第七章微分方程

1、第七章 微分方程函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系可以对客观事物的规律进行研究。但在多数情况下，无法直接找到要研究的问题所需的函数关系，却比较容易建立起该函数及其导数的关系式，即微分方程。再通过解这种方程，就可得到该函数关系。微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。目前已广泛的应用于自然科学、工程技术、人口科学、经济学、医学等各个领域,已成为应用数学知识解决实际问题的重要手段。本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的解法。第一节 微分方程的基本概念一 引例下面通过几个实例来说明微分方程的基本概念。例1一曲线y=y(x)通过点(1,2),且在该曲线

2、上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.解根据导数的几何意义知,. (1)且y=y(x)满足下列条件:x=1时,y=2, (2)把(1)式两端积分,得,即y=x2+C, (3)其中C是任意常数.把条件（2）代入(3)式,得2=12+C,由此定出C=1.把C=1代入(3)式,得所求曲线方程y=x2+1. （4）例2列车在水平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶;当制动时列车获得加速度-0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米.根据题意,反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应

3、满足关系式.(5)此外,未知函数s=s(t)还应满足下列条件:t=0时,s=0,. (6)把(5)式两端积分一次,得; (7)再积分一次,得s=-0.2t2 +C1t+C2, (8)这里C1,C2都是任意常数.把条件t=0，v=20代入(7)得20=C1;把条件t=0，s=0代入(8)得0=C2.把C1,C2的值代入(7)及(8)式得v=-0.4t+20,(9)s=-0.2t2+20t. (10)在(9)式中令v=0,得到列车从开始制动到完全停住所需的时间(s).再把t=50代入(10),得到列车在制动阶段行驶的路程s=-0.2´502+20´50=500(m).上面的两个

4、例子，尽管实际意义不相同，但解决问题的方法，都是归结为首先建立一个含有未知函数的导数的方程，然后通过所建立的方程，求出满足所给的附加条件的未知函数这就是所谓的微分方程及其解微分方程。下面我们来介绍有关微分方程的一些基本概念。二 微分方程的基本概念1微分方程及其阶的概念:一般的，凡表示未知函数、未知函数的导数（或微分）与自变量之间的关系的方程,叫微分方程（简称方程）.未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程.如例1中的方程（1）和例2中的方程（5）都是常微分方程。未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程.本章只介绍常微分方程(以后未特殊说明常微分方程都简称为微分方程).微分方程中所出现的未知函数

5、的最高阶导数的阶数,叫微分方程的阶.例如方程（1）是一阶微分方程，方程（5）是二阶微分方程。一般的，n阶微分方程表示为:F(x,y,y¢,×××,y(n) )=0 或y(n)=f(x,y,y¢,×××,y(n-1) ) 2 微分方程的解与通解满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解.确切地说,设函数y=j(x)在区间I上有n阶连续导数,如果在区间I上,Fx,j(x),j¢(x),×××,j(n) (x)=0那么函数y=j(x)就叫做微分方

6、程F(x,y,y¢,×××,y(n) )=0在区间I上的解.如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,又这些任意常数不能合并而减少个数，这样的解叫做微分方程的通解.如例1中（3）式是方程（1）的通解；例2中（8）式是（5）的通解。3初始条件与特解:用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件.如例1中的（2）式；例2中的（6）式。一般写成,.确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解.即不含任意常数的解.要从通解中确定任意常数得到特解，需要有与任意常数个数相同的初始条件。4初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值

7、问题.如求微分方程y¢=f(x,y)满足初始条件的解的问题,记为.5微分方程解的几何意义微分方程的解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分曲线，由于通解中含有任意常数，所以它的图形是一族积分曲线特解的图形就是通解的积分曲线族中满足给定的初始条件的某一条特定的积分曲线例3验证函数是微分方程的通解。证 求出所给函数的导数把的表达式代入所给微分方程，得这表明函数满足所给的微分方程，它是所给方程的解。又因为函数中含有任意常数的个数与所给微分方程的阶数相同，所以该函数是所给的微分方程的通解。例4已知微分方程 （11）（1）验证 函数x=C1cos kt+C2 sin kt（12）是该微分方程的解

8、.（2）求微分方程满足初始条件x| t=0 =A,x¢| t=0 =0的特解.解所给函数（12）的导数为:,.将及x的表达式代入所给方程（11）,得-k2(C1cos kt+C2sin kt)+ k2(C1cos kt+C2sin kt)º0.这表明函数x=C1coskt+C2sinkt满足方程,因此函数（12）是方程（11）的解.由条件x| t=0 =A及x=C1 cos kt+C2 sin kt,得C1=A.再由条件x¢| t=0 =0,及x¢(t) =-kC1sin kt+kC2cos kt,得C2=0.把C1、C2的值代入x=C1cos kt+C

9、2sin kt中,得x=Acos kt.第二节 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为 （1）若可解出，则可写成（2）一阶微分方程有时也写成如下的对称形式P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0（3） 下面我们讨论几种特殊类型的一阶微分方程的求解方法。一、可分离变量的微分方程经过整理，若一阶微分方程可化为（4）的形式，则称此方程为可分离变量的微分方程。它的特点是方程两边分别只含有变量和变量的部分。对方程（4）两边积分就可以得出方程（4）的通解。 可分离变量的方程用积分就可以求解，不过化简过程与积分中大不一样，需特别注意。例1求微分方程的通解. 解 此方程为可分离变量方程,分离变量后得() （5）两

10、边积分得,即ln|y|=x2+C1,从而.因为仍是任意常数,只是取不到零，把它记作C（）则（）这个解是在的假定下得到的，自然不包括，其实，也是原方程的一个解（只需代入原方程验证便知），所以需要把这个解补上，才是方程（5）的通解。现取消的限制，即方程（5）的通解为说明：从这个例子可以看到，一般的，在求解方程时，我们除了注意用积分求解这一基本方法以外，还需注意两点:一是化简，用调整任意常数的方法，可使通解化成最简单的形式；二是补解，从求解过程中附加的条件去看是否漏掉了某个或某些解。例2 的通解解 原方程为两边积分，得（）解出（）而直接从原方程验证 和都是原方程的解，需补上。在中，令即得的解，所以取

11、消的限制就把补上了，但无论为何值，都得不到这个解，所以需另加。最后得到方程的通解为例3 求初值问题解 先求微分方程的通解两边积分得（）将初始条件代入通解得即 所以初值问题的解为二 齐次微分方程若方程（2）的右端可写成，即 （6）的形式，那么就称这方程为齐次微分方程，简称为齐次方程，例如是齐次方程，因为它可化成.又如(x2+y2)dx-xydy=0是齐次方程，因为它可化成.对于齐次方程，可以引入新的未知函数将它化为可分离变量的方程。因为有y=ux,代入方程（6），得即分离变量,得.两端积分,得.求出积分后,再用代替u,便得所给齐次方程的通解.例5解方程.解 原方程可写成（）,因此是齐次方程.令,

12、则y=ux,于是原方程变为,即.分离变量,得（）两边积分,得u-ln|u|=ln|x|+,以代上式中的u,得即是原方程的解，它也恰好是上式中C0的情形。在求解过程中虽然也除了yx的因子，但经验证其不是方程的解，所以方程通解为（为任意常数）三 一阶线性微分方程 方程(7)叫做一阶线性微分方程.线性是指未知函数y和它的导数都是一次的。如果Q(x)º0，则方程（7）称为齐次的；如果则方程称为非齐的.设（7）为非齐次线性方程，为求出（7）的解，我们先把Q(x)换成零而写出方程（8）则方程（8）叫做对应于非齐次线性方程（7）的齐次线性方程。 齐次线性方程是可分离变量的方程.分离变量后得,两边积

13、分,得,()这就是齐次线性方程的通解。取C0就得所要补的解y0，对于一阶线性齐次方程，把通解写成这种形式，总可以把解自动补上，故不必每次都讨论补解的问题了。一阶线性非齐次方程不是可分离变量的方程，我们可以采用如下方法来求，假设非齐次方程的解具有如下形式（9）这是把相应的齐次方程的通解中的任意常数变成新的未知函数，这种方法称为常数变易法，这种方法是把（8）的通解中的作变换成的未知函数。为何想到解具有这样的形式呢?我们将在后面给出解释。现在先把这一形式的函数（9）代入非齐次线性方程（7），有即 两端积分，得 把上式代入（9），即为非齐次方程（7）的通解 （10）将（10）改写成两项之和 （11）上

14、式右端第一项是对应的齐次线性方程（8）的通解，第二项是非齐次线性方程（7）的一个特解，由此可知一阶线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。（10）（11）即为一阶线性非齐次方程的通解公式。在解一阶线性非齐次方程的通解时，我们可以直接套用这个公式来求它的通解，也可以用推导这个公式所用的方法即常数变易法来求解。但因此公式较复杂，不易记住，所以我们通常采用第二种方法做。下面我们看两个例子。例6求方程的通解.解这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次线性方程的通解.分离变量得,两边积分得齐次线性方程的通解为y=C(x+1)2.用常数变易法.把C换成u,即令y=u×

15、;(x+1)2,代入所给非齐次线性方程,得,两边积分,得.再把上式代入y=u(x+1)2中,即得所求方程的通解为.例7 求方程满足初始条件的特解。解 把方程改写成解相应的齐次方程用常数变易法，设非齐次方程的解为代入非齐次方程得非齐次方程的通解即为再代初始条件，得解得所以所求方程的特解为下面我们对常数变易法这种方法作个说明。这种方法实际上是作了个未知函数的变换，为何会想到取相应的齐次方程的解来作变换呢？这种想法可能是这样来的，开始并不知道用什么函数来作变换，于是先假设方程的解为其中是新的未知函数，待定，然后代入方程观察取成什么函数合适。如果取一个，使得，则满足的方程为就可很容易的解出，而恰好是齐

16、次方程,所以取成它的解也就可以很容易的求出，从而也就求出了非齐次方程的解。因此要设 利用变量代换（因变量的变量代换或自变量的变量代换），把一个微分方程化为变量可分离的方程，或化为已知其求解步骤的方程，这是解微分方程的最常用方法。下面再举一个例子。例8解方程. 解 若把所给方程变形为,即为一阶线性方程,则按一阶线性方程的解法可求得通解.但这里也可用变量代换来解所给方程. 令x+y=u,则原方程化为,即.分离变量,得,两端积分得u-ln|u+1|=xC以u=x+y代入上式,得y-ln|x+y+1|=C以上我们介绍了三类一阶微分方程的求解方法，还有些类型将在后面的学习中介绍。一般的，当我们求解一阶方

17、程时，总是先判别其类型，先看是否为可分离变量的，再看是否是线性的，然后才是齐次的，因为后两种方程积分相对较复杂。如果都不是，就应该考虑适当换元后可否转化成已知的类型。四 一阶微分方程的应用举例利用一阶微分方程来解决实际问题时，首先要会列方程。列方程不完全是数学上的问题，还涉及许多其它学科的知识，下面我们通过几个例子来介绍列方程的两种基本方法。 例9铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比.已知t=0时铀的含量为M0,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律. 解铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数.由于铀的衰变速度与其含量成正比,故得微分方程 （12）其中l(l>0)是常数,

18、l前的负号表示当t增加时M单调减少.即.由题意,初始条件为M|t=0=M0. 将方程（12）分离变量得.两边积分,得,即M=Ce-lt.再由初始条件,得M0=Ce0=C,所以铀含量M(t)随时间t变化的规律为M=M0e-lt.由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减（图7-1）。图 7-2图7-1例10设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时速度为零.求降落伞下落速度与时间的函数关系.解 设降落伞下落速度为v(t).降落伞在空中下落时，同时受到重力与阻力的作用（图7-2）。则降落伞所受外力为F=mg-kv( k为比例系数).根据牛顿第二运动定律F=ma,得

19、函数v(t)应满足的方程为 （13）按题意，初始条件为v|t=0=0.方程（13）是可分离变量的,分离变量得,两边积分,得 ,即() （14）将初始条件v|t=0=0代入通解（13）得,于是降落伞下落速度与时间的函数关系为.例11有一个电路如图所示，其中电源电动势为E = Em sin w t(Em、w都是常数)，电阻R和电感L都是常量求电流i(t)解由电学知道,当电流变化时,L上有感应电动势.由回路电压定律得出,即.图7-3把E=Emsinwt代入上式,得.初始条件为i|t=0=0. 方程为非齐次线性方程,其中,.由通解公式,得.其中C为任意常数.将初始条件i|t=0=0代入通解,得,因此,

20、所求函数i(t)为.以上三例的方法是类似的，是利用导数的物理意义和物理上的一些规律列出方程。例12有旋转曲面形状的凹镜,假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行.求这旋转曲面的方程. 解建立坐标系如图7-3设此凹镜是由xOy面上曲线L:y=y(x)(y>0)绕x轴旋转而成,光源在原点.在L上任取一点M(x, y),作L的切线交x轴于A.点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线.由光学及几何原理可以证明OA=OM,因为,而.图 7-4于是得微分方程,整理得.这是齐次方程. 问题归结为解齐次方程.令,即x=yu, 得,即,分离变量,得,两边积分,得 , , ,以y

21、v=x代入上式,得.这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线,它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为.这就是所求的旋转曲面方程.此例中列方程的方法与前两例基本相同，只不过这里用到的是导数的几何意义而非物理意义。下面我们举个例子说明列方程的另一种方法微元分析法。例13 一个半径为R的半球形水池最初注满水。在水池的底部有一个半径为的小孔，水在重力作用下通过该孔流出。求在任何时刻水的深度并确定需要多长时间水池中的水全部流完。解 建立坐标系如图(图7-4)所示，原点取在水池的最低点。假设在时水开始从小孔流出，又为水在时刻的深度并记为水面在时刻的半径于是经过一段时间以后水面将下降，此时水池中水的体积减少了图 7-4

22、它应该等于在这段时间内从小孔流出的水的体积。根据托里拆利定律，水从小孔流出的速度为，其中是流量系数。它取决于小孔的形状，为重力加速度，为时刻水面的高度，这里。于是时间内从小孔流出的水的体积为。令的两个表达式相等，便得到微分方程式中负号表示水深随时间的增加而减小由于，故，因此上述方程可改写为两边积分得通解为因为时，故。于是水深与时间的关系为为了求出水池中的水全部流完所需时间，只需令即可得出上面这个例子，是用微元分析法列方程的，这里的微元分析法是列定积分式子的微元法的进一步发展，但基本思想是一致的。取微元，分析在微元内的变化情况，找出等量关系，从而列出微分方程。这种方法要比第一种方法复杂些。通常是

23、在第一中方法用不上时才用这种方法。第三节 可降阶的高阶微分方程二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。本节我们将以二阶微分方程为基础给出高阶微分方程的几种特殊类型的降阶解法。它的基本思想是通过变量代换，把二阶方程降为一阶方程，从而利用前一节求解一阶方程的方法求出所求二阶方程的通解。下面我们用降阶法来讨论二阶微分方程的三种特殊类型。一、 型的微分方程方程 的右端仅含有自变量，设，方程变形为，积分得即 再积分得原方程的通解对于阶方程只要通过次积分就能得到它的通解这类微分方程的特点是只出现的最高阶导数和自变量，而都不出现。例1 求微分方程y¢¢¢=e2x-cos x的

24、通解.解对所给方程接连积分三次,得,这就是所给方程的通解.二、y¢¢=f(x,y¢)型的微分方程 方程y¢¢=f(x,y¢)的右端不显含未知函数，设y¢=p，那么则方程化为p¢=f(x,p).设p¢=f(x,p)的通解为p=j(x,C1),则 .原方程的通解为.例3求微分方程(1+x2)y¢¢=2xy¢满足初始条件y|x=0=1,y¢|x=0=3的特解.解所给方程是y¢¢=f(x,y¢)型的.设y¢=p,代入方程并分离变量后,

25、有.两边积分,得ln|p|=ln(1+x2)+C,即 p=y¢=C1(1+x2) (C1=±eC).由条件y¢|x=0=3,得C1=3,所以 y¢=3(1+x2).两边再积分,得y=x3+3x+C2.又由条件y|x=0=1,得C2=1,于是所求的特解为y=x3+3x+1.三、型的微分方程方程y¢¢=f(y,y¢)中不显含自变量，为了求出它的解，我们令y¢=p,并利用复合函数的求导法则把化为对的导数，即.原方程化为.设方程的通解为y¢=p=j(y,C1),则原方程的通解为.例5 求微分方程yy¢&

26、#162;-y¢2=0的通解.解设y¢=p,则,代入方程,得. 在y¹0、p¹0时,约去p并分离变量,得.两边积分得ln|p|=ln|y|+lnc,即 p=Cy或y¢=Cy(C=±c).再分离变量并两边积分,便得原方程的通解为ln|y|=Cx+lnc1,或y=C1eCx(C1=±c1)注意 关于求解过程中涉及到补解的，一定要补上。如何补，前面已经多次讲过，以后就不再讨论了。例5 求微分方程yy¢¢-y¢2=0的通解.解设y¢=p,则原方程化为,当y¹0、p¹0时,

27、有,两端积分，得即 py¢=C1y再分离变量并两端积分，得原方程的通解为.第四节线性微分方程解的结构对于上一节讨论的方程当它右边同时含有时一般不能用前面所讲的降阶方法求解。下面要讨论的二阶线性方程就是这种情形。形如y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y= （1）的方程称为二阶线性方程。这里的线性仍是指方程对于未知函数y和它的各阶导数y¢、y¢¢是一次的。若，即方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0 （2）称为二阶齐次线性方程；时，为二阶非齐次线性方程。下面我们讨论二阶线性微分方程的解的结构，并根据解

28、的结构的理论，给出具体求某些线性方程通解的方法。然后把关于二阶线性齐次方程的解的结构理论推广到阶线性方程 （3）一、二阶齐次线性方程解的结构在第二节，我们知道一阶非齐次线性方程的通解是由对应齐次线性方程的通解和非齐次方程的一个特解两部分组成的。我们还知道，根据对应齐次方程的通解，采用“常数变易法”可以求得非齐次方程的通解。为此，在讨论非齐次方程(1)的解的结构之前，先来弄清（1）对应齐次方程（2）的解的结构。 容易看出，如是二阶齐次线性方程的的解，则也是它的解；如是它的解，则也是它的解。这两个性质组合起来即所谓解的叠加原理。定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程y¢¢

29、+P(x)y¢+Q(x)y=0.的两个解,那么y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程的解,其中C1、C2是任意常数.证明 C1y1+C2y2¢=C1y1¢+C2y2¢,C1y1+C2y2¢¢=C1y1¢¢+C2y2¢¢.因为y1与y2是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0,所以有y1¢¢+P(x)y1¢+Q(x)y1=0及y2¢¢+P(x)y2¢+Q(x)y2=0,从而 C1y1+C2y2¢

30、;¢+P(x) C1y1+C2y2¢+Q(x) C1y1+C2y2=C1y1¢¢+P(x)y1¢+Q(x)y1+C2y2¢¢+P(x)y2¢+Q(x)y2=0+0=0.这就证明了y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0的解。 在物理上，常称C1y1(x)+C2y2(x)为y1(x)、y2(x)的叠加，所以定理1就称为线性齐次方程的解的叠加原理。这一性质是线性方程特有的，非线性方程不具有此性质。有了叠加原理，使得我们讨论线性方程比讨论非线性方程要容易

31、得多。对于线性方程，有了两个解、，就可以构造出无穷多个解C1y1(x)+C2y2(x)。现在的问题是C1y1(x)+C2y2(x)是否为通解。我们知道二阶方程的通解应有两个任意常数，表面看，C1y1(x)+C2y2(x)有两个任意常数，当实际上是否真有两个任意常数，这是有疑问的。例如，方程可以看出，它有两个解和，但实际上只有一个任意常数，所以 不是该方程的通解。 从这个例子还可以看出，C1y1(x)+C2y2(x)中是否可以合并成一个常数，取决于、的性质，若、只差一个常数倍，则可合并；否则不可合并。为了把这个问题说清楚，我们引进线性相关和线性无关的概念。定义1 如两个函数、满足则称函数、线性相

32、关；如则称函数、线性无关。 如、是方程的两个线性无关的解，则C1y1(x)+C2y2(x)中必不可合并，即C1y1(x)+C2y2(x)中确有两个任意常数，它就是方程的通解。这就是二阶齐次线性方程的通解结构。现给出下面的定理。定理2 如果函数y1(x)与y2(x)是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0的两个线性无关的解,那么y=C1y1(x)+C2y2(x)(C1、C2是任意常数)是方程的通解.例3 验证y1=cos x与y2=sin x是方程y¢¢+y=0的线性无关解,并写出其通解.解因为y1¢¢+y1=-cos x+

33、cos x=0,y2¢¢+y2=-sin x+sin x=0,所以y1=cos x与y2=sin x都是方程的解.因为对于任意两个常数k1、k2,要使k1cos x+k2sin xº0,只有k1=k2=0,所以cos x与sin x在(-¥, +¥)内是线性无关的.因此y1=cos x与y2=sin x是方程y¢¢+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1cos x+C2sin x.二、二阶非齐次线性方程解的结构:定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)

34、 （1）的一个特解,Y(x)是与（1）对应的齐次方程（2）的通解,那么y=Y(x)+y*(x) （4）是二阶非齐次线性微分方程（1）的通解.证明把（4）代入（1）的左端得Y(x)+y*(x)¢¢+P(x) Y(x)+y*(x)¢+Q(x) Y(x)+y*(x)=Y ¢¢+P(x)Y ¢+Q(x)Y + y* ¢¢+P(x)y* ¢+Q(x)y*由于Y(x)是方程（2）的解，y*(x)是（1）的解，则第一个括号内的表达式恒等于零，第二个恒等于f(x)，所以，y=Y(x)+y*(x)使（1）两端恒等，即（4）

35、是方程（1）的解。例如,Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y¢¢+y=0的通解,y*=x2-2是y¢¢+y=x2 的一个特解,因此y=C1cos x+C2sin x+x2-2是方程y¢¢+y=x2的通解.定理4 设非齐次线性微分方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)的右端f(x)是两个函数之和,即y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f1(x)+f2(x), （5）而y1*(x)与y2*(x)分别是方程y¢¢+P(x)y¢

36、+Q(x)y=f1(x)与y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f2(x)的特解,那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解.证明将代入方程（5）的左端，得y1+y2*¢¢+P(x) y1*+y2*¢+Q(x) y1*+y2*= y1*¢¢+P(x) y1*¢+Q(x) y1*+ y2*¢¢+P(x) y2*¢+Q(x) y2*=f1(x)+f2(x).因此，是方程（5）的一个特解。有了二阶线性方程解的结构，要求齐次方程的通解只需找出它的两个线性无关的解，而要求非齐次方程的通

37、解，也只需在相对应的齐次方程的基础上再加上非齐次方程的一个特解，这样就能使求解的问题大大简化。三、阶线性微分方程的解的结构阶线性微分方程所对应的齐次方程为 （6）阶线性微分方程解的结构与二阶线性微分方程的解的结构类似，在给出相关定理前，我们先来引入个函数线性相关与线性无关的概念。定义2 设为定义在区间上的个函数，如果存在个不全为零的常数，使得当时有恒等式成立，那么称这个函数在区间上线性相关；否则称线性无关。定理三 如果是齐次线性方程的个线性无关的解，那么，此方程的通解为其中为任意常数。定理四 如果是线性非齐次方程的一个特解，又是对应的齐次方程（6）的通解，那么，是非齐次方程（3）的通解。第五节

38、 二阶常系数线性微分方程 在上节我们讨论了二阶线性微分方程的解的结构，本节将利用上节的结论来讨论常系数线性微分方程的解法，其中着重讨论二阶的情形，高于二阶的情形可类似地讨论。一、二阶常系数齐次线性微分方程考虑二阶常系数齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy=0 （1）其中p、q均为常数.根据求导的经验知，指数函数erx的各阶导数仍然是同类型的函数。所以猜想这种形式的函数y=erx有可能是方程的解。这种猜测是否合理，r又取何值，需代入方程验证。代入方程（1）得(r2+pr+q)erx=0.，必须r2+pr+q=0 （2）由此可见,只要r满足方程（2）,函数y=erx就

39、是方程（1）的解.（2）称为微分方程（1）的特征方程，它是一个代数方程，它的根称为（1）的特征根。特征方程的根有三种情形，下面分别按这三种情形求出方程的通解。 (1)特征方程有两个不相等的实根r1r2时,函数、是方程的两个解，且不是常数.因此方程的通解为.(2)特征方程有两个相等的实根r1=r2时,这种情况，只能先得到一个解还要再找一个与之线性无关的解。即要找，使得所以可设，代入方程可以确定。，将、和代入微分方程(1)，得其中，由于是特征根，故r2+pr+q=0，又由于是重根，故。所以上式只剩下积分两次便可求出，我们只需求出一个特定的，现取得不是常数，与线性无关，因此方程的通解为.(3)特征方

40、程有一对共轭复根r1, 2=a±ib时,方程（）有两个解y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x所以线性无关。方程（）的通解为这里虽然得到了通解，但它是复数形式的解。现在我们是在实数范围内讨论，还希望有实数形式的通解，这样的解用于实际问题中也方便些。如何找到两个线性无关的实数形式的解呢，根据上节定理知道，方程（）的两个解的线性组合仍是它的解，我们设法由上面两个复数形式的解进行线性组合，再找出两个实的线性无关的解。利用欧拉公式, 得y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx),y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx),y1+y2=2eaxcosbx,y

41、1-y2=2ieaxsinbx,.故知eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程的解. 可以验证,y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的线性无关解. 因此方程的通解为y=eax(C1cosbx+C2sinbx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy=0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步 求出特征方程的两个根r1、r2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解. 例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解.解所给微分方程的特征方程为r2-2r-

42、3=0,即(r+1)(r-3)=0.其根r1=-1,r2=3是两个不相等的实根,因此所求通解为y=C1e-x+C2e3x. 例2 求方程y¢¢+2y¢+y=0满足初始条件y|x=0=4、y¢|x=0=-2的特解. 解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=-1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导,得y¢=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y¢|x=0=-2代入上式,得C2=2.于

43、是所求特解为x=(4+2x)e-x. 例 3 求微分方程y¢¢-2y¢+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1-2i, 是一对共轭复根,因此所求通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x).上面讨论二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程通解的形式，可推广到阶常系数齐次线性微分方程上去。因此在此不在作详细叙述，只简单叙述如下“形如y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) +×××+pn-1y¢+pny=0称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2

44、 ,×××,pn-1,pn都是常数.rn+p1rn-1+p2 rn-2 +×××+pn-1r+pn=0称为微分方程的特征方程.特征方程的根微分方程通解中的对应项单实根r对应于一项:Cerx一对单复根r1,2=a±ib对应于两项:eax(C1cosbx+C2sinbx);k重实根r对应于k项:erx(C1+C2x+×××+Ckxk-1);一对k重复根r1,2=a±ib对应于2k项:eax(C1+C2x+×××+Ckxk-1)cosbx+(D1+D2x+

45、15;××+Dkxk-1)sinbx.从代数学知道，次代数方程有个根（重根按重数计），而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，且每项各含一个任意常数。这样就得到阶常系数齐次线性微分方程的通解 例4 求方程y(4)-2y¢¢¢+5y¢¢=0 的通解. 解 这里的特征方程为r4-2r3+5r2=0,即r2(r2-2r+5)=0,它的根是r1=r2=0和r3,4=1±2i.因此所给微分方程的通解为y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x). 例5 求方程y(4)+b4y=0的通解,其中b>0. 解

46、这里的特征方程为r4+b 4=0.它的根为,.因此所给微分方程的通解为.二、二阶常系数非齐次线性微分方程考虑方程y¢¢+py¢+qy=f(x) （3）其中p、q是常数.根据线性方程解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和y=Y(x)+ y*(x).由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解上面已介绍其求解方法，故这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的方法。的形式很多，本节我们只讨论它为两种特殊形式时方程的特解的求法。一、型当f(x)=Pm(x)elx时,可以猜想,方程的特解也应

47、具有这种形式.因为多项式与指数函数的乘积仍然是多项式与指数函数的乘积.因此,设特解形式为y*=Q(x)elx,将代入方程,得等式Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x). (1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根,则l2+pl+q¹0.要使上式成立,Q(x)应设为m次多项式:Qm(x)=b0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,×××,bm,并得所求特解y*=Qm(x)elx. (2)如果l是特征方

48、程r2+pr+q=0 的单根,则l2+pl+q=0,但2l+p¹0,要使等式Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).成立,Q(x)应设为m+1 次多项式:Q(x)=xQm(x),Qm(x)=b0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,×××,bm,并得所求特解y*=xQm(x)elx. (3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根,则l2+pl+q=0,2l+p=0,要使等式Q¢¢(

49、x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).成立,Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Qm(x),Qm(x)=b0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,×××,bm,并得所求特解y*=x2Qm(x)elx.综上所述,我们有如下结论:如果f(x)=Pm(x)elx,则二阶常系数非齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy=f(x)有形如y*=xkQm(x)elx（4）的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式,而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2. 上述结论可以推广到阶常系数非齐次线性微分方程，这里不再累赘。例1求微分方