第6章 不定积分习题课

1、第六章 不定积分习题课一：主要内容 1、基本概念要掌握两个基本概念：原函数，不定积分。2、基本公式掌握不定积分计算的基本公式，这是整个不定积分计算的基础。3、计算方法 换元法，分部积分法，有理函数积分法，有理三角函数积分法。特别注意掌握换元法和分部积分法的思想。 3、不定积分的计算涉及题型多，技巧性强，难度大，虽然针对一些特殊结构的题目给出了一般性的处理方法，但在实际的计算中，不要局限于这些 一般性的方法，要针对具体的题型结构，掌握各种方法的实质，针对结构特点，灵活使用各种技巧，尽量选择简单的特殊的方法，只有这样才能收到事半功倍的效果。计算不定积分的一般程序为：1）、利用各种方法和技巧如因式分

2、解、有理化等，先简化被积函数，为进一步分析结构特点创造条件；2）、分析积分结构特点和难点，如困难因子，不同结构的因子，不同因子的关系等；3）、针对结构特点选择对应的方法和技巧。二：典型题目。通过一些典型题目说明计算中的方法，技巧问题。下述的一些题目不难，关键掌握分析的方法。例1设F(x)为f(x)在区间I上的原函数，且为f(x)的间断点，证明必为f(x)的第二类间断点。分析本题考察两个基本概念：原函数和间断点。从要证明的结论看，要证明为第二类间断点，按定义须证明 f(x)在此点的左右极限至少有一个不存在，我们知道在证明的结论中，证明肯定的结论比证明否定的结论简单，证明存在性要比不存在性简单，特

3、别是对抽象函数，因此，在处理这类问题时通常采用反证法。证明：设间断点不是f（x）的第二类间断点，则和都存在。又利用原函数的定义，F(x)在点可导且，即，因而，还有，；但是，由L”Hospital法则， ，故，因而，f(x)在点连续，矛盾。注、从上述证明过程中，可以看到：若f(x)有第一类或可去间断点，则f(x)必不存在原函数。例2设，讨论f(x)的原函数的存在性。分析处理这类问题有两种思路，其一是通过考察间断点的性质判断原函数的存在性，即若存在不是第二类的间断点，肯定不存在原函数，当然，若间断点是第二类的，并不一定保证原函数的存在性。其二是通过计算不定积分判断原函数的存在性，此时，若能得到一个

4、合理正确的原函数，则表明原函数的存在，若得不到原函数，则表明原函数不存在。对本例，首先，x0是f（x）的第二类间断点，因此，由例1还不能得到结论，第一种思路不能解决问题。考虑第二种思路，通过不定积分的计算判断原函数的存在性；我们知道，对给定的一个单一的表达式，可以直接计算对应的不定积分，但是，对分段函数来说，我们必须在不同的范围中，分段进行不定积分的计算，得到一个分段表达式，然后，利用原函数的性质（可导且导函数为给定的函数）验证得到的函数是否为给定函数的原函数。解、当时，由分部积分法，则，令，则可以验证，在时，。补充F(x)在x=0的定义，注意到原函数一定连续，因而，如下补充定义，进一步可以验

5、证，F(x)在x0点可导且。因而，对任意的x，都有，因而，F(x)为f(x)的原函数。注、原函数不唯一，事实上，都是其原函数。注、例2中，x=0为第二类间断点，此例存在原函数。将例2稍加修改为，则x=0仍是第二类间断点。此时，若原函数存在，则必为但是，由于对任意C，都有，故F(x)不是f(x)的原函数。因而，此时，f(x)的原函数不存在。 例3、设，讨论原函数的存在性。分析 与例2类似可以考虑两种解决方法。解、法一、由于x0是f（x）的第一类间断点，因而，原函数不存在。法二、通过不定积分的计算判断原函数的存在性。当时，计算对应的不定积分，则；当x<0时，对应有。令，要使F(x)为原函数，

6、必须满足在x=0点的连续性，因此，必须有，故才有可能成为原函数，进一步考察其可导性质，由于，则，F(x)在x0点不可导，因而，f(x)不存在原函数。注、在计算分段函数的不定积分时，在不同的段上，积分常数C是不同的。如，例3中若直接将F(x)中的两个积分常数取为同一个C，可以看到，此时F(x)不连续，因而，不可能是原函数。此时，需要借助原函数的连续性给出两个积分常数的关系。例4、设，计算。分析 解题的思路是：从已知的条件中计算出或，然后代入计算。解、由原函数的性质得故，f(x)=x，因而，。注、例4中能够将被积函数简单计算出来，因而，我们采用了先计算被积函数，再计算相应的不定积分的方法，但是，对

7、有些例子来说，被积函数的计算较为复杂，此时，不必计算被积函数，可以借助其它条件通常为不定积分的计算性质计算不定积分。例5、1）、设，计算；2）、已知的一个原函数为，计算。分析 对1），虽然能计算出的表达式，但事实上，没有必有这样做，只需通过变量代换将被积函数结构转化为已知的函数形式。对2），也没有不要计算，只需利用积分性质将导数转移即可。解、1）、作变量代换，则，2）、由条件得，故。利用分部积分公式，则 。下面的例子属于不定积分的计算，有些例子较为简单，但是，希望从简单的求解过程中，领会解题的思想方法。有些例子，技巧性强，需要认真理解和掌握。例6 计算。分析 若直接展开进行计算，计算量太大，必

8、须利用技巧和方法减少计算量，注意到结构中，难点在于因子，因此，处理的重点就是复杂因子的简单化，这就决定了选择的变换为或，注意在选择变换时，既要使复杂因子简单化，同时要尽量避免简单因子（包括积分变量的微分dx）的复杂化，这是选择变换的原则，对本例，以上两个变换难度差别不是很大。解、原式2。例7 计算。分析难点出现在被积函数的分母上，有两类不同的因子；解决思想；去掉根式或分离不同的因子，使被积函数简单化。由此决定采用方法：方法1、可以利用换元变换x=sect，转化为三角函数有理式的积分，这是去掉根式的常规方法。但注意，一般来说三角函数有理式的积分也不容易计算，因此，我们进一步分析其结构特点，找到又

9、一种解题的方法方法2、分母有理化方法简化被积函数，这是针对被积函数结构特点的方法。 不妨用这两种方法都计算一下，比较两种方法的差别。解、法一、令，则 原式法二、用分母有理化方法，则原式，为计算，作变量代换xsect，则，由于，因而，故， 原式 。注、对也可以用分部积分法计算。例8 计算。分析与例2类似，关键问题仍通过有理化简化被积函数，方法有其二，其一，利用三角函数变换，其二，利用变换，两种方法难易度相差不大。解、法一、原式法二、原式。解法三、当然，还可以利用凑微分，原式=。比较可知，法2是最直接的简化方法，因而也最简单。故，一定要根据题目的具体结构特点，寻找最简单的方法。 同时，还要记住一些

10、简单的结论。例9 计算。分析被积函数含有两类不同结构的因子，处理方法有凑微分方法（换元法）和分部积分法，进一步分析因子关系可知，因而，可以采用凑微分法。解、原式。 注、涉及不同结构因子的不定积分时，一定要注意分析各因子间的关系，特别是微分关系。研究生考试中，有关不定积分的计算所涉及到的题型常用分部积分法处理，被积函数常为两种不同结构的因子。因此，计算的关键是因子结构的转变（形式统一法），所采用方法就是分部积分法，通过求导，改变因子结构。例10 计算。分析先简化被积函数，再分析结构，再计算。但是，要注意当被积函数是由不同结构的因子组成时，换元法和分部积分法是基本的处理方法。解、。例11 计算。分

11、析 被积函数中含有不同结构的因子，考虑用换元方法或分部积分法，换元法一般用于这类题目中较简单者，因此，对本题的复杂结构，重点考虑用分部积分法，目的是通过导数转移改变复杂因子arcsinx的结构，为此，需从被积函数中分离出一个导因子，注意到利用各种方法的思想是使得结构简单化，因此，在使用分部积分法进行导数转移时，不能使导数的计算更复杂，由于因子的导数更加复杂，因此，应将其转化为导因子的形式，这也是选择导因子的原则或分部积分法的应用原则，由此决定了下述计算的思想。解、由于 ，则同样，由于，则，故。例12 计算。 分析 处理思想与前例相似，导数应该转移到lnsinx上，改变其结构。解、。例13 计算

12、。分析被积函数包含有两类不同结构的因子，因此，需借助分部积分法削去其中的一种结构，显然，能够通过求导削去的因子应该是因子，因此，需要将含有因子x 的项分离出来，并把其系数转化为导因子，即将转化为导因子，由此确定了求解的思想方法。解、。例14 计算。分析 结构特点与前面的例子类似，被积函数由不同结构的因子组成，只是形式更复杂，被积函数中有三类不同结构的因子，处理思想是类似的，即通过分部积分法改变复杂因子的结构，可以利用前面例子的方法，将因子x化为导因子形式，再用分部积分法，但是，这会产生一个不易计算的不定积分，为此，我们采用另一种方法，即将其中的两个因子比如共同作为导因子，将积分写为形式然后用分

13、部积分法，我们同时给出计算导因子的方法。解、先计算，则，记，则，故，由于，故，。 注、注意本题中给出的将某些因子转化为导数形式的方法。 例15 计算。分析被积函数仍是两类结构不同的因子，但是，由于与其导数具有相同的结构特点不能通过求导改变结构，故，不能像前例那样通过求导削去一种因子结构，转化为同一结构因子的不定积分。这类题目难度更大，要求技巧性更高。通常是将其分成不同的部分，相互之间可抵消不易计算的部分或者将不定积分的被积函数转化为完全导函数形式，然后给出结果。解、先化简，特别是分母的化简，转化为导数的形式。或者，对第一项用分部积分公式，.注、分析上述解题方法可以发现，这类结构具有这样的特点，

14、被积函数最终能转化为全微分形式，解题思想体现在如下的过程：由于其中一个因子具有特点，这类因子具有结构，A可以为常数，也可以更一般的为函数。这类例子是在考研题目中经常出现，再看几个类似的例子。例16 计算。解、。例17 计算。解、化简得，对第二部分用分部积分公式，则。注、例14和例15具有相同的特点：被积函数虽然是由两种不同结构的因子组成，但是，它不像前面例子那样，能够通过分部积分公式直接将结果计算出来，它们的差别是：这类题目不能通过求导改变其中一个因子的结构，我们采取的处理方法是，先将被积函数转化为两部分，对其中的一部分用分部积分公式，所产生的不能计算的不定积分项正好与另一部分抵消。事实上，进

15、一步的分析发现，这类积分的结构特点是：被积函数正好是一个全微分形式，如例14的被积函数为，例15的被积函数为。例18 计算。分析 这个题目较难，难点在于被积函数有不同结构的因子，且不能象前面的例子那样通过分部积分进行结构转化，或利用其它方法抵消不易计算的部分或将被积函数转化为完全微分的形式，因此，这类题目必须挖掘其结构特点，把不同因子间的关系（包括微分关系）尽可能多的找出来，从而可以发现处理的方法。对本例，重点观察复杂因子，观察其微分特点可以发现，找到了这个关系，问题就解决了。解、。 关于三角函数有理式的不定积分的计算，一定要充分利用三角函数的关系式，微分关系式寻找简洁的方法，不要轻易用万能公

16、式。例19 计算。分析 计算的关键是化简分母，寻找分子和分母的关系，不存在可以利用的微分关系，进一步观察，二者的代数关系可以简化被积函数。解、法一、。法二、也可以利用三角函数自身的微分关系和代数关系来计算。分别作变换，则I。 注、可以看出，法一挖掘出了被积函数结构中更直接的关系，因而，计算过程较为简单。例20 计算。分析 挖掘被积函数结构的特点并充分利用三角函数的性质。解、。例21 计算。解、注意到，则做如下分解。则 ，即 ，故。关于三角函数有理式不定积分的进一步补充。 对不定积分，除万能公式外，下述特殊结构的特殊方法更简单些：1、若，可令进行有理化处理。事实上，此时，关于sinx为偶函数，即

17、表达式中只含有sinx的偶次项，故可设因而，由此，将原不定积分转化为有理式不定积分。 2、类似，若，可令进行有理化。3、若，可令进行有理化处理。事实上，由于利用，可得因而，中仅含cosx的偶次项，故可设，所以，这样就将原不定积分化为有理式的不定积分。例22 计算。分析 通过分析结构，具有特点。解、令，则。关于某些根式的不定积分，注意技巧。例23 计算。解：注意到 ，可采用如下变换，令 ，则，因而。关于 ，我们补充Euler变换：，通过上述变换能将积分有理化。看下面的例子。例24 计算。解、作Euler变换：，则，故，。 不定积分的计算中，还有一类题目是通过递推公式给出结论的。例25 计算。分析这类题目通常通过分部积分公式得到一个递推公式，要注意的是，在用分部积分公式时，我们希望出现什么类型的因子，以使得被积函数关于n 的指标升高或降低，从而得到递推公式，因此，在用分部积分公式前，我们通常先对被积函数进行配因子、变形、化简等，以便达到这一目的。对本例，我们希望出现的因子是三角函数sinx或cosx，因为二者之间及其微分之间都能相互转化，故，我们不能直接用分部积分公式，这样会产生多项式因子，因此，我