第6章 定积分及其应用

1、第六章 定积分及其应用§6.1 定积分的概念与性质 教学内容提要1. 定积分的几何与物理模型；2. 定积分的定义；3. 定积分的基本性质.教学目的与要求1. 理解定积分的几何与物理模型；2. 理解定积分的极限定义；3. 了解定积分的基本性质.教学重点与难点定积分几何与物理模型的极限过程理解，平面图形面积的定积分表达.教学时数 2教学过程：一、定积分的几何与物理模型1.求曲边梯形的面积1).曲边梯形的定义：由三条直线与轴和一条曲线围成的平面图形，称为曲边梯形。如下图（1.1）（1.2）（1.3），其中（1.2）（1.3）是特殊情形。图（1.1）y=f(x)y=f(x)图（1.2）图（1

2、.3）y=f(x)2).利用极限计算曲边梯形面积的步骤第一步：分割,将曲边梯形分成许多细长条。在区间a,b中任取若干分点：，把曲边梯形的底a,b分成n个小区间；，并记；过分点分别作轴的垂线，将曲边梯形分成个小曲边梯形，记第个曲边梯形的面积为；第二步：近似，将这些细长条近似地看作一个个小矩形。（如下图）第三步：求和，小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值。即；第四步；取极限，当分割越细，所有小矩形的面积之和的极限，就是曲边梯形面积A的精确值。若记，则。可见，曲边梯形的面积是一和式的极限。2. 利用极限求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的连续函数，计算在此段时间内物体

3、经过的路程。第一步：分割, 在区间中任取若干分点：，把分成个小区间，小区间的长记为；第二步：近似求和，；第三步：取极限，其中。类似极限求曲边梯形面积的步骤可求得速度为的物体在时间间隔内经过的路程。可见，变速直线运动的路程也是一和式的极限。二、定积分的定义1 定积分的定义定义 设函数在区间上有界，在中任插入若干个分点，把区间分成个小区间；，各小区间长记为任取，作和式，记，如果不论对怎样划分，也不论在小区间上点怎样选取，只要时，和式总趋于确定的极限，这时则称极限为函数在区间上的定积分，记作，即其中：叫做被积函数；叫做被积表达式；x叫做积分变量；a叫做积分下限，b叫做积分上限；a,b叫做积分区间。如

4、果在a，b上的定积分存在，也称在a，b上可积。否则，便称在a，b上不可积。2 几点注意(1) 定积分上一个常数，而不定积分是的原函数的全体。(2) 定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。即(3) 若时，我们规定。(4) 若时，规定。3 定积分的存在性（1）若在a，b上连续，则在a，b上可积。（2）若在a，b上有界，且只有有限个间断点，则在a，b上可积。（3）若已知可积，则的划分与的选取都可特殊，一般可等分区间，则选取为各子区间的端点。特别地若在上可积，则有。4. 定积分的几何意义（1）若0，则的几何意义表示由曲线y=，直线x=a，x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。y

5、b（2）一般情形，的几何意义为：它是介于x轴，曲线y=，直线x=a，x=b之间的各部分面积的代数和。+a0x5. 定积分的物理意义物体以变速作直线运动，从时刻到时刻所经过的路程等于速度函数在区间上的定积分，即：。例1利用定积分几何意义计算下列定积分（1） （2）例2 试用定积分表示极限45作业：练习册第28次§6.2 定积分的性质教学内容提要定积分的七个基本性质.教学目的与要求了解定积分的基本性质.教学重点与难点定积分的积分可加性、保号性、估值定理、中值定理.教学时数 2教学过程：一、定积分的基本性质性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。即性质2被积函数的常数因子可

6、以提到积分符号外。即性质3 (定积分的区间可加性) 注:不论a，b，c的相对位置如何，性质3总是成立的。例如，当a<b<c时，还是有成立。性质4 。性质5若在区间a，b上，则。性质6。性质7。注: 称为函数在区间上的平均值。例1 利用定积分性质比较与的大小例2 利用定积分性质估计定积分的范围作业：练习册第28次§6.3 微积分基本公式教学内容提要1. 牛顿莱布尼茨公式；2. 牛顿莱布尼茨公式的理论证明。教学目的与要求1. 掌握牛顿莱布尼茨公式的正确使用；2. 了解变上限积分函数的定义，掌握变上限积分函数的导数定理；3. 了解牛顿莱布尼茨公式的理论证明。教学重点与难点莱布尼

7、茨公式的正确使用与变上限积分函数的求导。教学时数 4教学过程：前一次讲了定积分的定义与性质其中 我要指出的是定积分的存在性，只要在上连续，定积分一定存在。但与积分变量无关。即：。 本节将要揭示不定积分（即原函数）与定积分之间的关系，这就是微积分基本公式，常称为牛顿莱布尼茨公式。一、牛顿、莱布尼兹公式1. 牛顿、莱布尼兹公式的运动学背景有一物体在一直线上运动，设该直线与数轴重合。设时刻时物体所在的位置为，速度为，由第一节知物体在时间间隔内经过的路程。另一方面，这段路程又可以通过位置函数表示为时间间隔上的增量，即，于是= （5.1）注意到，（5.1）式就表明定积分就等于它的被积函数的原函数在积分区

8、间上的增量，它的一般性就是牛顿莱布尼茨公式。2. 牛顿、莱布尼兹公式微积分基本公式 设函数是连续函数在区间上的一个原函数，则： （5.2） 为方便，把简记成，于是公式（5.2）又可写成此公式称为微积分基本公式或称牛顿莱布尼兹公式。注意：被积函数要求在积分区间上连续。例1 求下列定积分（1） （2） （3）（3）解：但是不存在，这是因为在上不连续。例2 计算例3 求正弦曲线在区间上与轴所围成的平面图形的面积。二、牛顿莱布尼茨公式的理论证明1 介绍一个新函数变上限积分（1）定义：设在上连续，任取一点，定积分有意义bxaOYX图一 若积分上限在上每取一个值，定积分总有一个值与相对应，即在上定义了一个

9、函数，记则，此函数称为积分上限函数。(如图一 阴影部分)（2）积分上限函数的导数定理1：若在上连续则可导，且证明：用导数定义证明可见积分上限函数是被积函数的原函数。推论：定理2（原函数存在定理） 如果函数在上连续，则函数是被积函数在上的一个原函数。例4求下列变限函数的导数（1） （2）例5求下列极限（1） （2）2 牛顿莱布尼茨公式的理论证明证明例6 设连续函数满足，求的表达式。作业：练习册第29次§6.4定积分的换元法和分部积分法 教学内容提要1.定积分的换元法；2.定积分的分部积分法；教学目的与要求1.掌握定积分的换元公式和分部积分公式；2.了解有关奇偶函数在关于原点对称的区间上

10、的积分的性质.教学重点与难点重点：定积分的换元积分法的计算难点：定积分的换元积分法的证明教学时数 4教学过程：一、定积分的换元法定理假设函数在区间上连续,函数满足条件(1) ;(2)在或者上具有连续导数,且其值域 ,则有=此公式叫定积分的换元公式.注 (1)用把原来的变量代换成新变量时,积分限也要换成相应于新变量的积分限; (2)求出的一个原函数后,不必要再把变换成原来变量的函数,而只要把新变量的上、下限分别代入相减就可以了.例1 计算解 设,则,且 当时,;当时,于是有= =例2 计算解 = =在例2中,如果我们不明显地写出新变量,那么定积分的上、下限就不要变更.例3 计算.解 =+ =-

11、=- = =如果忽略在上非正,而按计算,将导致错误.例4 证明: (1)若函数函数在区间上连续且为偶函数,则=2 (2)若函数函数在区间上连续且为奇函数,则=0.证 =+ 对积分作代换,则得=-=-=所以=+ =(1)若为偶函数,则=所以=(2)若为奇函数,则=0所以=0利用本例,常可简化计算奇函数,偶函数在对称区间上的定积分.例5 设函数=计算.解 令,则,且 当时,;当时,.于是= =+ = =2 定积分的分部积分法根据不定积分的分部积分法,我们有.即得定积分的分部积分公式:.此公式表明,原函数已经积出的部分可以先用上、下限代入计算其结果.例1 计算.解 = - = =例2 计算.解 先用

12、换元法,令,则,且 当时; 当时.于是= =- = =.作业：练习册第29次§6.5反常积分与函数 教学内容1.反常积分；2.函数初步。教学目的与要求1. 理解两种反常积分的定义,会判断其敛散性；2. 熟练掌握无穷限的反常积分的计算,会判断无界函数的反常积分并进行计算. 3. 了解函数的概念与相关计算。 教学重点与难点重点：无穷限的反常积分的计算;难点：判断两种反常积分的敛散性. 教学时数 2教学过程：一、积分区间为无限时的广义积分1 引例 求由曲线，轴和轴所围成的在第一象限的开口曲边开的面积。2 无穷区间上的广义积分的概念定义1 存在，。即；不 类似地，否则便称广义积分发散。注1：

13、 对广义积分而言，只有当两个广义积分和都收敛时才收敛。若上述两个广义积分之一发散，则广义积分就发散；注2： 广义积分的计算，除了使用定义外，也可利用类似于牛顿莱布尼茨公式来计算。具体地，设是的一个原函数，则：例1 计算下列广义积分（1）（2）（3） （4）例2 判断广义积分的敛散性。例3 证明积分当时收敛，时发散。二、无界函数的反常积分现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形.定义2设函数f(x)在(a,b上连续，而在点a的右领域内无界，取，如果极限 存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b上的反常积分，仍然记作，这时也称反常积分收敛.类似地，设函数f(x)在a,b上除点c(a<c

14、<b)外连续，而在点c的领域内无界，如果两个反常积分与都收敛，则定义；(2)否则，就称反常积分发散.例4 计算 解 = =三、函数初步1定义2 广义积分（）是参变量的函数，称为函数。2函数的性质性质1 函数对都收敛。性质2 （）。特别地有，即。性质3 ，即。例1 求（1） （2）例2 求例3 证明：。作业：练习册第31次§6.6 定积分的几何应用教学内容1. 平面图形的面积；2. 特殊立体的体积；教学目的与要求1 掌握利用定积分表达和计算平面图形的面积；2 掌握旋转体体积的计算方法，了解平行截面面积已知的立方体的体积的计算；教学重点与难点平面图形的面积和旋转体的体积的定积分计算

15、方法。 教学时数4教学过程：一、平面图形的面积1 选为积分变量y曲边梯形的面积曲边梯形的面积xyo2 选为积分变量xo曲边梯形的面积曲边梯形的面积例1 计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.例2 求在区间上的连续曲线与直线及轴所围成的平面图形的面积。例3 求椭圆曲线所围成的图形的面积。例4 计算由曲线和直线所围成的图形的面积。例5 求曲线在区间内的一条切线，使得该切线与直线及曲线所围成的图形的面积最小。二、特殊立体的体积1平行截面面积已知的立体的体积如果一个立体上垂直于一定轴的各个截面面积已知，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算。如右图，设过点且垂直于轴的截面面积为，且为的已知连续函数，利

16、用类似于求曲边梯形面积的方法可求得该立体的体积为例6 如右图所示，一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。2旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴。特别地，由连续曲线与直线及轴所生成的曲边梯形梯形梯形绕轴旋转一周也生成旋转体。而曲线称为旋转体的母线。xyo因为对任意的点，作垂直于轴的平面与旋转体相截的截面都是圆（如右图），其面积为：于是旋转体的体积为： 类似地，以连续曲线在区间上的一段曲线为母线，绕轴旋转而生成的旋转体的体积可求得为：例7 求直线、及轴所围图形绕轴旋转一周所生成的圆锥体的体积。例8 求圆绕轴旋转一周所生成的环形体的体积。§6.7 定积分在经济学中的应用教学内容1. 已知边际函数求总函数；2. 求收益流的现值和未来值；教学目的与要求掌握定积分的一些简单经济应用。教学重点与难点收益流的现值和未来值的计算教学时数 2教学过程：一、由边际函数求原经济函数例1：生产某产品个单位的总成本是的函数，已知单位成本的变化率为，并且知道生产100个单位时其单位成本为199元，求总成本函数。例2：设某产品的总成本（单位