第二章第11节曲面积分的计算

1、第二章曲面论第七节曲面积分的计算一、 第一类曲面积分的计算 例1 . 计算下列曲面积分：（1），其中是四面体的边界；（2），其中是抛物面；（3）， 其中是圆锥面被圆柱面所割下的部分.解 （1）曲面由四部分组成，；对曲面，故 ；（2）曲面，,，由区域的对称性和被积函数的对称性，再利用极坐标变换， ；（3）所截得的曲面为：，；采极坐标变换计算此二重积分，；.例2、设是上的连续函数，试证：，其中。解 取新坐标系，其中原点不变，平面即为，轴垂直于该面，即是作正交变换，点在中的坐标为，则有，在新坐标系下，公式左端的积分可写为， 。例3、设是上的连续函数，证明：，其中为.证明 取新坐标系，其中原点不变，平

2、面即为，轴垂直于该面，点到平面的距离为；点在中的坐标为，则有在新坐标系下，公式左端的积分可写为显然，球面的方程为或，若表示成参数式，则为其中 ；， ，从而，于是，最后得到.例4、设表示从原点到椭球面，上点处的切平面的距离，求第一型曲面积分.解：容易知道，椭球面上点处的切平面方程为，于是，即得，由对称性，.二、 第二型曲面积分的计算例1. 计算下列第二型曲面积分： （1），其中，内侧； （2），其中，外侧.解（1）因为球面的内单位法向量为，所以 ；（由曲面的对称性与被积函数的奇函数性质。）（2）因为球面的外单位法向量为，所以 .例2 . 计算积分，其中，外侧.解 上半椭球面，上侧；下半椭球面，下

3、侧；，故 .例3 . 计算积分，其中的边界，外侧.解 ；首先计算，在长方体的六个面上，显然在长方体的四个侧面上，在上底面的上侧，在下底面的下侧；于是 ，同理 ，故 .例4.计算积分，其中：，外侧.解 方法一 根据轮换对称,只要计算一个积分,例如计算,其中上半椭球面的方程为,， 下半椭球面的方程为, 先转换成二重积分，然后利用广义极坐标,即得；于是,我们有； 方法二 上半椭球面的方程为,下半椭球面的方程为,;方法三 ，其中；， 故 .三、 高斯公式的运用于计算第二类曲面积分例1. 计算积分，其中为区域的边界的外侧.解 这里，：，由高斯公式，得.例2. 计算积分，是抛物面，方向朝下.解 （由于不是

4、封闭曲面，需要补充一部分曲面，构成一个封闭曲面.）区域：，边界，方向朝区域外.，方向朝上；显然，利用高斯公式，得，再由 ，得出 .例3. 计算积分，是锥面，方向朝下.解 （由于不是封闭曲面，需要补充一部分曲面，构成一个封闭曲面.）区域：，边界，方向朝区域外.，方向朝上；显然，利用高斯公式，得，再由 ，得出 .例4. 计算积分，其中为球面的外侧.解 区域，利用高斯公式，得.例5. 设是一闭域，表示区域的边界，向量是的单位外法向量，是一个固定的向量.求证 .证明设，因为，利用高斯定理得 .例6.设是一闭域，表示区域的边界，向量是的单位外法向量，点.令，且.求证： .证明 先设点，利用高斯定理得，故

5、； 当点，而在的内部时，这时在上不能直接应用高斯公式。必须用一小区域将点挖掉，即以为中心，为半径作一开球（充分小），其边界（球面）以表示.对闭域应用高斯公式，仿上可得，在（球面）以上，（是上的单位外法向）的方向与方向相反，于是，从而，由此可知，在前式中令，取极限，即得,故 .例7、计算解:这是一个第二类曲面积分,我们不妨假设其方向为外法线方向. 设,经演算得到,在原点附近补一个小椭球,使其完全包含在内,在与之间的区域,被积函数有连续偏导数，由,满足公式 , 所以=(利用公式),或者在曲面积分时作代换 ， ,，, .四、 斯托克斯公式运用于计算第二类曲线积分例1. 计算曲线积分 ,其中为圆周，,

6、从轴正向往负向看,的方向是顺时针的. 解 解法一 (利用曲线的参数方程直接计算.)曲线是圆柱面与平面的交线,这是一个椭圆,其参数方程为,由于是顺时针方向,所以从变到0.于是 .解法二 (利用斯托克斯公式.)用记平面在圆柱内的部分， 平面的方向，所以 . 例 2. 计算曲线积分 ,其中为圆周，,从轴正向往负向看,的方向是逆时针的. 解 用记平面在球内的部分， ,平面的方向，利用斯托克斯公式，得.例 3. 利用斯托克斯公式计算下列积分：（1），为圆周，从原点向第一卦限看去，是反时针方向绕行的；（2），为椭圆，眼睛从点向看去，是反时针方向绕行的；（3），为，从原点向看去，是反时针方向绕行的. 解 （1） 用记平面在球内的部分， 平面的方向，利用斯托克斯公式，得.（这里选曲线所围的曲面为平面，计算来的就简单；若选曲线所围的曲面为半球面，则计算起来就难了.以曲线为边界的曲面，有许多个，