第05章不定积分

1、第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分1、 原函数：若,则称为在上的一个原函数.例如：，是的原函数.、原函数性质(1)原函数存在定理：设,则存在上的原函数.(2)若为在上的原函数，则都是的原函数,其中为任意常数.(3)若和都是的原函数，则,.证明：.(4) 设为在上的原函数,则在上全体原函数为.3、不定积分：函数在上的全体原函数称为在上的不定积分,记作.其中：(1)称为积分号； (2)称为被积函数； (3)称为被积表达式. (4)称为积分变量.显然,若为在上的原函数,则,为任意常数.例1 求解: 例2 求解:例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横

2、坐标的两倍，求此曲线方程.解:设曲线为根据题意知于是又所求曲线方程为4、积分曲线：函数原函数的图形称为的积分曲线.注：的不定积分是一簇积分曲线.5、导数与不定积分的关系(1) .(2) .(3) .(4) .可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.二、基本积分表1、问题提出例：启示：能否根据求导公式得出积分公式？结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.2、基本积分表 (为常数)；证明：三、不定积分的性质1、.证明：,.2、.（是常数,）.证明：,.例4 例5 .例6 .例7 .例8 .例9 .例10 .例11 .例12 .第二节换元积分法一、第一类换元法1、问

3、题提出问题：如何求？分析：,.解法：令, 由于,而 ,.2、第一类换元法定理：设具有原函数，可导，则有换元公式.证明：,.例1.例2 .例3.例4.例5.例6 , .例7 .例8 .例9 .例10 .例11 .例12 .例13. 其中：.例14.例15.注意到：.二、第二类换元法1、问题提出问题：如何求？解法：如果令,那么.2、第二类换元法(1) 定理：设是单调的、可导的函数，并且，又设具有原函数，则有换元公式.其中是的反函数.证明：.(2)三角代换一般规律：当被积函数中含有, 可令 ；, 可令 ；, 可令 .例16. () 其中：.例17. () 其中：.同时：. () 其中：.总之：. (

4、)(3)倒代换当分母的阶较高时,可采用倒代换:.例18三、基本积分表(续)；.例19.例20.例21.第三节分部积分法一、分部积分法1、问题提出由于,那么,从而.2、分部积分公式 或 证明：,.例1.例2.3、与的选择要求(1) 易求出；(2) 比容易积出. 一般地：被积函数为、与时,选择.例如：(1) .而(2). 显然,比更难积出. 例3 .例4 .例4 .二、间接计算方法例5 .例6 .例7 , , .解：(1) ;(2) 由于, 那么 , .例8 .第四节有理函数的积分一、有理函数的积分1、有理函数的化简(1) 有理函数：, 其中,都是非负整数,及都是实数, 并且,.(2) 假定分子与

5、分母之间没有公因式若, 称为真分式；若, 称为假分式.(3) 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如2、真分式()的化简(可以证明)(1) 在实数范围内, 多项式可分解为 其中 .(2) 例如.，那么 取；取；取.，即.3、有理函数的积分(1) 有理函数积分可以化成一个多项式的积分和一个真分式的积分；(2) 真分式的积分可归结为以下四种类型的积分：；, ；其中：，., . (3) 定理：有理函数的原函数都是初等函数.例1.例2 .例3.例4.二、可化为有理函数的积分1、三角函数有理式的积分, 其中：为的有理式. 而 称为万能代换.证明：由于 , 那么 , 从而, 且,那么.例5 2、简单无理函数有理式的积分, 其中：为