第三章微分法建模

1、第三章 微分法建模微分概念是高等数学中的基本概念，它表示两个变量之间的变化率.尽管大多数学过高等数学的同学对微分概念很熟悉，但灵活地将微分概念运用于数学建模并不是件容易的事情.3.1微分法纯增长率概念纯增长率(pure growth rate)也叫净增长率(net growth rate)，它是微分法建立数学模型最常用的概念之一.令记某个量在时刻的值.我们可以设想这个量是某生物种群中个体总数.其实它也可以是地球上人类人口数，或是某集团公司的资本总量等等.这个量可以用不同方式计量，例如人口数量以百万计算；厂商资本的总量以百万元计算；植物的净重以公斤计算；某鱼类种群的数量以公斤计算等等.我们假设它

2、的值可以取某个区间内的任何实数，也就是认为它是一个连续的量.令表示在单位时间现有每单位种群诞生或新加入种群的单位数，并称它为瞬时出生率(instantaneous birth rate)，又令记现有种群单位数.于是，在长度为的无穷小时间区间中，实际增加的种群单位数近似的为.这里之所以说是近似值，是因为通常随时间而变化，即，因而我们在出生率前面加上了形容词“瞬时的”.在无穷小区间内，从变到.类似地，从变到.另一方面，区间又如此之短，以至于在此区间中的值与的值没有多大区别，而与的值也同样没有多大的不同.通常认为，和对至少连续，并且假设对还是可微的.因此当时，,这里“大”定义为当时的无穷小量，即.现

3、在我们可以更确切地写出在无穷小区间内种群实际增加的单位数，这就是令记在单位时间现有每单位种群中死亡或离开种群的单位数，并称它为瞬时死亡率(instantaneous death rate).于是类似于上面的讨论，在无穷小区间内，实际离开种群的单位数为显然，上面两式之差就是在无穷小区间内种群纯增加的单位数，这也正好是增加的数量，所以有现在定义纯增长率为单位时间现有每单位种群中纯增加的种群单位数.因为为瞬时出生率与瞬时死亡率之差，亦即.于是，得到取极限即得从而有如果用表示当时的高阶无穷小量，即.则()式的右端可改写为(3.1.2)式本身并不是一个数学模型，而只是纯增长率的定义，它通常是函数.但是一

4、旦对这个函数的具体形式作出假设，它就成为一个数学模型.微分方程及其初等解法用微分法建立的数学模型通常都可以用微分方程来表示，因此模型的求解会利用到微分方程的解法.大多数情形下，由于建立的模型比较复杂，很难用初等积分方法来求精确解，这时需要用数值方法来近似求解.但对于较为简单的情形，可以用分离变量法、常数变异法等方法来求得精确解.这些方法在常见的常微分方程书中都可以找到，所以这里不再重复.3.2 Malthus模型及其修改3.2.1 连续Malthus人口模型设某地区的人口总数为.1798年，英国人T.J.Malthus在研究了百余年的人口统计资料之后，他发现了单位时间人口的净增长与人口总数成正

5、比的规律，即(3.2.1)当时，上式变为微分方程(3.2.2)根据现实状况，配以适当的初始条件如：(3.2.3)系统(3.2.2)(3.2.3)可求解为：(3.2.4)这就是著名的Malthus人口模型.这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好的吻合，但是当后来人们用它与19世纪的人口资料比较时却发现了相当大的差异.人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代的人口数量比较符合该模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却与此模型相去很远.在理论上，当时，.这意味着该地区人口数量可以无限制地增大，这与现实是相矛盾的. 湖泊污染的减退考虑一个受某种物质污染的湖水.假设这个湖的湖水体积（以立

6、方米计）不变，且污染物质均匀地混合于湖水中.以记在任意时刻每立方米湖水中所含污染物质的克数，这是污染程度的一种合理量度，习惯上称之为污染浓度.令表示每天流出的湖水立方米数，由假设，这也等于每天流入湖里的水量.我们的问题是：如果某时刻污染物质突然停止进入湖水，此时流入湖里的全部是干净水，那么需要经过多长时间才能使湖水的污染浓度下降到开始时（即污染停止时）污染浓度的或环保要求？考虑在时间段上湖水污染浓度的变化.因为湖水所含污染物的量的减少是由污水流出造成的，故(3.2.5)当时，上式变为微分方程(3.2.6)考虑如下的初始条件：(3.2.7)于是(3.2.6)(3.2.7)可求解为：(3.2.8)

7、这是Malthus模型的另一个版本.利用(3.2.8)我们可以解决前面提出的问题.式(3.2.8)告诉我们：(3.2.9)将代入(3.2.9),就可以计算出污染浓度下降到开始时（即污染停止时）污染浓度的所需的时间为：我们把此结果应用于北美的两大湖：安大略湖和伊利湖.这两个湖的湖水体积分别为和立方米，而平均流量分别为每天和立方米.因此安大略湖的天或23.5年，伊利湖的天或7.8年.由于建立模型时有两个假设；一、污染物质均匀的混合在湖水中.二、流入（或流出）湖水的流量是一个常数.故我们建立的模型与现实是有差距的.当然，如果实际流量的季节性变化对污染没有太大的影响，而污染物质与湖水混合不均匀尽可能延

8、长净化时间的话，上面的结果就可能看成是所需净化时间的一个下限.这是我们从这个简单的模型中所得到的一个很有用的信息.3.2.3Malthus模型的修改Verhulst模型对Malthus模型的修改中最著名的是Verhulst模型.考虑到单位时间单位人口的净增长率并不一定是一个常数，那么最简单的假设是线性关系.理论上，如果没有自然灾害、疾病或战争，人类的总数会不断增加，这样必然导致人类生存竞争的加剧和人类生存环境的恶化.事实上，单位时间单位人口的净增长率呈下降趋势.因此人口数量的变化可以考虑关系：(3.2.10)当时，上式变为微分方程(3.2.11)其中，都是正常数.边界条件(3.2.2)在这里是

9、同样适合.从方程发现，如果，则，从而单调增加趋于最大群体数；如果，则，从而单调减少趋于最大群体数.事实上，令，方程(3.2.11)变为线性方程其解为：，其中从而(3.2.13)其中.显然，当时，.当分别取时图形如图3.1所示.并称的图像为Logistic（逻辑斯提克）曲线，而相应的微分方程也称为Logistic（逻辑斯提克）方程.3.2.4 植物的生长模型令为某种植物在时刻的净重（或干重，即不包含水分的重量）.设这种植物吸取一种养料而生长，记这种养料在时刻的重量为.一般而言，养料越多，植物生长得就越快；反之，养料越少，植物生长得就越慢.因此最简单的假设是：时刻单位时间单位净重量植物的净重量的增

10、长与养料在时刻的重量成正比，即(3.2.14)这里是正常数.我们也可以假设别的，例如时刻单位时间单位净重量植物的净重量的增长与养料在时刻的重量的平方成正比，或与养料在时刻的重量的二分之三次方成正比等等.但在缺少有关该植物本身进一步信息的情况下，我们区分不出哪一个假设更正确，因此我们采用其中最简单的假设.当然，这也可能是一个很好的假设，如果不是，以后还可以修改.由式(3.2.14)即得(3.2.15)此时，由于养料在时刻的重量未知，所以(3.2.15)还不能单独求解.我们必须寻求其它的量关系.为此，我们假设养分被植物吸收后全部转化成了植物的净重量，没有丢弃任何东西.这意味着，任意时刻单位时间养分

11、减少的重量与植物净重量的增加相等，此关系可表示为：(3.2.16)上式中“负号”表示植物的净重量增加时养分的重量减少.从(3.2.16)中马上可以得到(3.2.17)其中常数为对应于时的值.方程(3.2.15)和(3.2.17)一起便可求解.将(3.2.17)代入(3.2.15)，得到(3.2.18)这就是植物生长的数学模型.它的解为：(3.2.19)其解曲线如图3.2所示.注意到曲线是S形的，先向上弯曲到拐点，然后向下弯曲，并且当时逼近于水平渐近线.不难发现，我们又一次得到了Logistic方程和Logistic曲线，即方程(3.2.18)和曲线(3.2.19).这是生态学中最重要的数学模型

12、之一.实践中，植物的生长会在有限时间内达到它的最大净重量，而在(3.2.19)中说明只有当时才逼近于.这说明该模型只是抓住现象的本质特点，而不是现实过程的模仿.实际测量数据是判断模型有效性的唯一根据.当适当选择和的值之后，上述模型对一年生的植物生长给出了很好的描述.练习蚂蚁群体的死亡率同当时的数目成正比.如果不出生幼蚁，则在一周末总数减少一半.然而，由于要产幼蚁，出生率也同现有总数成正比变化，并且两周内蚁群总数翻一番.试确定每周该群体的出生率.一个大罐装有50升的盐水，其内溶有50公斤的盐，水以每分钟2升的速度注入该罐，并且搅拌好的溶液以同样的速度流进原先装有50升纯水的二级罐，试确定25分钟

13、后二级罐内溶液的浓度.假设Verhulst方程(3.2.11)变为试求解之.并比较(3.2.11)的解.如果变为又如何？两棵植物种在一起，按比例吸取养分，试建立它们的生长模型.3.3传染病传播的数学模型人们将传染病的统计数据进行处理和分析发现，在某一地区某种传染病传播时每次所涉及的人数大体上是一个常数.这一现象如何解释呢？下面我们建立传染病传播的数学模型并用我们建立的数学模型来解释这种现象.传染病传播涉及的因素很多，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等，如果还要考虑人员的迁入和迁出，潜伏期的长短以及预防疾病的宣传等因素的影响，那么传染病的传播变得非

14、常复杂.如果一开始就把所有的因素统统考虑进去，那么我们将陷入多如乱麻的头绪中而不能自拔，倒不如舍弃众多的次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型.将所得结果与实际比较，找出问题，修改原假设，再建立一个与实际比较吻合的模型.下面由简单到复杂将建模的思考过程作一示范，读者可从中得到很好的启发.模型一考虑最简单的情形.假设（1），每个病人在单位时间内传染的人数是常数；假设（2），一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡，即他一旦得病后就一直是病人.记表示时刻病人数，表示每个病人单位时间内传染的人数，即最初有个传染病人，则在时间内增加到病人数为于是得微分方程(3.3.1)这也是一个Ma

15、lthus模型.其解为：(3.3.2)结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的.这个结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长.但由(3.3.2)式可知，当时，这显然与实际情况不能相符.问题在于两条假设均不合理.特别是假设（1），每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际不符.因为在传播初期，传染病人少，未被传染者多.而在传染病传播中期和后期，传染病人逐渐增多，未被传染者逐渐减少，因而在不同时期的传染情况是不同的.为了更好的吻合实际情况，我们在原有基础上修改假设建立新的模型.模型二用，表示时刻传染病人数与未被传染人数.假设（1），每个病人在单位时间内传染的人

16、数与这时未被传染人数成正比，比例系数是常数；假设（2），一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡，即他一旦得病后就一直是病人；假设（3），该地区总人数不变，设为.即.由以上假设得微分方程：(3.3.3)注意到该模型与植物的生长模型一致.因此，可以类似地求解此模型.其解为：(3.3.4)其图形如图3.3所示.模型(3.3.3)可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间.医学上称为传染病曲线，它表示传染病人增加率与时间的关系，如图3.4所示.由(3.3.4)式可解出(3.3.5)令，得极大值点为：(3.3.6)由此可见，当传染病强度或总人数增加时，都将变小，即传染病高峰来的快.这与实际情

17、况吻合.同时，如果知道了传染病强度（由统计数据得出），即可预报传染病高峰到来的时间，这对于防治传染病是有益的.模型二的缺点：当时，由(3.3.4)式可知，.即最后人人都要生病.这显然是不符合实际情况的.造成的原因是假设（2）中假设了人得病后经久不愈.为了与实际问题更加吻合，对上面的数学模型再进一步修改，这就要考虑人得了病后有的会死亡，另外不是每个人被传染后都会传染给别人，因为其中一部分会被隔离.还要考虑人得了传染病由于医治和人的自身抵抗力会痊愈，并非象前面假设那样人得病后经久不愈.为此作出新的假设，建立新的模型.模型三在此模型中，虽然要考虑比前面两个模型复杂得多的因素，但仍然要把问题简单化.设

18、患过传染病而完全病愈的任何人具有长期免疫力，不考虑反复受传染的情形.并设传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即是一个人患了病之后立即成为传染者.在这种情况下，把居民分成三类：第一类是由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的.用表示时刻第一类人数.第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的.用表示时刻第二类人数.第三类包括患病死去的人，病愈后具有长期免疫力的人，以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔离起来的人.用表示时刻第三类人数.假设疾病传染服从以下法则：（1）在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平，即不考虑出生及其它原因引起的死亡，以及迁入与迁出等情况.（2）易受传染者人数的变化率正

19、比于第一类的人数与第二类人数的乘积.（3）由第一类向第三类转变的速率与第一类的人数成正比.由假设（1）（2）（3）得微分方程组：(3.3.7)其中为两个比例常数，为传染率，为排除率.由个方程相加得则故.由此可知，只要知道了和，即可求出.而(3.3.7)式的第一和第二个方程与无关，因此由(3.3.8)得，(3.3.9)从而当时，记，有下面讨论积分曲线(3.3.10)的性质.由(3.3.9)知所以当时，是的增函数，时，是的减函数.由连续函数中间值定理及单调性知，存在唯一点，时，使得.而当时，.由(3.3.8)式知时，所以为方程组(3.3.8)的平衡点.当时，方程(3.3.10)的图像如图3.5.图

20、3.5当由变化到时，点沿图3.5中诸条曲线移动，并沿减少的方向移动，因为随时间的增加而单调减少.因此，如果，则单调减小直到零，单调减小直到.所以，如果为数不多的一群传染者分散在居民中，且，则这种传染病会很快被消灭.如果，则随着减小到时，增加，且当时，达到最大值.当时，才开始减小.由以上分析可以得出如下结论：只是当居民中的易受传染者的人数超过阈值时传染病才会蔓延.用一般的常识来检验上面的结论也是合理的.当人口拥挤、密度高、缺乏应有的科学文化知识、缺乏必要的医疗条件、隔离不好而排除率低时，传染病会很快蔓延；反之，人口密度低、社会条件好、有良好的公共卫生设施和较好的管理而排除率高时，则疾病在有限范围

21、内出现却很快被消灭.如果起初易受传染的人数大于但接近于阈值，即如果与相比是小量，则最终患病的人数近似于2.这就是著名的传染病学中的阈值定理.生物数学家Kermack和Mekendrick在1927年首先证明了这个定理.定理（传染病学中的阈值定理）设，且假设与1比相是小量.并设最初传染者人数很小，则最终患病的人数为.即是易受传染者的人数最初比阈值高多少，那么最终就会比阈值低多少.根据阈值定理就可以由起初易受传染者的人数来估计最终患病的人数.这个定理揭示了研究人员长期以来难以解释的为什么对于某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一个常数的现象.在传染病发生的过程中，不可能准确地

22、调查每一天或每一星期得病的人数.因为只有那些来医院就医的人才能被人知道他们得了病，并把他们隔离起来防止传染.因此，统计的记录是每一天或每一星期新排除者的人数，而不是新得病的人数.所以，为了把数学模型所预示的结果同疾病的实际情况进行比较，必须解出(3.3.7)的第三个方程.(3.3.11)因为即得所以代入(3.3.11)得(3.3.12)方程(3.3.12)虽是可分离变量的，但是不能用显式求解.如果传染病不严重，则是小量，取泰勒级数的前三项，近似得其解为其中，因此(3.3.13)方程（3.3.13）在平面上定义了一条对称钟形曲线，称为疾病传染曲线.如图3.6.疾病传染曲线很好的说明了实际发生的传

23、染病.每天报告的新病案的数目逐渐上升到峰值，然后又减少下来.Kermack和Mekendrick把(3.3.13)得到的的值与取自1905年下半年至1906年上半年在孟买发生的瘟疫资料进行比较，模型值与实际值非常接近.这说明模型III是很好的.3.4Lanchester作战模型问题：两军对垒，现甲军有个士兵，乙军有个士兵，试计算战斗过程中双方的死亡情况以及最后的胜负状况.这个问题提得很模糊.因为战争是一个很复杂的问题.涉及因素很多，如兵员的多少，武器的先进与落后，两军所处地理位置的有利与不利，士气的高低，指挥员的指挥艺术，后勤供应状况，气候条件等诸多因素.因此，如果把战争所涉及到的所有因素都考

24、虑进去，这样的模型是难以建立的.但是对于一个通常情况下的局部战争，在合理的假设下建立一个作战数学模型，读者将会看到得出的结论是具有普遍意义的.在第一次世界大战期间，Lanchester(兰彻斯特)投身于作战模型的研究，他建立了一些可以从中得出交战结果的数学模型.并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定理”：作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比.对于一次局部战争，有些因素可以不考虑，如气候，后勤供应，士气的高低，而有些因素我们把双方看成是相同的，如武器配备、指挥艺术.还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数.两军士兵都处于对方火力范围内.由于战斗紧迫、短暂，也不考虑支援部队.根据

25、问题的不同，Lanchester将战争分成三种：正规战、游击战和混合战.正规战是指战斗双方都处于对方的视野中，没有掩护.游击战是指战斗双方都处于各自的掩体内不被对方看见，作战射击目标是一个范围而不是单个个人.混合战是指战斗双方其中一方处于自己的掩体内而另一方处于对方的视野中，即一方是游击战而另一方是正规战.正规战模型令表时刻甲军人数，表时刻乙军人数.在以上假设下，显然甲军人数的减员人数成正比，同样乙军人数的减员率与甲军人数成正比，可得正规部队的作战模型为：(3.4.1)其中，均为常数，(3.4.1)式中两式作比值，可积分得(3.4.2)这就是“兰彻斯特平方定理”，(3.4.2)式在平面上是一族

26、双曲线.如图3.7所示，双曲线上箭头所指方向表示战斗力随着时间而变化的方向.图3.7中，.是一条过原点的直线，它将平面分成两部分：（直线上方的部分）和（直线下方的部分）.由图3.7知，当时，曲线与轴有一个交点.此时，因为甲部队的士兵人数先减少为，因此，乙部队获胜.从(3.4.2)式我们知道，乙方要获胜，就要使不等式成立.可采用两种方式：（1）增大，即配备更先进的武器.（2）增加最初投入战斗的人数.但是，值得注意的是：在上式中增大两倍，结果也增大两倍.但增大两倍则会使增大四倍.这正是两军摆开战场作正规战时兰彻斯特平方定理的意义，说明兵力增加，战斗力将大大增加.下面考虑一个具体的数值例子.设甲军有

27、人，乙军有人，两军装备性能相同，即令，于是(3.4.2)为或因为战斗结束时一方人数为.显然，甲军获胜.最后，乙军被消灭即，从而由解得.这说明甲方战斗死亡13人，剩余87人，乙方50人全部战斗死亡.另外，如果考虑两军作战时有增援.令和分别表示甲军和乙军时刻的增援率.所谓增援率，就是增援战士投入战斗或战士撤离战斗的速率.即时刻单位时间增援的战士人数.此时正规战对正规战的作战模型为：(3.4.3)混合战模型如果甲军是游击战，乙军是正规战.由于游击战对当地的地形比较熟悉，常常处于不易被对方发现的有利地形.设游击部队占据区域，由于乙军看不清楚甲军，只好向区域射击，但并不知道杀伤情况.我们认为如下的假设是

28、合理的：游击部队的战斗减员率与自己部队人数成正比.因为越大，目标越大，被敌方子弹命中的可能性就越大.另一方面，游击部队的战斗减员率还应当与对方部队人数成正比.因为越大，火力越强，的伤亡人数也就越大.因此游击部队的战斗减员率等于，常数称为敌方的战斗有效系数.如果和分别为游击队和正规部队增援率，则游击队和正规部队的作战模型为(3.4.4)若无增援和，则(3.4.4)式为(3.4.5)(3.4.5)式中两个方程相比，积分得(3.4.6)(3.4.6)式在平面上定义了一族抛物线，如图3.8所示.如果，则正规部队胜.因为当减小到，部队已经被消灭.同样，如，则游击队胜.游击战模型甲乙双方都是游击部队，因而

29、双方都隐藏在对方不易发现的区域内活动.由混合战部分的分析，得游击战数学模型(3.4.7)其中和分别为甲军和乙军的增援率，分别为乙军和甲军的战斗有效系数.如果甲乙双方的增援率均为零，则游击战模型(3.4.7)变为(3.4.8)(3.4.8)式中两个方程相比，积分得(3.4.9)(3.4.9)式在平面上定义了一族直线，可通过修改图3.7或图3.8的程序来在计算机上输出这一族直线的图像.如图3.9，当时，它是这族直线中过原点的一条.此时甲乙双方战平（因为双方人数都减少为零），条件为；当时，即，此时乙方胜（因为甲方人数减少至零时，乙方还有士兵人数为）.最后，当时，即，甲方胜（因为乙方人数减少至零时，甲

30、方还有人数为）.图3.9中，.几点说明：（1）在模型（3.4.3）中，如果已知，则可用显式求解.但对于模型(3.4.4)和模型(3.4.7)，因为方程组是非线性的，求解困难.一般用计算机求近似解.（2）事前确定战斗有效系数的数值通常是不可能的.但是对已有的战役资料来确定它们的适当值，那么对于其它类似于同条件下的战斗，这些系数就可认为是已知的了.因此，在以上意义下，Lanchester作战模型具有普遍意义.JHEngel将第二次世界大战时美国和日本为争夺硫黄岛所进行的战斗资料进行分析，发现与Lanchester作战模型非常吻合，这就说明了Lanchester作战模型是能够用来描述实际战争的.3.

31、5新产品的推销与广告3.5.1新产品推销模型一种新产品问世，经营者自然要关心产品的卖出情况.下面我们根据两种不同的假设建立两种推销速度的模型.模型A假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出去的产品实际上起着宣传的作用，吸引着未购买的消费者.设时刻卖出去的产品数目为，再假设每一产品在单位时间内平均吸引个顾客，则满足微分方程(3.5.1)设初始条件为(3.5.2)易得上述微分方程的解为(3.5.3)此即著名的Malthus模型，下面我们针对模型结果(3.5.3)进行一下分析和验证.（1）经过与实际情况的比较，发现(3.5.3)式的结果与真实销售量在初始阶段的增长情况比较吻合.（2）在产品卖

32、出之初，时显然，这时由(3.5.3)易得，这一结果自然与事实不符.产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推销的，然而在最初产品还未卖出之时，按照自然推销的方式，便不可能进行任何推销.事实上，厂家在产品销售之初，往往是通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的.（3）令，从(3.5.3)式易得到，若针对某种耐用品来讲，这显然与事实不符.事实上，往往是有上界的.针对模型的上述（2）和（3）的欠缺，我们用下面的模型来改进.模型设需求量的上界为，假设经营者可通过其它方式推销产品，这样，产品的增长也与尚未购买产品的顾客有关，故比例系数仍记为，则满足(3.5.4)再加上初始条件(3.5.5)利用分离变量方法易求得上述微分方程的解(3.5.6)此即Logistic模型.当时若，则易从(3.5.6)式得到.另外，在(3.5.6)式中，令，易得到（见图3.10）.这样，从根本上解决了模型的不足.由式(3.5.4)式易看出，即是关于时刻的单调增加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少.另外，对(3.5.4)式两端求导，得故令，得到.如