第二章第五讲导数应用

1、第五讲导数的应用课程目标1灵活运用导数求解有关函数零点、交点，方程根的问题2掌握导数与相关知识点交汇问题的求解方法3能够运用导数求解实际问题课程重点1. 函数零点的判断，函数中参数范围的求解2. 导数与数列不等式的综合应用课程难点函数零点的判断、不等式恒成立问题的求解教学方法建议首先学习导数的基本应用，导数与函数的关系；准确把握函数与方程的关系，通过对“导数的应用”部分出现高考题型和方法精讲精练，运用数形结合思想、函数方程思想，求解相关问题。选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类（3）道（3）道（4）道B类（4）道（5）道（8）道C类（1）道（1）道（3）道一：考纲解读、有的放矢

2、理解导数与函数的基本关系，熟练运用导数解决函数的零点、交点问题,以及涉及到导数的一些证明问题。高考中导数应用多与函数性质、不等式数列等知识点交汇考察，以解答题出现，难度以中、高档题为主。二:核心梳理、茅塞顿开1、函数的零点方程的根：理解函数零点、方程根的本质：实际就是极值最值问题。2、导数与其他知识点的交汇，重点在于构造函数，运用导数研究其性质。三：例题诠释，举一反三知识点1：函数的零点问题例题1（2011深圳调研A）已知函数当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围变式：(广州2009调研B)已知函数 (R)(1) 当时，求函数的极值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围知

3、识点2：方程的根的问题例题2( 2009浙江20090423B)已知函数，其中设函数若在区间上不单调，求的取值范围；变式：（中山实验高中月考B）已知函数，是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由知识点3：不等式恒成立问题例题3（天津卷文A）已知函数f（x）=，其中a0. （）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若在区间上，f（x）0恒成立，求a的取值范围.变式：（2011广东省六校联考B）已知函数，且（）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（）对于恒成立，求的取值范围；变式：（2009广州二模B

4、）已知函数，其中。（1）若是函数的极值点，求实数的值；（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围。知识点4:导数在实际问题中的应用例题4(2009广州一模B)某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成. 每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一中型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x名(xN*)(1)设完成A 型零件加工所需时间为f(x)小时，写出f(x)的解析式；(2)为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？变式：（2011

5、珠海一模A）某地区预计从2011年初开始的第月，商品A的价格（，价格单位：元），且第月该商品的销售量（单位：万件）.（1）2011年的最低价格是多少？（2）2011年的哪一个月的销售收入最少？知识点5：不等式的证明例5、（2010华附月考B）已知、均为正数且求证：变式：（一中月考A）若，求证：x知识点6：导数与向量的交汇例6、（2011广雅月考A）已知平面向量=(,1). =(,).（1）若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t23)，=-k+t，试求函数关系式k=f(t) ；(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)k=0的解的情况.变式：（2010省实月考A ）设平面向量若存在不同时

6、为零的两个实数s、t及实数k，使（1）求函数关系式；（2）若函数在上是单调函数，求k的取值范围。知识点7：导数与三角函数的交汇例7、(2009辽宁B)设，且曲线yf（x）在x1处的切线与x轴平行。（I） 求a的值，并讨论f（x）的单调性；（II） 证明：当变式：（09广东高考C）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；（2）证明：知识点8：导数与数列的交汇例8、（2010惠州市高三第三次调研C）已知函数（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；（2）当时，求在上的最大值和最小值；（3）当时，求证：对大于1的任意正整数，都有变式：（2010深圳高级中学一模B）设函数f

7、(x) = x2 + bln(x+1),（1）若对定义域的任意x，都有f(x)f(1)成立，求实数b的值；（2）若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（3）若b = - 1,，证明对任意的正整数n，不等式都成立四：方向预测、胜利在望1、(B级)已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点，且1是其中一个零点（1）求的值；（2）求的取值范围；（3）试探究直线与函数的图像交点个数的情况，并说明理由2、（A级）已知函数，（）判断函数的奇偶性；（）求函数的单调区间；（）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围3、（A级）已知函数（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是

8、，求的值；（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围4、（B级）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点5、（A级）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用）6、（B级）（1）求证（2）求证7、（B级）已知函数的一个零点，又在x=0

9、处有极值，在区间（6，4）和（2，0）上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反.（1）求c的值；（2）求的取值范围；（3）当成立的实数a的取值范围.8、（B级）已知函数(1)若函数在时有与轴平行的切线,求的表达式;(2)设,其中是的导函数,若函数的图像与直线相切,求的值;(3)设,当实数在什么范围内变化时,函数的图像与直线只有一个公共点.9、（A级）商场现有某商品1320件，每件成本110元，如果每件售价200元，每天可销售40件。节日期间，商场决定降价促销，根据市场信息，单价每降低3元，每天可多销售2件每件售价多少元，商场销售这一商品每天的利润最大？如果商场决定在节日期间15天内售完，在不亏

10、本的前提下，每件售价多少元，商场销售这一商品每天的销售额最大？10、（C级）已知，函数（）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；（）若在区间上是单调递增函数，试求实数的取值范围；（）当时，设数列的前项和为，求证：11、（B级）设函数（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围12、（C级）设函数（）证明：当时，；（）设当时，求a的取值范围13、（B级）已知函数在是增函数,在（0,1）为减函数（1）求、的表达式；（2）求证：当时,方程有唯一解；（3）当时,若在内恒成立,求的取值范围14、（B级）设函数，在其图象上一点处的切线的斜率记为 (1)若方程有两个

11、实根分别为-2和4，求的表达式； (2)若在区间上是单调递减函数，求的最小值。15、（C级）已知（为常数）在时取得一个极值，（1）确定实数的取值范围，使函数在区间上是单调函数；（2）若经过点A（2，c）（）可作曲线的三条切线，求的取值范围答案：例题1的取值范围是或变式：（1）当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为. 6分（2）综上所述，a的取值范围是知识点2：方程的根的问题例题2所以；变式：知识点3：恒成立问题例题3（天津卷文）（）解切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（）解不等式组得-5a2，则.当x变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-0+f(x)极

12、大值极小值当时，f（x）0等价于即，解不等式组得变式：（2011广东省六校联考）解：（）在定义域上是奇函数。 .4分（）变式：（2）综上所述，的取值范围为知识点4:导数在实际问题中的应用例题4(xN*，且1x49). 2分(2) x=32.答：为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取32. 12分变式：（2011珠海一模）当时，取得最小值，即第6月的价格最低，最低价格为元；4分（2）所以当时，最小，即第5个月销售收入最少. 13分答：2011年在第5月的销售收入最低. 14分例5.略例6、（2011广雅月考B(1)当k或k时,方程f(t)k=0有且只有一解；(2)当k=或k=时,方程f(t)k

13、=0有两解；(3) 当k时,方程f(t)k=0有三解.变式：（2010省实月考A）（2）。知识点7：导数与三角函数的交汇例7、在，单调减少，在单调增加. 6分（） 12分变式：（），（）综上，成立知识点8：导数与数列的交汇例8、解得b= - 4.（2）综上所述，实数b的取值范围是。变式：略四：方向预测、胜利在望（2）故的取值范围为（3）综上所述，当时，直线与函数的图像有一个交点当或时，直线与函数的图像有二个交点当且时，直线与函数的图像有三个交点2、为偶函数 3分（）递增区间是和；递减区间是和 8分III若方程有实数解，则实数的取值范围是（，11，） 14 分3、解析：（），解得，或（）整理得：，解得4、解：当时，解得当时，解得（2）综上，当时, 函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.5、因此当时，取最小值；6、（1）证：（2）7、解：（1）（2）（3）即存在实数，满足题目要求. 8、解:(1)(2)解得.7分(3)综上可得的取值范围是.14分9、当时，有最大值3750元-6分所以时有最大值11264元-11分，答（略）-12分10、（）所以不是定义域上的单调