第三讲线性规划学生版

1、第三讲 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一 目标认知学习目标：1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.重点：用二元一次不等式（组）表示平面区域，利用图解法求得线性规划问题的最优解.难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。二 知识要点梳理知识点一：二元一次不等式（组）的定义1.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式

2、。2.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。3.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的和的取值构成有序实数对，所有这样的有序实数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。知识点二：用图形表示不等式（组）1. 一元一次不等式（组）的解集可以用数轴上的区间所对应的图形表示. 如的图形表示为（如图），其中1叫界点.2. 二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点

3、构成的集合。3.二元一次不等式所表示的平面区域：在平面直角坐标系中，直线将平面分成两部分，平面内的点分为三类：直线上的点（x，y）的坐标满足：；直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：；直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：。即二元一次不等式或在平面直角坐标系中表示直线的某一侧所有点组成的平面区域，直线叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）。4二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当

4、时，常把原点作为此特殊点）以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法.5.不等式组所表示的平面区域由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。知识点三：线性规划的有关概念：1. 线性约束条件：如果两个变量、满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次不等式，故又称线性约束条件2. 线性目标函数：关于、的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、的解析式，叫线性目标函数3. 线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题4. 可行解、可行域和最优解：在线性规划问题中，满

5、足线性约束条件的解叫可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。规律方法指导1.判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.2. 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：画出直线（有等号画实线，无等

6、号画虚线）；当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；确定要画不等式所表示的平面区域。简称：“直线定界，特殊点定域”方法。3.在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求；一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在；所求的目标函数是有约束（限制）条件的；必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组），并将目标函数表示成为线性函数。4.对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求解其基本的解决步骤是： 设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； 画出可行域； 求

7、出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)；作答5.线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务三典型例题透析类型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域例1. 画出不等式表示的平面区域。解析：先画直线（画成虚线）.取原点代入得,原点不在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图：总结升华：1. 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当时，常把原点作为此特殊点。2. 虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界

8、直线举一反三：【变式1】画出下列不等式所表示的平面区域（1）； （2）【答案】（1） （2）例2. 用平面区域表示不等式组.思路点拨: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。解析：不等式表示直线右下方的区域，表示直线右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。总结升华：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。举一反三：【变式1】画出下列不等式组表示的平面区域。（1）； （2）； （3）.【变式2】画出不等式组表示的平面区域并求其面积。【变式3

9、】由直线，和围成的三角形区域（如图）用不等式组可表示为。例3. 画出下列不等式表示的平面区域(1) ； (2) 思路点拨: 将原不等式等价转化为不等式组，然后画图.解析：(1) 原不等式等价转化为或（无解），故点在区域内，如图：(2) 原不等式等价为或，如图总结升华：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解举一反三：【变式1】用平面区域表示不等式【变式2】用平面区域表示不等式（1）； （2）； （3）例4.求满足不等式组的整数解.思路点拨:不等式组的实数解集为直线：，：，：所围成的三角形区域内部(不含边界)，求出三条直线的交点，求得区域内点横坐标范围，取出的所有整数值，再代回原不等式组转

10、化为的一元不等式组得出相应的的整数值。解析：设：，：，：，则由，得，由，得由，得于是看出区域内点的横坐标在内，取，当时，代入原不等式组有，即，得2，区域内有整点。同理可求得另外三个整点、.总结升华：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定的所有整数值，再代回原不等式组，得出的一元一次不等式组，再确定的所有整数值，即先固定，再用制约。举一反三：【变式】求不等式组的整数解。类型二：图解法解决简单的线性规划问题.例5.已知、满足约束条件，求下列各式的最大

11、值和最小值.（1）； （2）.解析：（1）不等式组表示的平面区域如图所示：图2求出交点，作过点的直线:，平移直线，得到一组与平行的直线:,. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，当经过点时的直线所对应的最大，所以；当经过点时的直线所对应的最小，所以.（2）不等式组表示的平面区域如图所示：作过点的直线:，平移直线，得到一组与平行的直线:,. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，当经过线段上的所有点时的直线所对应的最大，所以；当经过点时的直线所对应的最小，所以.总结升华：1.本题的切入点是赋予“”恰当的几何意义：纵截距或横截距；2.线性目标函数的最大

12、值、最小值一般在可行域的顶点处取得；3.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个，此时目标函数的图象一定与区域中的一条边界直线平行举一反三：【变式1】求的最大值和最小值，使式中的、满足约束条件.【变式2】求的最大值、最小值，使、满足条件例6.某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：产品品种劳动力（个）煤（吨）电（千瓦）A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A、B两种产品各多

13、少吨，才能获得最大利润？思路点拨:本题中条件较多，应分门列类列出约束条件后，再运用图解法进行求解。解析：设生产A、B两种产品各x、y吨，利润为z万元则，目标函数作出可行域，如图所示， 作出在一组平行直线7x+12y=t（t为参数）中经过可行域内的点和原点距离最远的直线，此直线经过点M（20，24）故z的最优解为（20，24），z的最大值为7×20+12×24=428（万元）。总结升华：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面

14、区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解举一反三：【变式1】家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润?【变式2】某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利7000元：生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利12000元。有一个生产日

15、，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少?【变式3】某运输公司有7辆载重量为6 t的A型卡车与4辆载重量为10 t的B型卡车，9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360 t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车160元，B型卡车252元，每天派出A型车与B型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？四基础达标：1在下列各点中，不在不等式2x+3y5表示的平面区域内的点为（ ） A（0，1） B（

16、1，0） C（0，2） D（2，0）2若点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是( )A. a<-1或a>24 B. a=7或a=24 C. -7<a<24 D. -24<a<73已知x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是（ ）A10 B12 C14 D164 若x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为( )A. 6 B. -6 C. 10 D. -105不等式组 表示的平面区域的面积等于( )A28 B16 C D1216若E为平面上以A(4，1)， B(-1，-6)，C(-3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，

17、则z4x-3y的最大值与最小值分别为( )A14，18 B14，18 C18，14 D18，147.若变量x、y满足下列条件：，则使z3x+2y的值最小的(x,y)是( )。A(4.5，3) B(3，6) C(9，2) D(6，4)8.已知A（1，-1），B（5，-3），C（4，-5），平面区域是ABC的约束条件是。9已知D是以点A（4，1），B（1，6），C（3，2）为顶点的三角形区域（包括边界与内部）。如图所示。（1）写出表示区域D的不等式组；（2）设点B（1，6），C（3，2）在直线4x3ya=0的异侧，求a的取值范围。10.某玩具公司每天工作小时的机器上可制造两种玩具：卫兵和骑兵。制造

18、一个卫兵需要秒钟和克金属，制造一个骑兵需要秒钟和克金属，每天可供给的金属量最多为千克，制造一个卫兵的利润是元，制造一个骑兵的利润是元，问：每种玩具各制造多少个时利润最大，最大利润是多少？11.一根长度为的钢管，现需要截成长为和的甲、乙两种毛坯，且甲、乙两种毛坯的数量比要大于，问怎样截取最合理？（即剩的最少？）12.以两种饲料A和B的混合物饲养一动物，每一两饲料A中含有10克蛋白质，0.5克脂肪和10克碳水化合物；每一两饲料B中含有5克蛋白质，1克脂肪和10克碳水化合物；A和B的价格为每一两5分钱和4分钱。每份混合饲料至少应含有100克蛋白质，10克脂肪和180克碳水化合物。问每份混合饲料中A和B各多少，才能使成本最少？能力提升：13在直角坐标系内，满足不等式x2y20的点（x，y）的集合（用阴影表示）是（ ）14满足|x|+|y|4的整点(横纵坐标均为整数)的点(x，y)个数是()(A) 16 (B) 17 (C) 40 (D) 4115集合M=(x,y)|2y3x+5，集合P=(x，y)|y-4x+8，集合S=(x,y)|7y5x-10,若T=(MP)S，