第七课无穷级数2010122(讲稿1)

1、第五课 无穷级数第一节 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念1.无穷级数：无穷数列的各项和,简称级数.一般项.2.,级数收敛.的和, 且有.如果没有极限, 则称级数发散.例1 判别无穷级数的敛散性.解: 由于所以,又因,故级数 收敛, 且 .提问 ：判断下列级数的敛散性1）：， 级数发散.2）：级数发散.二、几类特殊级数（结论当定理使用）（1）调和级数发散. (注意)（2） 讨论等比级数(几何级数)当时收敛.（3）连续复利(时时刻刻在计息 )若以连续复利率计息，将一笔元的人民币从现在起存银行，t年后的价值（将来值）为若t年后得到元的人民币，则现在需要存入银行的金额（现值）为二、无穷级数的

2、基本性质【性质1】收敛对任意的非负整数,有收敛.(若级数收敛，则其每一个余项级数收敛，即级数中去掉或添加有限多项后不改变级数的敛散性.)【性质2】与具有相同的敛散性(为非零常数). 例如 ，但 .【性质3】若与分别收敛于与, 则收敛，且 .注意：与同时收敛时，一定收敛.与有一个发散时，一定发散.【性质4】若收敛且,则将级数的项任意添加括号后所成的级数收敛且. 反之不然.（添加括号后所成的级数的部分和数列是原级数部分和数列的子列，而数列收敛时其子列必收敛.）反之不然.例如 收敛,但 却是发散的！【推论】若添加括号后所成的级数发散，原级数必发散.【性质5】若收敛, 则. 反之不然.(级数收敛的必要

3、而非充分条件)例如：级数发散.但.又如：级数发散，但是.提问：(87.2 是非题) 若级数与均发散,则级数必发散.答(非).例如和都发散,但却是收敛的.提问：判断下列级数的敛散性:(1)解,而, 该级数发散.(2)提示：是公比为收敛的几何级数,是公比为收敛的几何级数， 所以原数收敛.且.(3)级数发散，因为.例2(98.6) 设有两条抛物线和,记它们交点的横坐标的绝对值为,(1)求两条抛物线所围成的平面图形的面积;(2)求级数的和.解 由和得,由于图形关于轴对称,则因此 ,所以 .特别注意：由不能得出收敛的结论.第二节 正项级数的审敛法一、正项级数（各项）的，及其审敛法1.【定理1】(基本定理

4、): 正项级数收敛有界. 且此时说明：因,于是,可见单调递增.（注意：单调有界数列收敛）2.【定理2】(比较判别法): 设与均为正项级数, 且 , ,则(1) 收敛收敛; (2)发散发散.结论：级数收敛 .（此结论当定理使用）例3判断下列级数的敛性散.(1)提示：因为是发散的.（2）.提示：收敛.(3).提示：为正项级数.又收敛.（4）.提示：原级数收敛.例4设.（1）求的值.（2）证明当（常数）时，级数收敛.（1）解所以（2）证明 因为 ，且时，收敛，故原级数收敛.例5 讨论级数的敛散性.解：1）时由且收敛可得原级数收敛.2）时由且发散可得原级数发散.3）时由且发散可得原级数发散.结论：当通

5、项较容易通过不等式的放缩而找到已知敛散性的级数的通项时，可以选择比较判别法.利用比较判别法需要对调和级数、几何级数、P级数的敛散性非常熟悉.3.【定理3】(比较判别法的极限形式): 设与均为正项级数,若，则(1)当时,与有相同的敛散性；(2)当时,若收敛,则也收敛；(3)当时,若发散,则也发散.注意：利用比较的极限形式时常需用到极限的等价无穷小概念，时，例6（1）判别级数的敛散性.解: ,且 是收敛的级数（）级数收敛. . （2）判别级数的敛散性.（3）讨论级数的敛散性.解：令，则 且发散正项级数发散.例7判定级数的敛散性.解 （1）当时，发散.（2）当时，令，收敛（），所以原级数收敛.另解：

6、令 ,收敛（），所以原级数 收敛.（3）当时，令，收敛（），所以原级数收敛.另解：令 ,收敛（），所以 原级数收敛.综上所述时发散，时收敛.【结论】：当时，级数的通项能与常用的等价无穷小挂钩，此时考虑用比较判别法的极限形式进行判定.但必须给出通项比值的极限（与无穷大比较）以及已知级数的敛散性.4【定理4】(比值判别法,达朗贝尔判别法): 设为正项级数,若,则 (1)时, 级数收敛；(2) 或时, 级数发散；(3)时, 级数可能收敛也可能发散.例8（1）(88.3) 讨论级数的敛散性.解由 知原级数收敛.（2）讨论级数的敛散性.解 令，发散.(3)判断级数 的敛散性.解 令，由比值判别法知故级数

7、 收敛.(4)解 该级数的一般项，且 所以 ,故 原级数收敛.【结论】：对于不便用比较与比较的极限形式完成敛散性判别的级数，应考虑比值判别法，它的特点是用自身的相邻两项的后一项与前相邻一项比值极限判定.但注意极限与1比较大小.但必须注意：比值判别法对级数失效.5【定理5】(根式（柯西）判别法): 设为正项级数, 若，则(1)时, 级数收敛；(2)或时,级数发散；(3)时, 级数可能收敛也可能发散.【结论】：对通项的指数为与n次幂相关的级数可以考虑用根植判别法.例9判别下列级数的敛散性（1）解 令，因为，所以 级数 收敛.（2）解 令，因为，所以 级数 收敛.（3）.解由于, 所以级数发散.例1

8、0设，并且级数与都收敛，证明 级数 收敛.证明 设则即级数与都是正项级数.级数与都收敛，级数收敛，从而由正项级数比较判别法知级数也收敛；故 收敛.第三节任意项级数的绝对收敛与条件收敛一、交错级数形如 或的级数称为交错级数.其中, （）.【定理1】(莱布尼茨定理): 设为交错级数, 若满足(1) ,（）； (2) , 则收敛, 且级数和,其余项的绝对值.二、绝对收敛与条件收敛【定理2】 若收敛 ，则 收敛. （ 反之不然.）【定义】(1)若 收敛；则 级数收敛且绝对收敛.(2)级数收敛，但发散, 则收敛且条件收敛.例如: 级数绝对收敛, 而级数条件收敛.2【定理3】:如果任意项级数满足条件 或

9、,则 (1) 若,级数收敛，且绝对收敛. (2) 若,级数发散.例11判断下列级数的敛散性（1）提示：原级数收敛且绝对收敛.(2)提示：原级数收敛且绝对收敛.（3）提示：，收敛原级数绝对收敛.（更为简单的方法是什么？）(4)：正项级数收敛收敛.例12 (88.3) 设级数 与 均收敛,求证（1）绝对收敛.（2）收敛.（3）收敛.证（1）因为,而级数与均收敛,所以 收敛,由正项级数的比较判别法知收敛,故 收敛且绝对收敛.（2）因为级数 与 均收敛,又由（1）知收敛，又由 得收敛.（3）由于 ，级数 与 均收敛 收敛.再由正项级数的比较法得 级数 收敛 .提问（1）(94.3) 设常数,而级数收敛

10、,则级数 （ ）(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与有关分析：因为,而由题设知收敛,又 也收敛, 则原级数收敛且绝对收敛.答(C).（2）(03.4) 设则下列命题正确的是（）(A)若条件收敛,则与都收敛(B)若绝对收敛,则与都收敛(C)若条件收敛,则与的敛散性都不定.(D)若绝对收敛,则与的敛散性都不定.说明：若绝对收敛,则，都收敛,所以，都收敛.答案(B)（3）(96.3) 下述各选项正确的是（ ）(A)若与都收敛,则收敛.(B)若收敛,则与都收敛.(C)若正项级数发散,则.(D)若级数收敛,且,则级数也收敛.答由于,并由题设知与都收敛,则收敛,从而收敛.答案 (A).（4）(91.3) 设,则下列级数中肯定收敛的是(A) (B) (C) (D)答(D).由知,而收敛,则收敛,所以收敛,故选(D)（5） (06.4) 若级数收敛,则级数( ) (A)收敛(B)收敛(C)收敛 (D)收敛答(D).因为由收敛可知收敛,所以收敛.（6）(04.4) 设有下列命题: 1) 若收敛,则收敛；2) 若收敛,则收敛；3) 若,则发散；4) 若收敛,则,都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1)(2)(B) (2)(3)(C) (