好用好附加题

1、江苏省 2013 届高考数学（苏教版）二轮复习专题 19加题 23 题附(1)江苏高考说明中附加题圆锥曲线与方程中抛物线为 B 级要求，2011 年、2012 年高均没有考查，2013 年高可能会考查；(2)江苏高考说明附加题中对空间向量与立体几何是 B 级要求，2009 年、2010 年、2012 年高考没有考查，2011 年高考考查空间角的概念，求线段的长.2013 年高考会考查.典例1在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的顶点在原点，经过点 A(2,2)，其焦点 F 在 x 轴上(1) 求抛物线 C 的标准方程；(2) 求过焦点 F，且与直线 OA 垂直的直线的方程；(3) 设过点

2、 M(m,0)(m>0)的直线交抛物线 C 于 D，E 两点，ME2DM，记 D 和 E 两点间的距离为 f(m)，求 f(m)关于 m 的表达式解(1)由题意，可设抛物线 C 的标准方程为 y22px.因为点 A(2,2)在抛物线 C 上，所以 p1.因此，抛物线 C 的标准方程为 y22x.(2)由(1)可得焦点 F 的坐标是æ1，0ö，又直线 OA 的斜率为21，故与è2ø直线 OA 垂直的直线的斜率为1.2因此，所求直线的方程是 xy10.2地址：南京市湖南路 1 号B 座 808 室Mail：admin凤凰所有：(3)法一：设点 D 和

3、E 的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，直线 DE 的方程是 yk(xm)，k0.将 xym 代入 y22x，有 ky22y2km0，k1±12mk2y1,2.k由 ME2DM，知 112mk22(12mk21)，化简得 k2 4 ，因此m 12æöDE (x x ) (y y ) 1(y 222y )èk2ø1212121 ö4(12mk2)9æè1k2ø4(m24m)k2所以 f(m)3m24m(m>0)2æs2æt2öö法二：设 Dè

4、2 ，sø，Eè2，tø，由点 M(m,0)及 ME 2 DM 得s2ö1 2æ2t m2èm 2 ø，t02(0s)因此 t2s，ms2，所以æ 2s2ö2f(m)DEè2s 2 ø (2ss)23m24m(m>0)2本小题主要考查直线、抛物线方程及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力演练1(2012·徐州信息卷)过直线 x2 上的动点 P 作抛物线 y24x 的两条切线 PA，PB，其中 A，B 为切点(1) 若切线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，求

5、证：k1k2 为定值；(2) 求证：直线 AB 恒过定点证明：(1)不妨设 A(t2，2t )(t >0)，B(t2，2t )(t <0)，P(2，m)11 122 2地址：南京市湖南路 1 号B 座 808 室Mail：admin凤凰所有：因为 y24x，所以当 y>0 时，y2 x，y 1 ，所以 k11.同理 k21.t1t2x2t1m1由 k ，得 t2mt 20.111tt 2211同理 t2mt 20.22所以 t1，t2 是方程 t2mt20 的两个实数根所以 t1t22.所以 k1k2 1 1为定值t1t222(t2t1)(2)直线 AB 的方程为 y2t1(

6、xt2)，1t2t2212t2 2 1即 yx2t1，t1t2t1t2即 y 2 x 2t1t2 ，由于 t1t22，t1t2t1t2所以直线方程化为 y 2 (x2)，t1t2所以直线 AB 恒过定点(2,0)典例2(2012·泰州期末)如图，在三棱锥 PABC 中，平面 ABC平面 APC， ABBCAPPC 2，ABCAPC90°.(1)求直线 PA 与平面 PBC 所的正弦值；(2)若动点 M 在底面三角形 ABC 上，二面角 MPAC 的余弦值为3 11，求 BM 的最11小值解(1)取 AC 中点 O，ABBC，OBOC.平面 ABC平面 APC，平面 ABC平

7、面 APCAC，OB平面 PAC.地址：南京市湖南路 1 号B 座 808 室Mail：admin凤凰所有：OBOP.以 O 为坐标原点，OB，OC，OP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系ABBCPA 2，OBOCOP1.从而 O(0,0,0)，B(1,0,0)，A(0，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，1)， BC (1,1,0)， PB (1,0，1)， AP (0,1,1)设平面 PBC 的法向量 n1(x，y，z)，ìïxy0，由 BC ·n10， PB ·n10 得方程组íïîxz0. AP 

8、3;n16取 n1(1,1,1)，cos AP ，n13 .| AP |n |1设 PA 与平面 PBC 所为 ，则 sin |cos AD ，n1| 63 .直线 PA 与平面 PBC 所的正弦值为 63 .(2)由题意平面 PAC 的法向量 n2(1,0,0)设平面 PAM 的法向量为 n3(x，y，z)，M(m，n,0) AP (0,1,1)， AM (m，n1,0)，又 AP ·n30， AM ·n30，ìy0，ïzæn1ö.í取 n3ç，1，1÷èømïî

9、mx(n1)y0，n1 m n ·n3 112 3 cosn ，n .23|n2|n3|11æn1öç÷22èømænö1ç÷29.èømn13m 或 n13m(舍去) AM (m,3m,0)地址：南京市湖南路 1 号B 座 808 室Mail：admin凤凰所有：又 AB (1,1,0)，ï(m，3m，0)·(1，1，0)ï2 5cos AM ， ABïï.5ïï10m2· 2则 si

10、n AM ， AB 5，3 510dAB·.55B 点到 AM 的最小值为垂直距离 d 10.5考查空间向量在立体几何中的应用，求出平面的法向量是解题的关键演练2(2012·苏北四市二模)在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 AB 的中点，点 P 在平面 A1B1C1D1 中，D1P平面 PCE.(1)试求：线段 D1P 的长；(2)直线 DE 与平面 PCE 所的正弦值解：(1)建立的空间直角坐标系，则 D1(0,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)设 P(x，y,2)，则 D1P (x，y,0)，EP (x2，y1,2)，EC (2,1

11、,0)因为 D1P平面 PCE，所以 D1PEP.D1PEC.所以 D1P · EP 0， D1P · EC 0，ìx4，ìx(x2)y(y1)0，ìx0，ïï5(舍去)或í故íïîíïî82xyy0.0îy5.即 Pæ4，8，2ö，è5ø5æ48ö16644 5所以 DP ， ，所以 D P0.è5ø15252551地址：南京市湖南路 1 号B 座 808 室Mai

12、l：admin凤凰所有：(2)由(1)知， DE (2,1,0)， DP æ4，8，0ö， DP 平面 PEC，设 DE 与平面 PECè5ø51116ïïDP · DE所为 ， DP 与 DE 所为 ，则 sin |cos |ï1ï5.4ï|DP | DE |ï518025ïï5·1所以直线 DE 与平面 PEC 所的正弦值为4.5专题技法归纳(1)抛物线与直线的位置关系中重点考查顶点在原点的抛物线与过焦点的直线的位置关系，熟练掌握抛物线的几何性质，利用

13、几何性质解决问题较为简单；(2)空间向量与立体几何主要考查向量的坐标表示、向量运算、平面的法向量、空间角及距离的计算对于点的位置的探索问题，可以利用向量共线定理设元确定1.(2012·苏北四市三模)在三棱锥 SABC 中，底面是边长为 2 3的正三角形，点 S 在底面 ABC 上的射影 O 恰是 BC 的中点，侧棱 SA 和底面成45°角(1) 若 D 为侧棱 SA 上一点，当SD为，BDAC；DA(2) 求二面角 SACB 的余弦值大小解：以 O 点为原点，OC 为 x 轴，OA 为 y 轴，OS 为 z 轴建立空间直角坐标系因为ABC 是边长为 2 3的正三角形，又 S

14、A 与底面所为 45°，所以SAO45°. 所以 SOAO3.所以 O(0,0,0)，C( 3，0,0)，A(0,3,0)，S(0,0,3)，B( 3，0，0)(1)设 ADa，则 Dæ0，3 2a， 2 ö，所以 BD 2 aøè2æè 2 ö2 a，a ，3，3 2ø23，3,0)若 BDAC，则 BD · AC 33æ3 2aö0，AC (èø2a2 2，而 AS3 2，所以 SD 2.地址：南京市湖南路 1 号B 座 808 室Mail：

15、admin凤凰所有：所以SD 2 1.DA22 2(2)因为 AS (0，3,3)， BC (2 3，0,0)设平面 ACS 的法向量为 n1(x，y，z)，ìïn1· AC (x，y，z)·( 3，3，0) 3x3y0，则íïîn1· AS (x，y，z)·(0，3，3)3y3z0，令 z1，则 x 3，y1，所以 n1( 3，1,1)而平面 ABC 的法向量为 n2(0,0,1)， 3×01×01×1 1 所以 cosn ，n ，显然所求二面角的平面角为锐角，125121

16、2( 3)2· 1故所求二面角的余弦值的大小为 5.52.(2012·镇江5 月)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是 AC 的中点，E 是线段 D1O 上一点，且 D1EEO.(1) 若 1，求异面直线 DE 与 CD1 所(2) 若平面 CDE平面 CD1O，求 的值的余弦值；解：(1)不妨设正方体的棱长为 1，以 DA ， DC ， DD1 为正交基底建立的空间直角坐标系 Dxyz.则 A(1,0,0)，Oæ1，1，0ö，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，Eæ1，1，1ö，è2øè42

17、ø24于是 DE æ1，1，1ö， CD1 (0，1,1)è42ø4 DE · CD1 3由 cos DE ， CD1 6 .| DE |·|CD1 |所以异面直线 AE 与 CD1 所的余弦值为 36 .(2)设平面 CD1O 的向量为 m(x1，y1，z1)，由 m· CO 0，m· CD1 0，地址：南京市湖南路 1 号B 座 808 室Mail：admin凤凰所有：ì11ï2x12y10，得í取 x11，得 y1z11，ïîy1z10，即 m(1,

18、1,1)由 D EEO，则 Eæ， 1 ö，ç2(1)2(1)1÷1èøæ， 1 öç2(1)2(1)1÷.DEèø又设平面 CDE 的法向量为 n(x2，y2，z2)，由 n· CD 0，n· DE 0.ìy20，得í x2 y2 z2 0，取 x22，得 z2，即 n(2,0，)î2(1)2(1)1因为平面 CDE平面 CD1O，所以 m·n0，得 2.3.(2012·南通)如图，已知三棱柱 ABCA1

19、B1C1 的侧棱与底面垂直，AA1ABAC1，ABAC，M 是 CC1 的中点，N 是 BC 的中点，点 P 在直线 A1B1 上，且满足 A1P A1B1 .(1)当 取，直线 PN 与平面 ABC 所成的角 最大？(2)若平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45°，试确定点 P 的位置解：(1)以 AB，AC，AA1 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，则 Næ1，1，0ö，P(，0,1)，则 PN æ1，1，1ö，è2øè2ø22平面 ABC 的一个法向量为 n(0,0,

20、1)，则 sin |cos PN ，n| | PN ·n| 1.æ1ö25| PN |n|è2ø4于是问题转化为二次函数求最值，而 é0，ù，当 最大时，sin 最大，所以当 1ë2û2时，sin 最大， 也最大(2)已知给出了平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45°，即可得到平面 ABC 的一个地址：南京市湖南路 1 号B 座 808 室Mail：admin凤凰所有：法向量为 n AA (0,0,1)，设平面 PMN 的一个法向量为 m(x，y，z)，MP æ，1，1&#

21、246;.è2ø1ìæ1öx1yz0，ìm· NP 0，ïè2ø2得í由í1ïîm·MP0，îxy2z0，ì21ïyx，3íî2(13)ïzx.令 x3，得 m(3,21,2(1)，|cosm，n|m·n|m|n| |2(1)|2，1，229(21)24(1)2故点 P 在 B1A1 的延长线上，且|A1P|1.24(2012·泰州期末)对称轴为坐标轴，顶点在坐标原点

22、的抛物线 C 经过两点 A(a,2a)，B(4a,4a)(其中 a 为正)(1) 求抛物线 C 的方程；(2) 设动点 T(m,0)(m>a)，直线 AT，BT 与抛物线 C 的另一个交点分别为 A1，B1，当 m 变化时，记所有直线 A1B1 组成的集合为 M，求证：集合 M 中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上解：(1)当抛物线焦点在 x 轴上时，设抛物线方程 y22px，ìï4a22pa，íp2a.ïî16a28pa，y24ax.当抛物线焦点在 y 轴上时，设抛物线方程 x22py，ìï16a28pa，&#

23、237;方程无解，抛物线不存在ïîa24pa，地址：南京市湖南路 1 号B 座 808 室Mail：admin凤凰所有：综上抛物线 C 的方程为 y24ax.(2)设 A1(as2,2as)，B1(at2,2at)，T(m,0)(m>a)kTAkTA1， 2a 2as ，amas2mas2(ma)sm0.æm2，mö(asm)(s1)0，s a ，A1è a2mø.kTBkTB1， 4a 2at .4amat2m2at2(m4a)t2m0，(2atm)(t2)0.æm2 möt2a.B1è4a，m&

24、#248;.2mmæm2ö直线 A1B1 的方程为 y2mèx a ø.m2m2a4a直线的斜率为 4a 在(a，)单调，3m集合 M 中的直线必定相交m22m直线的横截距为2a在(a，)单调，纵截距为 3 在(a，)单调，任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上5(2012·常州)已知斜率为 k(k0)的直线 l 过抛物线 C：y24x 的焦点 F 且交抛物线于A，B 两点设线段 AB 的中点为 M. (1)求点 M 的轨迹方程；11(2)若2<k<1 时，点 M 到直线 l：3x4ym0(m 为，m<3)的距离总不小于5，求

25、 m 的取值范围解：(1)焦点 F(1,0)，直线 AB 方程为 yk(x1)，因为 k0，所以 xy1.kìïxy1，4k由í得 y2ky40.ïîy24x地址：南京市湖南路 1 号B 座 808 室Mail：admin凤凰所有：y1y22.设 A(x ，y )，B(x ，y )，M(x ，y )，显然 >0 恒成立，则 y01122002k又 x0y01，消去 k ，得 y22(x01)，0k所以点 M 的轨迹方程为 y22(x1)(2)由(1)知，点 Mæ 2 1，2ö.èk2kø因为 m&l

26、t;1，所以 d1ï 6 8m3ï1æ 6 8m3ö.5ïk2ï5èk2økk3由题意，得1æ 6 8m3ö1，m 2 对2<k<1 恒成立685èk2ø5k2kk因为2<k<1 时， 6 82 的最小值是2，k2k3所以 m2.36(2012·南通)在平面直角坐标系 xOy 中，已知焦点为 F 的抛物线 x24y 上有两个动点 A，B，且满足 AF FB ， 过 A，B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M.(1) 求： OA

27、83; OB 的值；(2) 证明： FM · AB 为定值22æxöæxö12解：(1)设 A x1，B x2，è4 øè4 ø2x2， AF æxöæö1x2， 21焦点 F(0,1)x1，1， FB .è4 øèø4 AF FB ，ìïx1x2，x2x2æöæöí 2 1消 ，得 x11 x2 10.x2è 4øè4 

28、48;x2æö21ï1 ，14è 4øî化简整理得(x1x2)æx1x21ö0.èø4x1x2，x1x24.x2 x2y1y221.1·4 4 OA · OB x1x2y1y23.地址：南京市湖南路 1 号B 座 808 室Mail：admin凤凰所有：(2)证明：抛物线方程为 y1x2，y1x.42过抛物线 A，B 两点的切线方程分别为x2x211y x1(xx1) 1和 y x2(xx2)2，2424x2x211即 y x1x 1和 y x2x2.2424æx

29、öx12联立解出两切线交点 M 的坐标为ç，1÷.èø2æx1x2ö æx2x2ö 21ç÷ ç÷ FM · AB·，2x ，xèø èø2124x2x2x2x221210(定值).227.(2012·淮阴联考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1)，P 是动点，且三角形 POA 的三边所在直线的斜率满足 kOPkOAkPA.(1)求点 P 的轨迹 C 的方程；(2)若 Q 是轨迹 C 上异于点 P 的一个点，且 PQ OA ，直线 OP 与QA 交于点 M，问：是否存在点 P 使得PQA 和PAM 的面积满足 SPQA2SPAM？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由解：(1)设点 P(x，y)为所求轨迹上的任意一点，则由kOPkOAkPAy1得，y 1 ，整理得轨迹 C 的方程为 yx (x0 且 x1)2x1x1(2)设 P(x1，x2)，Q(x2，x2)，12由 PQ OA 可知直线 PQOA，则 kPQkOA，x2x21021故，即 x2x11.x2x110直线 OP 方程为 yx1x (x11)21直线 QA 的斜率为x12，x