灰色线性规划

1、第八章 灰色线性规划线性规划是目前研究多变量系统应用很广的一种决策方法，在社会经济学科中应用尤为普遍。但是，由于社会经济系统以及自然生态环境系统中存在着很多不确定的、模糊的因素，其现象往往是灰色的，因此利用线性规划进行分析和处理问题时可能会出现错误。而灰色线性规划是在技术系数是可变的灰数、约束值是发展的情况下进行的，是一种动态的线性规划，正好弥补了常规线性规划的不足，在渔业科学中也得到了初步的应用。在本章中我们将主要介绍灰色线性规划模型以及灰色线性规划在渔业科学中的应用。第一节 灰色线性规划模型一、线性规划模型标准形式线性规划是运筹学的一个重要分支，是目前研究多变量系统应用很广且简便易行的一种

2、数学模型，也是确定型决策最常用的方法。它主要解决的问题是如何最大限度地发挥有限资源（包括人力资源）的作用，取得的最大经济、社会效益，为合理利用人力、物力和财力找出有效途径。线性规划研究的问题主要有两类：一是一个目标或任务确定后，如何统筹安排，以最少的人力、物力和财力去完成这一目标；二是在一定的条件下，即有一定数量的人力、物力和财力，如何通过合理的安排和使用，使得完成的任务最多，最大的效益最大化。这实际上是一个问题的两个方面，也就是解决系统整体的最优问题。因此，线性规划常被用作调整各行业产业结构的主要数学方法。线性规划是求解线性关系问题。所谓线性关系就是比例关系，如生产量和资源投入量之间、成本与

3、利润之间等的关系，一般均呈线性或接近线性关系。构成线性规划问题通常需要具备以下条件：（1）确定问题的决策变量。这是指决策人可以控制的因素，它们的值决定模型的解。（2）要有明确的目标。要求问题的目标能用数值来表示，即把有关问题转化为公式，并确定决策人用来评价问题不同答案的准则，即目标函数。（3）要达到的目的是在一定的约束条件下实现的，同时存在着达到目标的多种可行方案。（4）弄清有限资源的限制数量，各生产部门的投入产出关系和产出收益之间关系，以确定合理的决策变量系数。（5）约束条件和目标函数都必须是线性关系。约束条件反映系统环境的限制，目标函数反映决策者的目的。因此一般线性规划模型包括五个部分：（

4、1）决策变量Xj（j=1，2，n）；（2）约束条件或资源限制bi（i=1，2，n）；（3）技术系数aij；（4）效益系数cj；（5）目标函数Z。线性规划数学模型为：目标函数 max或min Z=c1x1+c2x2+cnxn满足于约束条件：x1，x2，xn0其缩写形式为：目标函数 max或min Z= 满足约束条件 （i=1，2，m）xj0 （j=1，2，n）式中：xj代表一组未知的决策变量，表示各种产品的产出量； aij技术系数，表示生产j种产品所需i种生产因素的投入数量； cj效益系数，表示生产单位j种产品的收益； bi代表生产要素的限制量。具有上述结构的线性规划问题，我们称为标准形式。具体

5、的线性规划模型可能会有很多限制和约束，但是任何线性规划问题都可以变换成上述标准形式。二、灰色线性规划尽管线性规划在社会经济发展中得到了广泛的应用，但是一般线性规划存在下述问题：（1）线性规划是静态的，不能反映约束条件随时间变化的情况，因而所得结果往往因条件改变而失败。（2）如果规划模型中，出现灰参数（或灰数），如约束方程中的技术系数、约束值等，则一般线性规划难以处理。（3）由于模型技术或计算技巧问题，在实际计算过程中常出现无解或无法求解。由于上述问题的存在，使得一般线性规划的应用受到一定程度的限制。但是这些问题可以利用灰色系统的思想和建模方法来解决，结合灰色系统理论的线性规划称为灰色线性规划。

6、灰色线性规划的形式如下：目标函数： 约束条件： X0也就是说：在满足 X0的条件下，寻求一组X，使f（X）达极大值（或极小值）。上述关系式中X为向量：C为目标函数的系数向量Ci可以是灰数。为约束条件的系数矩阵，A为的白化矩阵，且有： = A= b是约束量 若对于约束指标bi，有一组白化序列 则对作累加生成后得，再以数据，按GM（1，1）建立预测模型，再从预测模型求出预测值。在作规划计算时，按下述约束条件 X = 则可求出K时刻的灰色线性规划值。当K>n的条件下取不同值时，可以得到未来发展的各种线性规划解，也就是各个不同时期的线性规划解。灰色线性规划具有如下几个特点：（1）弥补了一般线性规

7、划的不足，常规线性规划是一种确定的、静态的模型，它要求目标系数中的效益系数、约束条件中的技术系数、资源量及其它限制量等都被固定下来，事实上社会经济关系是不确定的、多变的，存在着许多偶然的、风险的因素，并且各因素之间相互关联、错综复杂，并不一定呈线性关系，所以求出的解可能与实际不符，甚至无解。灰色线性规划是在技术系数是可变的灰数、约束值是发展的情况下进行的，是一种动态的线性规划，正好弥补了常规线性规划的不足。（2）不仅可以指导既定条件下的最优构造，而且可以指导最优结构的发展变化情况，约束条件中的约束值可能是变动的，有的可用时间序列描述，按GM（1，1）模型进行预测得到没这样的线性规划不仅仅只反映

8、一种特定的情况，而是可以反映约束条件发展变化的情况。这样的线性规划解，不是一个值，而是一组值，并且是一组时间序列值。这样的解不但可以指导现在条件下的最优结构，而且可以知道最优结构关系的发展变化情况。（3）给定一组信息，就可得到一组优化方案。灰色线性规划中的约束条件系数，是灰区间数，既可按下限规划，又可按上限规划，还可按区间内的任何一白化值进行规划。在区间内，只要可以得到一组白化值（信息），便可得到一组优化方案，从而使规划灵活多变，有众多的调整余地，适应情况的发展变化，避免了常规线性规划使许多具体问题得不到可行解的结论。第二节 灰色线性规划在渔业科学中的应用目前灰色线性规划在渔业科学中的应用主要

9、在海洋渔业结构特征（包括养殖业、渔船结构等）、产业结构调整、发展规划等方面。现结合有关例子进行分析和探讨。一、 海洋渔业结构调整研究高清廉、邱天霞、宋协法等于1999年第2期青岛海洋大学学报上发表了山东省海洋渔业结构调整研究的文章。文章运用灰色线性规划运筹学最优化方法来探讨渔船结构调整，以实现产值的优化，并用非全人工变数单纯形法给出线性规划的目标函数的极小值和极大值。1，不同级别渔船的努力量配比结构的计算与结果目标确定：文章选取反映经济效益指标利润最大为目标函数，求解各级别渔船的功率在预测范围内最大经济效益的各级别渔船的适宜海洋捕捞努力量。变量设置：选取各级别渔船的捕捞努力量为决策变量。约束条

10、件：在诸多可供选择的约束变量中，采用总控制和分级别船只功率控制作为双约束参量指标。系数的选择：文章采用的效益系数是指目标函数中决策变量的系数，此处指104PS利润。线性规划模型的建立。2000年山东省分级别海洋渔船的线性规划模型为：Ymax = 2497X1+3256X2+2818X3+1540X4+2062X5+109X6+3X7+398 X8X1+ X2+ X3+ X4+ X5+ X6+ X7+ X8100X5+ X6+ X7+ X8400X110，X2=20-25，X3=5-10，X420X1、 X2、 X3、 X4、 X5、 X6、 X7、 X80式中：X1、 X2、 X3、 X4、

11、X5、 X6、 X7、 X8分别表示为19PS以下、20PS、2159PS、60119PS、120199PS、200399PS、400599PS和600PS以上渔船马力。计算结果：由于规划数值是个概数，故计算结果均取四舍五入（单位均为104PS）X1=10，X2=25， X3=5 ，X4=20， X5=10， X6=10， X7=5 ，X8=15上述优化模型运算结果表明，在总渔获努力量控制在100×104PS条件下的各级渔船结构为：应继续压缩19PS以下渔船，压缩2159PS和120199PS级别渔船所占比例，稳定20PS渔船，发展60119PS、200399PS和600PS以上级别

12、船只。2，山东省海洋捕捞作业类型渔船数量及努力量配比规划 根据对本省渔船作业类型与努力量配置的分析，提出如下调整意见：(1) 在海洋捕捞总努力量控制小于100×104PS条件下，考虑到渔业资源承受力与现有渔业生产力基础，提出4：3：3配比结构格局，即拖网船（含围网）=40%；流刺网船（含钓船）=30%；定置网船（含其它）=30%。(2) 各作业类型不同级别船只努力量配置（表8-3）渔船总数大约控制在26680艘左右，比目前35417艘（1994）在数量上有较大减少，同时渔船努力量与作业渔船类型的结构有明显改善。表8-3 山东各类不同级别船只努力量配置表作业类型总功率（104KW）与渔

13、船数（艘）拖围网船级别441KW以上184-294KW136-147KW功率（104KW） 船数（艘）11 25011 5007.35 500流钓渔船级别44.1KW以上29.4-44KW15KW功率（104KW） 船数（艘）11 25003.68 12507.35 5000定置网船级别15.4-44KW15KW8.8KW功率（104KW） 船数（艘）3.68 85011 75007.35 8330引自高清廉、邱天霞、宋协法等（1999）3海水养殖业线性规划模型（1）目标确定 选择反映经济效益指标纯收入最大为目标函数，求得各产业的适宜养殖面积。（2）变量设置 选取养殖面积为决策变量。取鱼类养殖

14、、虾蟹类养殖、藻类养殖、浅海贝类养殖、滩涂养殖的养殖面积为决策变量X1、X2、X3、X4、X5。（3）约束条件限制选定的约束条件为养殖面积约束。 表8-6 约束量 单位：104亩年份鱼类养殖虾蟹类养殖藻类养殖浅海贝类养殖滩涂贝类养殖浅海养殖滩涂养殖港湾养殖19941.3265.9817.6673.6737.6692.4052.8252.1320002.5754.0138.41129.0189.80149.71163.4254.01引自高清廉、邱天霞、宋协法等（1999）（4）系数的选取效益系数是指目标函数中各决策变量的系数，本文以1994年各年分产业的单位面积纯收入作为参考效益系数。（5）线性

15、规划模型的建立2000年的线性规划模型为：Zmax=1218X1+179X2+1243X3+1341X4+1361X5X1+X2+X3+X4+X5367.14X1+X2 +X5163.42+54.01X3+X4149.71X12.57，X254.01，X338.41，X4129.01，X589.80（6）计算结果X1=2.57，X2=54.01，X3=38.41，X4=111.3，X5=50.26适宜养殖总面积= X1+X2+X3+X4+X5=256.55（104亩）（7）海水养殖业预测产量 通过19851994年各分产业平均单产的分析，计算2000年各分产业的平均单产预测值。根据以上线性规划

16、模型求得在最优效益下各产业的适宜养殖面积值，得到2000年山东海水养殖业的预期产量： 按照各分产业平均单产的预期值得2000年海水养殖预期产量。预期产量= 0.55X1+0.03X2+2.20X3+1.14X4+0.58X5 =1.42+1.64+84.46+126.93+29.17=243.62（104t） 按照海水养殖业总平均单产的预期值得到2000年海水养殖预期产量。预期产量=0.87×256.55=223.20（104t）二、农业发展规划研究方面关福来、王春乙、梁群于1996年第2期的农业系统科学与综合研究中发表了朝阳市农业发展规划研究文章，该文章在分析朝阳市人口发展、耕地面

17、积、水资源开发利用预测的基础上，利用灰色线性规划理论对朝阳农业内部的农、林、牧、副、渔进行调整优化，得出协调发展的最佳方案，进而提出了朝阳市“两高一优”农业发展的措施及实施建议。其具体的计算过程如下：（一）人口、劳动力预测1979年，全市总人口284.77万人，到1993年末增加到322.97万人，14年人口净增38.2万人，增长了13.41%，平均每年净增2.73万人，平均年净增长率0.903%。应用灰色系统理论的GM（1，1）预测方法建立朝阳市人口发展的预测模型。取1979年至1993年的历年总人口共15年的统计资料，应用GM（1，1）模型预测人口发展结果见表8-7。表8-7 人口预测结果

18、年份1994199519961997人口3270560329955233288003358336年份199819992000人口338803234181443448416引自关福来、王春乙、梁群（1996）预测结果，2000年朝阳市人口将达到344.84万人，7年人口净增21.81万人，平均每年净增3.12万人，平均年净增长率0.94%。人口发展速度较1993年以前略有增加，2000年以后人口发展放慢，以年净增率0.886%的速度稳定增长。为了使人口发展与社会经济相适应，应进一步加强人口计划指导，调整不合理的人口结构，严格控制人口数量，提高人口素质，到本世纪末，朝阳市人口控制目标是：总人口控制

19、在344万以内。人口发展速度基本与1993年以前持平。（二）耕地面积预测土地是农业最基本的生产资料。影响耕地变化的因素较多，通过历年全市耕地演变的分析，其相关因素如下：根据有关材料，对上述影响耕地变化的相关因素进行定性和定量预测分析，其增加因素微乎其微，而减少趋势不可避免。其结果如下：1993年底实有耕地面积39.21万hm2，预计2000年减少到36.54万hm2，减少在2.67万hm2左右。其中水利建设需要占用耕地约26%，其次城乡居民住宅建设需占耕地约21%，城市及工业建设需占耕地19%，交通建设占用耕地约14%，乡村企业建设和退役耕地需占用耕地约20%左右。（三）水资源开发利用预测朝阳

20、市的水资源贫乏且利用不平衡，水资源主要靠大气降水补给，降水少且时空分布不均是造成水资源贫乏的主要原因。平均每人占有水资源量为616m3，全市水资源可利用总量为8.1745亿m3，平均每人占有水量253m3，大大低于全国及全国辽宁省的平均水平。目前，地下水的实际开采量只占可开采量的50%左右，在保证率P=75%的情况下，地表水可利用量为2.9299亿m3，占来水量的34.7%。2000年各部门需水情况见表8-8。表8-8 2000年各部门需水量预测表工业农业城镇生活产值亿元用水定额m3/万元用水量亿m3设计面积万hm灌溉定额m3/hm2用水量亿m3人口万人定额m3/人用水量亿m31203804.

21、5614.6740505.948836.50.3212农 村 人 畜人口万人定额m3/人大牲畜万头定额m3/头小牲畜万头定额m3/头用水量亿m325618.2510036.540010.951.27引自关福来、王春乙、梁群（1996）2000年，如果地下水开采率达到90%，则还可开发2.1亿m3的地下水资源。如果今后的几年里在诸河的干流上修建控制性工程拦洪蓄水，提高地表水的利用程度，使地表水的可利用量占来水量的60%，则将有约2.1亿m3的开发潜力。这样，到本世纪末全市水资源可利用总量将达到12.4亿m3，基本能够满足朝阳市社会经济发展需要。另一方面，要积极提倡节约用水，工业上提高水的循环利用

22、率，农业上采用先进的灌溉方法。（四）规划方案及目标的确立农业系统是科技、经济、社会协调发展大系统的子系统。农业系统内部“五业”（农、林、牧、副、渔）之间的系统协调和分析，不仅是搞好“五业”间的综合平衡、合理规划的基础，而且还是把握“五业”间健康发展的依据，方案的量化、优化分析，主要采取了“灰色”预测GM（1，1）模型，建立对“五业”未来自然发展的预测。然后运用灰色线性规划分析设计朝阳市未来发展“五业”最佳状态（最优方案）。1未来发展的GM（1，1）预测“五业”原始数列及2000年预测结果见表8-9表8-9 单位：万元年份1988198919901991199219932000序号1234567

23、种植业6040762445105645122216114867164492214086.4林业7929674386158018114581286514251.8畜牧业584275560156251571107393889691113819.2副业9806940398338911150811980931375.4渔业128118132140158194301.5引自关福来、王春乙、梁群（1996）2运用灰色线性规划的方法对“五业”进行调整优化灰色线性规划实际上是随着时间而变的资金b1，土地面积b2，电力b3，劳动力b4和用水量b5为投入。以种植业产值x1，林业产值x2，畜牧业产值x3，副业产值x

24、4，渔业产值x5为输出。根据先进地区的水平和本地历史状况做参考，本着资源、资金合理运用，不断提高效益和降低成本，求得最大产出的原则，而确定以a11，a12，a13，a14，a15分别为“五业”的万元产值所需资金；a21，a22，a25分别为种植业、林业和渔业的万元产值所需土地；a31，a32，a33，a34，a35，分别为“五业”万元产值所需电力；a41，a42，a43，a44，a45分别为“五业”万元产值所需劳动力，a51为种植业每亩定额灌溉量，w为畜牧业用水量（等于牲畜数目乘以每头牲畜定额需水量）。在保证粮食稳定增长的前提下，其目标函数如下：农业总产值maxf（x）=x1+ x2+ x3+

25、 x4+ 约束条件：资金b1 土地面积b2 电力b3 劳动力b4 用水量b5随时间而变的约束参数模型：a11x1+a12x2+a13x3+a14x4+a15 x5b1（t）a21x1+a22x2 +a25 x5b2（t）a31x1+a32x2+a33x3+a34x4+a35 x5b3（t）a41x1+a42x2+a43x3+a44x4+a45 x5b4（t）m（t）a21x1a51 +wb5（t）b1（t），b2（t），b3（t），b4（t），b5（t）是时间序列而变化的参数，m（t）为计划灌溉面积占耕地面积百分比，根据相应时间建立灰色线性规划模型，计算结果及关联度分析见表8-10、8-11。

26、表8-10 单位：万元1993年实际值2000年预测值2000年优化值农业总产值287051373834.1396262.7种植业164492214086.4222829.3林业1286514251.814872.6畜牧业89691113819.2122926.3副业1980931375.435303.9渔业194301.3330.6关福来、王春乙、梁群（1996）表8-11 关联度分析结果统计表分析项目名称农业总产值与“五业”产值母因子农业总产值子因子种植业 林业 畜牧业 副业 渔业关联系数0.4132 0.2601 0.4095 0.3229 0.3968关联结果种植业畜牧业渔业副业林业关

27、福来、王春乙、梁群（1996）朝阳市农业结构调整的战略重点及突破口是畜牧业。其根据主要有以下几点：与农业总产值的关联度大，对农业总产值的增长速度影响大；根据国内外经验证明，畜牧业具有见效快、潜力大、效益高的优点；是改善城乡人民食物结构的主导产业；可与毛纺、皮革、食品等地方工业配套，商品化程度高；可大量消化粮食和部分农副产品，并为种植业提供质高价廉的有机肥料，有利于提高肥力和降低种植业成本；有利于开发农村新能源（沼气）搞好综合利用和生态平衡；朝阳市具有发展畜牧业的农业资源优势。可见，畜牧业是朝阳市工农之间、城乡之间、农业内部各业之间十分关键的一环。重点发展畜牧业，可有效地带动和促进种植业、林业、

28、副业、渔业、乡镇企业和轻纺工业及食品工业的发展。三、农业生态经济系统结构优化方面褚保金、张兵于2000年第4期南京农业大学学报上发表了东台市沿海农区农业生态经济系统结构优化研究的文章，该文章以江苏东台市为例，运用灰色性规划的方法对沿海农区农业生态经济系统结构进行优化。通过土地利用结构调整优化，农林牧渔各业结构更趋合理。其具体步骤如下：1决策变量的选定东台市的沿海农区特点决定了良好的生态农业系统是其农村经济持续发展的保证。因此，在东台农业生态系统优化模型中，确立了从资源条件、生态环境条件和社会对农副产品的需求等方面设立决策变量。并且在农林牧副渔各业结构的基础上，对种植业和畜牧业备品种进行优化，从

29、而保证对农业生态系统从层次结构上进行优化。根据东台市农业生产活动的现状及发展的可能，以各业、各种种植方式所占的面积和畜牧业饲养头数作为决策变量（表8-12）。2优化模型的确定为了实现规划模型的目标优化，既要考虑到市场供求状况所引起的价值变动以及社会需求的变化情况，又要考虑到农产品特殊的自然风险性。我们应用灰色线性规划理论，根据当地的历年生产、需求情况，分别对各约束方程的约束值bi建立GM（1、1）模型，结合定性分析，得到方程右边的约束系数。预测型线性规划的数学模型为：目录函数：Max（min）f（x）CTX约束条件：（A）B，X0式中：X为向量，Xx1，x2，xnT；C为目标函数中的系数向量，

30、C=c1，c2，cnT；ci（i1，2，f）可以是灰数；（A）为约束条件的灰色参数，应用GM（1，1）模型进行预测。表8-12 农业生态经济系统规划参数种类变量收 入元·公顷（头）净产值元·公顷（头）产 量kg·hm-2小麦X13487.11016.14560大麦X22973.8762.94095蚕豌豆X32715.21440.62985秋收豆类X43514.72240.12425.5水稻X56611.62527.18745玉米X63735.3640.16720棉花X78777.124471468.5花生X84944.52374.43600油菜X94499.922

31、32.82955杂粮X102979.5765.65055蔬菜X1119988950041955防护林X1246831381.8-经济林X137656.83771.3-淡水养殖X1434387.815162.55079牛X15842.95241.02-猪X16344.4998.52-羊X1747.2513.51-家禽X1820.435.84-兔X1934.139.76-注：由于统计口径的局限、水果未能单独列出计算、含在蔬菜和经济林中引自褚保金、张兵（2000）根据东台市的生产现状，应用线性规划的方法，构建农业产业结构优化模型。首先，确立目标函数。对于农业生态系统结构优化方案，要求能达到4个目标：

32、（1）能充分利用当地的自然资源和发挥经济优势；（2）符合农业生态发展规律和可持续农业发展的要求；（3）满足国民经济和当地人民生活的需要；（4）能取得最佳的经济效益。根据东台市的实际，选择最佳经济效益（净产值）作为目标函数。然后，根据当地社会、经济、生态环境等要求设定约束条件。这些约束条件包括资源约束、生态约束和社会需求约束（对粮食等农产品的要求和畜牧业生产的要求）。3数据经过多次实地考察收集到有关资料数据及查阅有关统计年鉴（19781997），根据东台市各产业历年的单位耕地面积的投入与产出，建立GM（1，1）模型，得到相关的约束系数如表8-12。4，结果与分析（1）农业生产结构变化及其相互关系

33、评价l 土地引只结构的调整优化方案土地复种指数有所提高，复种使用面积比对照增长了0.49（表8-13）。在各个产业之间，种植业面积比对照组减少了2.83，林地面积比对照组增加了24.2，而渔业生产由于水域面积的限制，只增加了1.05。l 种植业力部调整在种植业内部，产量低、收益又较低的玉米、蚕豌豆和秋收豆类下降幅度都较大，而杂粮由于人民饮食多样性的需求，虽然收益较低，但面积仍有所增加（表8-13）。高产、效益又较高的水稻上升幅度较大，达68.88。小麦的面积略有增长（9.62）。虽然粮食作物的种植面积优化方案比对照组下降了2.1，但由于高产的小麦和水稻面积增加，总产量仍达到68.1万t，充分满

34、足了社会需求。们产值略有下降，减少了250.8万元（1.4）；优化方案中经济作物面积增加较大，油莱面积增加了93.36、蔬菜面积增加了55.34，棉花由于产量较低，投入较大，面积有较大幅度下降。总之，在保证粮食生产的前提下，应适当增加经济作物的播种面积。表8-13 东台市主要农作物播种面积及优化面积比较种类变量1995-1997年平均播种面积/hm2优化面积/hm2增长率/小麦X136407.839910.49.62大麦X230141.515140.4-49.77蚕豌豆X35200.43332.5-35.92秋收豆类X414378.94101.2-71.48水稻X524060.540633.4

35、68.88玉米X626761.59523.8-64.41棉花X734248.729187.3-14.78花生X83095.34555.647.18油菜X917179.732218.393.36杂粮X103281.43600.49.72蔬菜X1110390.016140.055.34防护林X1217872.119473.38.96经济林X1310634.315932.749.82淡水养殖X146696.56766.71.05复种面积X15239015.2241515.80.49引自褚保金、张兵（2000）l 林业凋整防护林和用树林优化方案增幅不是很大（8.96），这从另外一个方面说明其基础较好，由于防护林和农田林网能调节区域性气候、减弱飞盐危害，达到增产减灾，增加生物多样性，促进农业的可持续发展，因此其生态效益、社会效益和使农作物增产的经济效益远比其本身的经济效益要高，应该大力加强。经济林包括果园和桑园，其产值较高，优化方案中面积达到1.59万hm2，比对照组增加