积分中值定理的应用_第1页
积分中值定理的应用_第2页
积分中值定理的应用_第3页
积分中值定理的应用_第4页
积分中值定理的应用_第5页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、略谈积分中值定理及其应用 白永丽 张建中 (平顶山工业职业技术学院)积分中值定理是定积分的一个重要性质，它建立了定积分与被积函数之间的关系，从而使我们可以通过被积函数的性质来研究积分的性质，有较高的理论价值和广泛的应用。本文就其在解题中的应用进行讨论。一、积分中值定理的内容：定理1（积分第一中值定理） 若在上连续，则在上至少存在一点使得 （1）定理2（推广的积分第一中值定理） 若在闭区间上连续，且在上不变号，则在至少存在一点，使得 （2）证明：（推广的积分第一中值定理）不妨设在上则在有其中m,M分别为在上的最小值与最大值，则有：若，则由上式知，从而对上任何一点，定理都成立。若则由上式得： 则在

2、上至少有一点，使得即：显然，当时，（2）式即为（1）式二、积分中值定理的应用由于该定理可以使积分号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理，在应用积分中值定理时应注意以下几点：（1）在应用中要注意被积函数在区间上连续这一条件，否则，结论不一定成立。例如：显然在处间断。由于但在上，所以，对任何都不能使.（2）定理中的在上不变号这个条件也不能去掉.例如：令：所以，不存在，使(3) 定理中所指出的并不一定是唯一的，也不一定必须是的内点。都有：这也说明了未必是区间的内点。下面就其应用进行讨论。1、估计定积分的值例1、估计的值解：由推广的积

3、分第一中值定理：，其中 即：2、求含有定积分的极限例2、求解：若直接用中值定理 因为而不能严格断定。其症结在于没有排除，故采取下列措施：，其中为任意小的正数。对第一个积分使用推广的积分第一中值定理，有：而第二个积分：由于的任意性知其可任意小。注：求解此类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定理时，要注意中值不仅依赖于积分区间，而且还依赖于限式中自变量的趋近方式。3、证明中值的存在性命题例3、设函数在上连续，在内可导，且证明：由积分中值定理得： 注：在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，一般应用按积分中值定理。4、证明积分不等式例4、求证证明: 其中,于是由即可获证.注：由于积分具有许多特殊的运算性质,故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时，也常考虑用积分中值定理，以便去掉积分符号，若被积函数是两个函数之积时，可考虑用广义积分中值定理。5证明函数的单调性例5、设函数在上连续， ,试证：在内,若为非减函数，则为非增函数.证明：对上式求导，得： 利用积分中值定理，得：若为非减函数，则，故为非增函数。参考文献：1、数学分析刘玉琏,傅沛仁编，高等教育出版社，上海 1988年出版。2、高等数学解题方法指导，马玲主编，大连理工大学出版社，大连 1996年出版。3、高等数学题库精编，薛嘉庆主编，东北大

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论