知识点223欧拉公式解答

1、1、（2009凉山州）观察下列多面体，并把下表补充完整观察上表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出关系式考点：欧拉公式。专题：图表型。分析：三棱柱的顶点数为：3×2=6，棱数为：3×3=9，面数为：2+3=5；四棱柱的顶点数为：4×2=8，棱数为：4×3=12，面数为：2+4=6；五棱柱的顶点数为：5×2=10，棱数为：5×3=15，面数为：2+5=7；六棱柱的顶点数为：6×2=12，棱数为：6×3=18，面数为：2+6=8a+cb=2解答：解：规律为a+cb=2点评：可先由简单图形得到解决问题的方

2、法2、（2006烟台）下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块图号顶点数x棱数y面数z（a）8126（b）（c）（d）（e）（1）我们知道，图（a）的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图（b）、（c）、（d）、（e）中木块的顶点数、棱数、面数填入下表；（2）上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式考点：欧拉公式。专题：规律型。分析：（1）小题，只要将图（b）、（c）、（d）、（e）各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一

3、部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内；（2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可解答：解：（1）见表：图号顶点数x棱数y面数z（a）8126（b）695（c）8126（d）8137（e）10157（2）规律：x+z2=y点评：命题立意：考查平均数的求法，搜集信息的能力（读表），作图能力及用样本估计总体的统计思想3、（1）图是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图、的木块我们知道，图的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图、中木块的顶点数、棱数、面数填人下表：（2）观察此表，请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数

4、、面数之间的数虽关系是：顶点数+面数棱数=2（3）图是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为8，棱数为6，面数为3考点：欧拉公式。专题：规律型。分析：（1）只要将图（b）、（c）、（d）、（e）各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内；（2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可（3）按要求做出图形，注意是与图不同的切法，然后数出该木块的顶点数，棱数和面数即可解答：解：（

5、1）见表：（2）观察上表，即可归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数的关系是：顶点数+面数棱数=2（3）如切过之后为一长方体，所画图形如下所示：则该木块的顶点数为8，棱数为6，面数为3故答案为：顶点数+面数棱数=2；8，6，3点评：本题考查了欧拉公式的知识，同时考查了平均数的求法，搜集信息的能力（读表），作图能力及用样本估计总体的统计思想4、如图，左面的几何体叫三棱柱，它有五个面，9条棱，6个顶点，中间和右边的几何体分别是四棱柱和五棱柱（1）四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面；（2）五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面；（3）你能由此猜出，六棱柱、七棱柱各有几个顶点，几条棱，几个面吗？（

6、4）n棱柱有几个顶点，几条棱，几个面吗？考点：欧拉公式。专题：规律型。分析：结合已知三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱解答：解：（1）四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面；（2）五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面；（3）六棱柱有12个顶点，18条棱，8个面；七棱柱有14个顶点，21条棱，9个面；（4）n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱点评：熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱5、是否存在一个有10个面、24条棱和18个顶点构成的棱柱？若存在，请指出是几棱柱；如果不存在，请说明理由考点：欧拉公

7、式。分析：一个直棱柱有18个顶点，说明它的上下底面是两个九边形，从而可以确定它的面的个数解答：解：由棱柱的特性可知：不存在一个有10个面、24条棱和18个顶点构成的棱柱因为有18个顶点构成的棱柱是九棱柱，它有9+2=11个面、3×9=27条棱点评：本题主要考查n棱柱的构造特点：（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点6、每四年一次的世界杯足球赛吸引了众多的球迷，实际上国际足联规定的足球是由一块块正五边形、正六边形的皮缝制而成的若将之视作一个多面体，则它的面数f、棱数e、顶点v之间存在着一个关系式f+ve=2，若已知棱数为48，顶点数为24，则面数必为多少？考点：欧拉公式。分析：把e=48

8、，v=24直接代入所给关系式即可解答：解：f+ve=2且v=24，e=48，f=2+ev=2+4824=26，故面数必为26面点评：本题考查几何体面数，顶点数，棱数之间的关系7、已知一个多面体的各个面都是五边形，你能运用欧拉公式证明这个多面体的顶点数V，棱数E，面数F之间有2V=3F+4的关系吗？试试看吧!考点：欧拉公式。专题：探究型。分析：根据各个面都是五边形的多面体的构造特点及欧拉公式V+FE=2可证解答：解：一个多面体的各个面都是五边形，这个多面体E=F+F=F，V+FE=2，V+FF=2，2V=3F+4点评：本题考查几何体面数，顶点数，棱数之间的关系8、“每四年一次的世界杯足球赛吸引了

9、众多的球迷，今年的世界杯西班牙队夺冠，不仅仅成就了西班牙足球的全新高度，也是足球世界的大事自1998年以来，12年里，世界足坛再没有迎来新的霸主此前，夺取过世界杯冠军的球队只有7支：巴西五次加冕（1958年、1962年、1970年、1994年、2002年）、意大利四次称雄（1934年、1938年、1982年、2006年）、德国三次登顶（1954年、1974年、1990年），阿根廷两次抡元（1978年、1986年），乌拉圭两次夺冠（1930年、1950年），法国（1998年）、英格兰（1966年）各自夺冠一次如今，西班牙光荣的成为历史上第八支世界杯冠军球队这意味着，世界杯的历史已被突破！”实际上

10、国际足联规定的足球是由一块块正五边形、正六边形的皮缝制而成的若将之视作一个多面体，则它的面数f、棱数e、顶点v之间存在着一个关系式f+ve=2，若已知棱数为48，顶点数为24，则面数必为多少？考点：欧拉公式。分析：把e=48，v=24直接代入所给关系式即可解答：解：f+ve=2且v=24，e=48，f=2+ev=2+4824=26，故面数必为26面点评：本题考查用待定系数法求未知字母的解对于任一凸多面体均满足f+ve=2这一关系式9、仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题：（1）填空：正四面体的顶点数V=4，面数F=4，棱数E=6正六面体的顶点数V=8，面数F=6，棱数E=1

11、2正八面体的顶点数V=6，面数F=8，棱数E=12（2）若将多面体的顶点数用V表示，面数用F表示，棱数用E表示，则V、F、E之间的数量关系可用一个公式来表示，这就是著名的欧拉公式，请写出欧拉公式：V+FE=2（3）如果一个多面体的棱数为30，顶点数为20，那么它有多少个面？考点：欧拉公式。专题：规律型。分析：（1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义进行填空即可（2）根据（1）中，多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得V、F、E之间的数量关系式（3）根据（2）中，顶点数，面数和棱数之间的关系式，代入求解即可解答：解：（1）4，4，6；8，6，12；6，8，12；（2）V、F、E之间的数量

12、关系是：V+FE=2；（3）解：设面数为F，则20+F30=2解得F=12答：它有12个面点评：本题考查的是多面体的定义，关键点在于：多面体指四个或四个以上多边形所围成的立体10、（1）三棱锥有6条棱，4个面，四棱锥有8条棱，5个面；（2）十五棱锥有30条棱；（3）有没有一个多棱锥，其棱数是2006，若有求出有多少个面；若没有，说明理由考点：欧拉公式。专题：几何图形问题。分析：（1）四棱锥侧面有4条棱，底面有4条棱，共有8条棱；侧面有4个面，底面有1个面，共有5个面；（2）共有30条棱，那么底面有15条棱，是十五棱锥；（3）棱数是2006，只能分为侧面为1003条棱，底面为1003条棱，这个几

13、何体共有1004个面解答：解：（1）四棱锥有8条棱，5个面；（2）十五棱锥有30条棱；（3）一个多棱锥的棱数是2006，则这个多面体的面数是2006÷2+1=1004故有1004个面故答案为：8，5；十五点评：本题考查有规律的寻找多面体的棱及面的特点熟记棱锥图形的特征是解决此类问题的关键11、根据多面体顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的关系（V+FE=2），判断是否存在满足以下条件的多面体（1）4个顶点，4个面，8条棱；（2）14个顶点，9个面，21个棱考点：欧拉公式。专题：计算题。分析：根据多面体顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的关系（V+FE=2），即可得出答案解

14、答：解：（1）V+FE=4+48=02，所以不存在满足条件（1）的多面体（2）V+FE=14+921=2，所以存在满足条件（2）的多面体点评：本题考查了欧拉公式的知识，属于基础题，注意对欧拉公式的熟练掌握12、多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446长方体8612正八面体6812正十二面体20123018世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格，你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+FE=2（2）一

15、个多面体的面数与顶点数相等，有12条棱，这个多面体是七面体考点：欧拉公式。专题：规律型。分析：（1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义进行填空即可根据多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得V、F、E之间的数量关系式（2）根据（1）中，顶点数，面数和棱数之间的关系式，代入求解即可解答：解：（1）四面体的棱数为6；长方体的面数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+FE=2；（2）由题意得：F+F12=2，解得F=7故答案为：V+FE=2；7点评：本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用13、新年晚会，是我们最欢乐的时候会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形（1）数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）正四面体446正方体正八面体正十二面体正二十面体122030（2）观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系（3）伟大的数学家欧拉（Euler 17071783）证明了这一令人惊叹的关系式，即欧拉公式若已知一个多面体的顶点数V=196，棱的条数E=294请你用欧拉公式求这个多面体的面数考点：欧拉公式。专题：常规题型。分析：（1）根据图形数出顶点