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1、§16-2 第二类曲面积分即向量值函数在有向曲面上的积分一、有向曲面设曲面光滑双侧曲面:规定法线正向后,确定某点,从该点出发,沿曲线上沿一条不越过边界的闭曲线连续移动,当回到原始位置时,法线的正向保持不变. 如: 图示 演示一纸带不扭粘合单侧曲面:如: 麦比马斯带说明: 研究双侧曲面(决定了侧:上侧、下侧(图示)有向曲面: 指定上侧: 下侧: 二、(第二类曲面积分的)概念例:设中稳定流动(与t无关)的不可压缩流体(密度为1),其速度物,又设是内一张光滑有向曲面,取上侧,求单位时间内流体自的下侧穿过流向上侧的流量.(1)常流速,平面 =以A为底面积,为斜高的斜柱体体积 = 说明: 如图

2、,上式成立 实际流向指定侧的负侧, 应为负,而恰负,亦成立. 成立(2)变流速, 曲面, (微元法)(任意分割) (同时代表面积) 很小(以常代变以平代曲) (作和式) (取极限) 定义:,是一光滑的有向曲面 P,Q,R在连续 设 记 名称:向量值函数沿有向曲面指定一侧的第二类曲面积分，对坐标的曲面积分 有向曲面元素(几何) 积分曲面 被积函数 P,Q,R三、第二类曲面积分的计算法1. 本教材 : (1) 上侧: (第一类)(2) 下侧: 上公式添“-”号.2. 其他教材 设: (1) 上侧: , 取极限 即 二重积分定义(2) 下侧: ,同理, 分别前后侧且: 分别右左侧且:例1:计算第二类曲面积分,是平面在第一象限部分的上侧.解: 图示 : : 例2:计算曲面积分,:外侧.解一: : 上侧 : 下侧 : 解二: 例3:计算第二类曲面积分.其中是圆柱面被平面和所截出部

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