第三讲 复数域上及极限与连续_第1页
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1、第三讲 复数域上的极限与连续一定义距离(两个复数之间的距离)两个复数的距离为.有了两个复数之间的距离后,容易得出下面的结论(如图2.1).二复数序列的极限复数列,存在,使得对,当时,有. 图2.1引理若,则.三复函数的极限定义设单值函数,是D的一个聚点(非孤立点).若对于,当时,有,则称当时以A为极限,记为.引理设,则有.四复函数的连续定义设定义在复数集D上,是D的一个聚点,若,则称在点连续.注:若点是D的一个孤立点,则在点连续.引理复函数在点连续函数在点连续.复函数在点集D上的每一点连续,则是D上的连续函数.五复级数定义设复数列,复数项级数的前项之和,然而得部分和序列,级数和,即.引理复数列

2、,若,有.绝对收敛:级数收敛,则称绝对收敛.级数绝对收敛当且仅当级数和级数收敛.六复函数列设复函项级数,在点,使复数列收敛,则称复函数列在点收敛,称为复函数列的收敛点.收敛域=所有收敛点.复函项级数绝对收敛收敛.补充内容:实数域上有下面把上面的情况推广到复数域上:(1)形式上的令()由得.下面是对Euler公式的严格定义和证明:设,对,令得到序列,不妨设,那么(1)再对实数序列进行分析,收敛于,因为收敛,由柯西准则有由(1)可知也是柯西序列,所以收敛.记的极限为,即定义级数收敛且绝对收敛,收敛域为整个复数域.(2)形式上的令定义序列,利用上面同样的方法,可得(3)同理,也有由(1)(2)(3)得证(Euler公式).练习:1. 设(1)表示为实部虚部的形式;(2)求;(3)求的Euler指数表示;(4)的三角表达式;解(1),.(2);.(3).(4).2. 求(1);(2);(3);(4).解 (1).(2).(3).(4).3.

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