第五章积分计算

1、第五章积分计算教学要求： 1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。3.有理函数的不定积分是求无理函数和三

2、角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；教学时数：18学时§5.1 原函数与不定积分教学要求： 积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公

3、式。教学重点：深刻理解不定积分的概念。一、新课引入： 微分问题的反问题，运算的反运算.二、讲授新课： （一）不定积分的定义:1、原函数定义  设函数在区间有定义，存在函数，若，有，则称函数是在区间的原函数，或简称是的原函数。定理  若是函数在区间的一个原函数，则函数的无限多个原函数仅限于的形式。2、不定积分定义函数的所有原函数称为函数的不定积分。表为：。其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分常数。可见，若有原函数，则的全体原函数所成集合为.例1 填空: ; ( ; ; ; ;. （二）基本积分表及其使用1.运算法则：（1）或；（2）或；（3）（）；（4）。2.积分公式：

4、1、，其中为常数。特别地：；2、，其中是常数，且；3、；4、，其中，且；特别地；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、。3.例题例2求。例3求。例4求。例5求.例6求。（三）不定积分的基本性质: 以下设和有原函数.（1）.(先积分后求导, 形式不变应记牢！).（2）. (先求导后积分, 多个常数需当心！)（3）时， （被积函数乘系数，积分运算往外挪！） （4）由（3）（4）可见, 不定积分是线性运算, 即对, 有 ( 当时,上式右端应理解为任意常数. )例7. 求 . (=2 ). （四）利用初等化简计算不定积分:  例8. 求.例9.例10.例11.例12.

5、例13 .三、小结练习P202 1 (1,3,5,7,9,11,13,15) 2 3作业P202 1 (2,4,6,8,10) 4 §5.2换元积分法教学要求： 换元积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。教学重点：熟练地应用换元积分公式;一、新课引入：由直接积分的局限性引入 二、讲授新课： （一）. 第一类换元法 凑微分法：定理1 （第一换元积分法）若函数在可导，且。有，则函数存在原函数，即。常见微

6、分凑法：凑法1例1  求。例2  求。例3  求。例4求。例5求。凑法2 . 特别地, 有和 . 例6求。例7求。例8求。凑法3 例9（1）（2）例10其他凑法举例: 例11.例12 例13.例14. 例15. （二）第二类换元法 拆微法：从积分出发，从两个方向用凑微法计算，即 = = =引出拆微原理.定理2（第二换元积分法）若函数在可导，且，函数在有定义，有，则函数在存在原函数，且。例16求。例17求。例18求。例19求，  常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler代换等.我们着重介绍三角代

7、换和无理代换.1. 三角代换:（1） 正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令, 则例20 解法一 直接积分; 解法二 用弦换.例21.  例22 .（2） 正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式即 令 . 此时有 变量还原时, 常用所谓辅助三角形法.例23. 解 令 有. 利用例22的结果, 并用辅助三角形, 有= =例24 （3）正割代换: 正割代换简称为“割换”. 是针对型如 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角

8、公式 令有变量还愿时, 常用辅助三角形法.例25解.例26.解法一 （ 用割换 ）解法二 （ 凑微 ）   2. 无理代换:若被积函数是的有理式时, 设为的最小公倍数,作代换, 有.可化被积函数为 的有理函数.例27.例28.若被积函数中只有一种根式或可试作代换或. 从中解出来.例29. 例30例31 (给出两种解法)例32. 本题还可用割换计算, 但较繁. 3.  双曲代换: 利用双曲函数恒等式 , 令 , 可去掉型如 的根式. . 化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 如:例33 .本题可用切换计算,但

9、归结为积分, 该积分计算较繁. 参阅后面习题课例3.例34  解.例35 . 解4. 倒代换: 当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可试用倒代换例36 .5.  万能代换: 万能代换常用于三角函数有理式的积分(参1P261). 令，就有， ，例37 .解法一 ( 用万能代换 ) .解法二 ( 用初等化简 ) .解法三 ( 用初等化简, 并凑微 )例38解=.代换法是一种很灵活的方法.三、小结 练习P213 1 2 3 作业P213 2(2,4,6,8,10) 3 (1,3,5,7)

10、67;5.3分部积分法教学重点：分部积分的应用。教学难点：分部积分适用的条件。基本内容：分部积分；基本要求：记住分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分应用分部积分公式；并能适当的选取换元函数，熟练地应用换元公式。一、分部积分法设、是的可导函数，则，因此或，称为分部积分公式。一般来说，被积函数形式为：，等都用分部积分法。二. 分部积分法的形式:导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一般原则. 1. 幂 X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁 ),

11、但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂” 型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“”求导以使其成为代数函数.例1 (幂对搭配，取对为u) 例2 (幂三搭配，取幂为u) 例3 (幂指搭配，取幂为u) 例4 (幂指搭配，取幂为u) 例5 例6 (幂反搭配，取反为u) 2   建立所求积分的方程求积分: 分部积分追求的另一个目标是: 对被积函数两因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来. 例7例8求和  解 解得 例9解= （参阅例41）

12、解得 例10=，解得 .例11 = =,解得 .三、小结 （略）练习P217 1(1,3,5,7) 2(2,4,6,8)作业P217 1(2,4,6,8) 2(1,3,5,7)§5.4广义积分 教学重点：无穷积分的性质及敛散性判别。教学难点：无穷积分的敛散性判别。主要内容：1、三种无穷积分（）的概念以及它们收敛与发散的概念；2、无穷积分与级数收敛性的关系；3、无穷积分的性质，包括Cauchy准则、收敛的线性性、分部积分公式；4、无穷积分的绝对收敛于条件收敛的概念及判别法，优函数的绝对收敛判别法，条件收敛的判别法。基本要求：1、掌握无穷积分收敛与发散的判别法，基本上会用收敛定

13、义和性质计算无穷积分和证明无穷积分的有关问题；2、基本会用敛散性定义和各种敛散性判别法判别无穷积分的敛散性。基本方法：无穷积分的计算方法与敛散性判别方法。一、无穷积分定义：设函数在上有定义，并且对任意b，在a,b上可积，如果当时，极限存在，那么就称此极限为函数在上的无穷积分。记作：.例1 （1） 讨论积分  ,  , 的敛散性 .（2）  计算积分 .      例 2   讨论以下积分的敛散性 :（1）   

14、60;       （2）   .例3 讨论积分的敛散性 . 二、无穷积分的性质:（1） 在区间 上可积 , Const , 则函数在区间 上可积 , 且.                      （2） 和在区间 上可积 ,  在区间 上可积 , 且  .  三、无界函数的积分瑕积分的定义: 以点为瑕点给出定义. 然后就点为瑕点、点为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明.例4   判断积分的敛散性