直线与椭圆位置关系学案

1、第 5 章 第 1 课时 直线与椭圆位置关系(一)1、掌握直线与椭圆位置关系各种处理方法2、掌握弦长问题、中点弦问题、面积问题、定点定值问题、最值范围等问题3、进一步体会数形结合的思想方法自主学习回归教材：1、研究直线与椭圆的方法 判别式 位置直线（几何）转化 直线方程 消y px2+qx+r=0（q0） 求根公式 交点椭圆 椭圆方程 韦达定理 弦长、弦中点等2、弦长的计算设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB|x1x2| ·|y1y2|.3、中点弦问题5、两种常见设变量的方法设点法设k法课前自测题1、已知直线l过椭圆8x2

2、9y272的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，则弦|MN|=_破题切入点根据条件写出直线l的方程与椭圆方程联立，用弦长公式求出解由得11x218x90.由根与系数的关系，得xMxN，xM·xN.由弦长公式|MN|xMxN|·.2、已知点（4，2）是直线l被椭圆所截得的弦中点，则l方程是_3、若椭圆mx2ny21 (m>0，n>0)与直线y1x交于A、B两点，过原点与线段AB的中点的连线斜率为，则的值为_4、椭圆1上任意一点P，M(0，6)，N(0，6)在椭圆上，则直线PM、PN的斜率乘积为_若为椭圆C：1(a>b>0)上任意两个关于原点对

3、称的点, 点为椭圆上异于的任意点，则直线PM、PN的斜率乘积为_证明设P(x，y)，则有1，得.又kPM(x0)，kPN(x0)，kPM·kPN·.故直线PM、PN的斜率之积为一定值5、过椭圆的上顶点A作两条直线分别交椭圆于点B，C（不同于点A），且它们的斜率分别为k1，k2，若k1k2 = - 4，则直线BC过定点_例题讲练直线过定点（点在椭圆上）例1、已知椭圆1(a>b>0)的离心率为，且过点A(0,1)(1)求椭圆的方程；(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点求证：直线MN恒过定点解：(1)由题意知，e，b1，所以a2c21，解得a2，所以

4、椭圆C的标准方程为y21.(2)设直线AM的方程为ykx1.联立方程组得(4k21)x28kx0，解得x1，x20，所以xM，yM.同理可得xN，yN.则kMP，kNP，所以kMPkNP，故直线MN恒过定点P.变式1、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。 （1）求P点坐标；2）求证直线AB的斜率为定值；（1）设椭圆方程为，由题意可得，方程为，设则点在曲线上，则 从而，得，则点的坐标为（2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为，则PB的直线方程为： 由得设则 同理可得，则

5、 所以：AB的斜率为定值变式2、如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，过点A(a，0)与B(0，b)的直线与原点的距离为 ，又有直线yx与椭圆C交于D，E两点，过D点作斜率为k的直线l1直线l1与椭圆C的另一个交点为P，与直线x4的交点为Q，过Q点作直线EP的垂线l2（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线l2恒过点QBADOEPl1l2yx:直线过定点（点不在椭圆上）例2、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，

6、若PC=2AB，求直线AB的方程.【答案】（1）（2）或变式1、已知椭圆，其中心为O，A,B是椭圆上的两点，连接OA，OB，它们的斜率分别为（1）若，求证：为定值。（2）若 求证：的定值 求证：原点O到AB的距离为定值变式2、如图，椭圆经过点，且离心率为.(I)求椭圆的方程；(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.【答案】(I) ； (II)证明略，详见解析.第 5 章 第 1 课时 【课后检测与评估作业】1.已知椭圆y21及点B(0，2)，过左焦点F1与B的直线交椭圆于C、D两点，F2为其右焦点，求CDF2的面积解析F1(1,0)直线CD方程

7、为y2x2，由得9x216x60，而>0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则|CD|，|CD|.F2到直线DC的距离d，故SCDF2|CD|·d.9设椭圆C：1(ab0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解：(1)将(0,4)代入椭圆C的方程得1，b4.又e得，即1，a5，C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.解得x1，x2，AB的中点坐标，(x1x26).即中点为（，

8、）.5设椭圆1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足PF2F1F2.(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M，N两点，且MNAB，求椭圆的方程审题视角第(1)问由PF2F1F2建立关于a、c的方程；第(2)问可以求出点A、B的坐标或利用根与系数的关系求AB均可，再利用圆的知识求解规范解答解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c>0)，因为PF2F1F2，所以2c.整理得2()210，得1(舍)，或.所以e.4分(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线

9、PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.8分得方程组的解不妨设A(c，c)，B(0，c)，所以ABc.于是MNAB2c.12分圆心(1，)到直线PF2的距离d.因为d2()242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520，得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.16分*17. 如图，圆O与离心率为的椭圆T：1(a>b>0)相切于点M(0,1)(1)求椭圆T与圆O的方程；(2)过点M引两条互相垂直的直线l1，l2与两曲线分别交于点A，C和点B，D(均不重合)若P为椭圆上任意一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，

10、求dd的最大值；若3·4·，求直线l1与l2的方程解：(1)由题意知，b1，c2b2a2，解得a2，b1，c，故椭圆的方程为y21，圆O的方程为x2y21.(2)设P(x0，y0)因为l1l2，则ddPM2x(y01)2，因为y1.所以dd44y(y01)232.因为1y01，所以当y0时，dd取得最大值，此时点P.设直线l1的方程为ykx1，由解得A；由解得C.将A，C中的k置换成可得B，D，所以，.由3·4·，得，解得k±，所以直线l1的方程为yx1，l2的方程为yx1或直线l1的方程为yx1，l2的方程为yx1.设椭圆（）的右焦点为，右顶

11、点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.【解析】（2）（）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.解得，或，由题意得，从而.由（）知，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在中，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值范围为.例5.椭圆的中心在原点O，短轴长为，左焦点为，直线与轴交于点A，且，过点A的直线与椭圆相交于P，Q两点.（1）求椭圆的方程.（2）若，求直线PQ的方程. 解：（1）设，则，解得4，c1，所以椭圆方程为。4分（2）设PQ的方程为因为PFQF，所以，即，8分联立得消去y，得，10分由，得11分所以.12分代入（*）式化简，得8k21，所以则直线PQ的方程为.14分已知椭圆的两个焦点分别为，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直