以，便有利用全微分方程通解公式，即得方程通解为即 ，C为任意常数。例16求解微分方程 （1）解：通过观察，知方程有积分因子由表二可知以乘方程（1），得 （2）因为 ，于是方程（2）可化为因而方程（1）的通积分为例17求解微分方程 （1）解：可知方程有积分因子由表二可知方程（1）称以，得 （2）因为 ，所以方程（1）的通积分为例18求方程 （1）的积分因子。解：因为，,知 所以此方程不是全微分方程，但是为只含的函数，所以方程（1

17、）存在只含的积分因子，且方程（1）称以积分因子，得全微分方程5伯努利（）方程的求解【题型特点与解题技巧】首先判断方程类型为方程，为常数。利用变量变换可将其化为线性方程，则可按上面介绍的方法求得它的通解，然后代回原来的变量，便得到原方程的通解。此外，当时，方程还有解例19求解微分方程 解：原方程可变为方程设 ，则可得线性方程，即 它的通解为线性方程的通解公式代回原来的变量，得 即为 例20求方程的通解解：这是时的方程。令 ，可得 ，代入原方程得 这是线性方程，它的通解为 线性方程的通解公式代回原来的变量，得到或者为 即为原方程的通解。此外，方程还有解 例21求微分方程 满足初始条件的特解解：原方程改写为 线性方程的通解公式两边同除以 ，得 令 ,原方程化为线性方程 它的通解为由 知 ，【小 结】审视方程，判断方程类型，根据不同类型，确定解题方案，故判断一个一阶方程是属于哪一类方程便十分重要。必要的时候可作变量变换。要熟练掌握凑微分的技巧。（必须熟悉初等函数的导数或微分）6可降阶的二阶微分方程【题型特点与解题技巧】判断二阶微分方程只要缺少或即可利用表一的解法。例22求解方程解：此方程不含，故可设，从而，故，（1）当时，由得，即 积分上式，得 即 改写任意常数后得也是方程的解，不过这已包含在通解当中。（2）当时，可得，这也包含在通解中。例23 求