科研训练草稿

1、长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练求第二型曲线积分的方法系 （部）： 信息与计算科学系 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2009031113 学生姓名： 吕龙威 成 绩： 2012 年6 月求第二型曲线积分的方法吕龙威长沙学院 信息与计算科学系，湖南 长沙， 410022摘要：第二型曲线积分是定义在平面或空间曲线线段上的函数积分本文主要利用“三替换法”化为定积分法；格林公式凑微分法；斯托克斯公式多层次，全方位讲解第二型曲线积分的技巧每种方法结合一两个例题加以诠释，熟悉各种方法的具体运用关键词：第二型曲线积分，斯托克斯公式，凑微分，格林公式，定积分1 引言第二型曲线曲面积分又称为对坐标的

2、积分，具有第一型不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，是变力沿曲线做功的具体反映，在物理学上有重要的应用第二型曲线积分又是数学分析中的重要知识章节掌握其基本的计算方法具有很大的难度，与格林定理，斯托克斯定理紧密相关，是微积分中的重点和难点本文通过分析第二型曲线积分几种计算技巧，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法对广大学生学习第二型曲线积分具有重要的指导意义2求第二型曲线积分的方法方法一 利用“三替换法”化为定积分2 三替换法是指：替换；替换；替换根据L的不同形式，有以下三种不同的替换法(1) 替换其中上限下限分别对应的起点、终点参数值（2）替换（3）替换其中图1例

3、12 为以为顶点的三角形边界，如图1计算 沿逆时针方向解 如图所示，这是第二类曲线积分方法二利用格林公式法4在物理学与数学中， 格林定理连结了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为C且平面区域为D的双重积分格林定理是斯托克斯定理的二维特例，以英国数学家乔治·格林（George Green）命名定义：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有其中L是D的取正向的边界曲线格林公式还可以用来计算平面图形的面积此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I

4、型的区域，C2和C4是竖直的直线对于II型的区域D，其中C1和C3是水平的直线图3如果我们可以证明 （1）以及 （2） 那么就证明了格林公式是正确的把右图中I型的区域D定义为：其中g1和g2是区间a, b内的连续函数。计算(1)式中的二重积分：现在计算(1)式中的曲线积分C可以写成四条曲线C1、C2、C3和C4的交集对于C1，使用参数方程：x = x，y = g1(x)，a x b那么：对于C3，使用参数方程：x = x，y = g2(x)，a x b那么：沿着C3的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C2和C4上，x是常数，因此：所以:(3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得

5、到(2)例24.用格林公式计算例1中（2）的第二类曲线积分解： 显然，这个积分满足格林公式的条件用格林公式，这比例1中的解法简单一些例34.计算第二类曲线积分 其中L为从A（-2,0）到B（2,0）沿椭圆的上半部分的曲线解：L不是一条封闭曲线，不能直接用格林公式增加沿x轴的线段而成为封闭曲线 图4 此题重点提到的是针对于非封闭曲线如何利用格林公式通过补形的方法将第二类曲线积分的计算转化为二重积分的计算方法三凑微分法7对第二型曲线积分，若积分与路径无关，则有与定积分的牛顿莱布尼茨公式相类似的计算公式，下面以定理的形式写出定理 设P(x,y),Q(x,y)在单连通闭区域D内有一阶连续偏导数，点A(

6、x1，y1)，B（x2,y2）D,且D，若存在一个可微函数，使，则 （*）而用此公式的关键在于求的原函数及全微分本文只强调用观察的方法来凑全微分这就必须对下边的几个简单常用的表达式要非常熟悉：例42、7 计算 ，积分路径不与y轴相交解：例53、7 计算 ，其中C是下半圆周，A(1,0),B(2,0)解： 方法四利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分4 斯托克斯（Stokes）公式建立了沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L的积分之间的联系在介绍下述定理之前，先对双侧面S的侧与边界L的方向作如下规定：设有人站在S上指定的一侧，若沿L行走，指定的侧总在人的左方，则人的前进方向为边界L正向；若沿L行走

7、，指定的侧总在人的右方，则人的前进方向为边界线L的负向，这个规定方法也称为右手法则，如下图所示定理35 设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线，若函数P,Q,R在S（连同L）上连续，且有一阶连续偏导数，则 （2）其中S的侧面与L的方向按右手法则确定公式（2）称之此公式为斯托克斯公式证明： 先证 （3）其中曲面S由方程确定，它的正侧法线方向数为，方向余弦为，所以若S在xy平面上投影区为，L在xy平面上的投影曲线记为，现由第二类曲线积分定义及格林公式有因为所以由于从而综合上述结果，便得所要证明的（3）式同样对于曲面S表示和时，可得 （4）和 （5）将（3）、（4）、（5）三式相加即得斯托克斯公式（2） 如果曲线S不能以的形式给出，则用一些光滑曲线把S分割为若干小块，使每一小块能和这种形式表示，因而这时斯托克斯公式也能成立为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式：例15、8 计算,其中L为平面与各坐面的交，取逆时针方向为正向 解 应用斯托克斯公式参考文献1 华东师大数学系. 数学分析(下)M，第三版. 高等教育出版社，2001，202-208.2 冯烽平面第二型曲线解题思路与技巧J高等教学研究，2010,13(2):34-36查阅的相关网站 3 陈少元.第二型曲线积分计算方法与技巧J. 科技信息（学术版），2007（1）.4孙建武 宋扣兰淮阴