第一模块_逻辑代数基础资料.doc

1、第一模块逻辑代数基础一、 本模块学习目标1、 理解数字信号和数字系统的基本概念;掌握二进制数的表示方法,理解8421 BCD码;2、 熟练掌握逻辑代数的基本逻辑运算和基本定律,熟练掌握代数法和卡诺图法化简逻辑函数的基本方法;3、 熟悉几种常用的数字器件及其逻辑符号的表示方法二、 本模块重点内容1逻辑代数的基本公式常用公式和定理2逻辑代数的表示方法(真值表逻辑式逻辑图波形图卡诺图)及其相关转换方法3最小项的定义及其性质逻辑函数最小项之和表示法4、 逻辑函数的化简方法(公式化简法和卡诺图化简法)5、 无关项在化简逻辑函数中的应用6、 计数体制权的概念十进制数与二进制数八进制数十六进制数的相互转换7

2、、 编码的概念与常用编码三本模块问题释疑1什么是数字信号和数字电路?答:在数值上和时间上均不连续的信号称为数字信号或脉冲信号输入和输出信号均为数字信号的电路称为数字电路这类电路研究的目标是它们的输入与输出间的逻辑关系2、 为什么数字逻辑是二值的?答:二值的数字逻辑的产生,是基于事物之间彼此相关又互相对立的逻辑状态,并分别用逻辑1和逻辑O来表示这种逻辑状态这里的“0”和“1”并不表示大小关系,而是表示逻辑关系,即一对相对的物理量3数字电路的特点?答:数字电路的特点如下:a) 输和和输出信号均为脉冲信号;b) 电子元件工作在开关状态即要么饱和要么截止;c) 研究的目的是输入与输出间的逻辑关系,而不

3、是大小和相位关系;d) 研究的工具是逻辑代数和二进制计数法4什么是脉冲波形?答:当某波形仅有两个离散值时,通常称之为脉冲波形5从工作信号和晶体管的工作状态来说明模拟电子电路和数字电子电路的区别答:模拟电子电路中输入和输出信号都是不仅在时间上而且在数值上连续变化的模拟信号,电路中的晶体管是工作在线性放大区,研究内容是电路输出与输入信号之间的大小和相位关系数字电子电路中输入和输出信号都是不仅在时间上而且在数值上不连续的脉冲信号,电路中的晶体管是工作在要么饱和要么截止的开关状态,研究的内容是电路输出与输入之间的逻辑关系6十二进制之间的转换规则?答:将二进制转换为十进制,需要二进制按权展开再相加便得到

4、二进制十进制转化为二进制,整数部分除2取余;小数部分乘2取整(101.01)B= 1×22 +0×21+1×20+0×2-1+1 ×2-2=(5.25)D所以:(44.375)D=(101100.011)B7十六二进制之间的转换规则?八二进制之间的转换规则?答:将二进制数中的每4位与十六进制数对应即得十六进制数;将每位十六进制数用4位二进制数代替即得到相应的二进制数将二进制数中的每3位与八进制数对应即得到八进制数;将每位八进制数用3位二进制数代替即得到相应的二进制数(374.26)O=(011 111 100 . 010 110)B =(11

5、111 100. 010 11)B(AF4.76)H=(1010 1111 0100 . 0111 0110)B =(1010 1111 0100 .0111 011)B8、 逻辑运算中“1”和“0”是否表示两个数字?逻辑加法运算和算术加法运算有何不同?答:逻辑运算中的“1”和“0”只是表示两个相反的逻辑状态,如高和低,开和关,通和断,是和非等等,不是算术运算中的两个数字逻辑加法运算是一种“或”逻辑关系,所以1+1=1,而不像十进制算术加法运算中1+1=2,或二进制加法运算中1+1=109、 列举逻辑函数的四种表示方法?答:逻辑真值表逻辑式逻辑图卡诺图和波形图10“与”“或”“非”运算的规律?

6、答:与运算:输入有0得0,全1得1;或运算:有1得1,全0得0;非运算:0变1,1变0,即“始终相反11逻辑代数和普通代数有什么区别?答:逻辑代数和普通代数的主要区别有:a) 逻辑变量有原变量和反变量两类,普通代数中没有反变量一说b) 逻辑变量的取值只有“0”和“1”两个,而普通代数中变量可取任意值c) 逻辑代数中的各种运算都是逻辑运算,而不是普通代数中的数值运算同样,逻辑变量的两个取值“0”和“1”,也不代表数值的大小,而只是代表两个相反的状态而已d) 逻辑代数中的基本运算只有逻辑乘(“与”)逻辑加(“或”)和逻辑“非”(求反或否定)三种,不像普通代数中有加减乘除四种12逻辑代数的特点?答:

7、逻辑代数的特点如下:1)它的所有变量与函数值仅有两个特征值0和1,具有排中性,它们所表示的是一对互为相反的差异,它的公式规律定理与主义均用二值逻辑的因果关系来理解;2)逻辑代数只有3种基本运算,即与或非13什么是代入规则?答:在任何一个逻辑等式中,如果将等式两边的某一变量都用一个函数代替,则等式依然成立14什么是反演规则?答:若求一个逻辑函数Y的反函数时,只要将函数中所有“·”换成“+”,“+”换成“·”;“0”换成“1”,“1”换成“0”;原变量换成反变量,反变量换成原变量;则得到的逻辑函数式就是逻辑函数Y的反函数15什么是对偶规则?答:Y是一个逻辑表达式,如果将Y中的“

8、·”换成“+”,“+”换成“·”;“0”换成“1”,“1”换成“0”;所得到新的逻辑函数式Y,就是Y的对偶函数16、 运用基本规则的注意事项?答:运用规则必须注意运算符号的先后顺序,必须按照先括号,然后按先与后或的顺序变换,而且保持两个及两个以上变量的非号不变17最小的性质?答:最小的性质如下:1) 对于任意一个最小项,只有变量的一组取值使得它的值为1,而取其它值时,这个最小项的值都是02) 若两个最小项之间只有一个变量不同,其余各变量均相同,则称这两个最小项满足逻辑相邻3) 对于任意一种取值全体最小项之和为14) 对于一个n输入变量的函数,每个最小项有n个最小项与之相邻1

9、8最小项编号的方法?答:先将最小项的原变量用1,反变量用0表示,构成二进制数;将此二进制数转换成相应的十进制数就是该最小项的编号19、 什么是逻辑相邻项?答:卡逻辑相邻项是指:诺图中上下左右之间的最小项;水平方向里同一行最左和最右;垂直方向同一列最上和最下以及四个角为逻辑相邻项20、 利用卡诺图全并最小项的规律?答:圈0得到反函数,圈1得到原函数只有满足2m个最小项的相邻项才能合并,并可消去m个不同变量,保相同变量21、 画卡诺圈的注意事项?答:注意事项如下:e) 卡诺圈应按2n方格来圈,卡诺圈越大越好,越少越好;f) 卡诺圈中的“1”可以重复使用;g) 每个圈至少有一个从来没被圈过的“1”,

10、否则为多余圈h) 包围圈越少越好,包围圈中“1”越多越好22、 4变量和5变量的卡诺图有几个方格?答:4变量的卡诺图为16个方格5变量的卡诺图有32个方格23、 什么是最小项?答:n个变量X1, X2,Xn的最小项是n个因子的乘积,每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现,且仅出现一次又称标准积项24、 如何理解逻辑状态表和卡诺图是惟一的?答:逻辑状态表中包含了所有输入变量的全部取值组合及其对应的输出变量的取值,反映了逻辑问题的全部因果关系,因此对一个逻辑问题来说它是惟一的表示方法卡诺图画出了所有变量组成的全部最小项所占有的小方块,这些小方块中取1的部分恰好是逻辑函数中取1的最小项,

11、它同样反映了逻辑问题的全部因果关系,所以也是唯一的由上可见,用最小项表示的逻辑式也应该是惟一的25、 什么是正逻辑和负逻辑?有何相互转换的方法?答:正逻辑:规定高电平为“1”,低电平为“0”负逻辑:规定低电平为“1”,高电平为“0”26、 什么是无关项?卡诺图中无关项如何处理?答:在真值表内对应于变量的某些取值下,函数的值可以是任意的,或者这些变量的取值根本不会出现,这些变量取值所对应的最小项称为无关基或任意项无关项的输出是任意的,如果它对函数化简有利,则认为它是“1”;反之,则认为它是“0”四本模块例题详解【例1】1将转换成十进制数解:=2一数字信号的波形如图1.1.1所示,试问该波形所代表

12、的二进制数是什么?解:0101 10103将下列每一二进制数转换为十六进制码:(1) 101001B(2) 11.01101B解:(1) 101001B=29H(2) 11.01101B=3.68H4将下列十六进制数转换为二进制数:(1) 23F.45H(2) A040.51H解:(1) 23F.45H=10 0011 1111.0100 0101B(2) A040.51H=1010 0000 0100 0000.0101 0001B【例2】将转换为十进制数解:【例3】1将转换为十进制数解:2将下列十进制数转换为二进制数八进制数十六进制数和8421BCD码(要求转换误差不大于2-4): (1)

13、 43(2) 127(3) 254.25(4) 2.718解:(1) 43D=101011B=53O=2BH;43的BCD编码为0100 0011BCD(2) 127D=1111111B=177O=7FH;127的BCD编码为0001 0010 0111BCD(3) 254.25D=11111110.01B=376.2O=FE.4H;0010 0101 0100.0010 0101BCD(4) 2.718D=10.1011 0111B=2.56O=2.B7H;0010.0111 0001 1000BCD3 将下列十进制转换为十六进制数: (1) 500D(2) 59D(3) 0.34D(4)

14、1002.45D解(1) 500D=1F4H(2) 59D=3BH(3) 0.34D=0.570AH (4) 1002.45D=3EA.7333H 4将下列十六进制数转换为十进制数: (1) 103.2H(2) A45D.0BCH 解:(1) 103.2H=259.125D(2) A45D.0BCH=41024.046D【例4】求;解:001,110,111.110,111,100 1 6 7 6 7 4 故:0111,0111. 1101,1110 7 7 D E 故:【例5】求解:011, 111, 100.010故3 7 4 . 20011, 0111, 0100 . 0010故3 7

15、4 . 2【例6】求解: 2 51 余数 2 25 1 低位 2 12 1 2 6 0 2 3 0 2 1 1 0 1 高位【例7】求,要求精确到小数点后第5位解:【例8】用逻辑代数证明下列不等式 (a) 证明:由交换律,得(b) 证明:(c) 证明:(d) 证明:(e) 证明:(f) 证明:【例9】1.利用与非门实现下列函数(a) L=AB+AC(b) (c) 2.将下列各式转换成与 或形式(a) (1)当,时,真值为1于是AB=01,CD=00或CD=11时,真值为1;AB=10,CD=00或CD=11时,真值为1则有四个最小项不为0,即(2)当,时,真值为1AB=00,CD=10或CD=

16、01时,真值为1;AB=11,CD=10或CD=01时,真值为1则有四个最小项不为0,即(b) (c) 【例10】用代数法求的最简与或式解:【例11】求的最简与或式解:这种类型的题目,一般首先对是非号下的表达式化简,然后对整个表达式化简故:【例12】用卡诺图法求的最简与或式解:的卡诺图及卡诺圈画法如图1.1所示所得最简与或式为注意:卡诺图左上角的变量分布根据不同的习惯有不同的写法,如另一种写法为CD/AB,对于这种写法,卡诺图中填1的方格也要相应改变为如图1.2所示图1.1 的卡诺图图1.2 的另一种卡诺图初学者常常犯这样的错误,在画卡诺图时,变量的分布按图1.2中的式样填写成CD/AB,而在方格中填“1”时,却按图1.1的样式填写,因而导致错误的结果按照习惯,在画卡诺图时,从左上角到右上角,变量ABCD排列的顺序与函数括号中的排列一致,或与真值表上的变量排列一致【例13】求的最简与或式解:的卡诺图及卡诺圈画法如图1.3所示所得最简与或式:注意:对同一个函数的卡诺图,有时存在不同的卡诺圈画法,因而所得的最简与或式的表达式不是唯一的,但不同表达式中与项的数目应该是相同的例如:此题的另一种卡诺圈画法如图1