灰色动态的基本理论

1、第五章 灰色动态建模基本原理灰色动态建模是灰色系统理论中的重要内容之一。在本章中，我们将主要介绍灰色建模的技术路线，包括灰色动态建模的原理，以及常见的GM（1,1）和GM（1,n）模型的建模过程与步骤。第一节 灰色建模的技术路线一、灰色动态建模原理灰色预测建模是以灰色模块概念为基础的。灰色系统理论认为一切随机量都是在一定范围内、一定时段上变化的灰色量及灰色过程。对于灰色量的处理，不是去寻求它的统计规律和概率分布，而是从无规律的原始数据中找出规律，即对数据通过一定方式处理后，使其成为较有规律的时间序列数据，再建立模型。因为在客观系统中，无论怎样复杂，系统内部总是有关联、有整体功能和有序的。因此，

2、作为表现系统行为特征的数据，总是蕴含着某种规律。经过一定方式处理而生成的序列数据，我们称之为“模块”。其几何意义为生成序列数据在时间与数据二维平面上所给的连续曲线与其底部（即横坐标）所构成的总称。我们将由已知数据列构成的模块，称为白色模块，而由白色模块外推到未来的模块，即由预测值构成的模块，称为灰色模块。一般情况下，对于给定的原始数据列不能直接用于建模，因这些数据多为随机的、无规律的。若将原始数据列经过一次累加生成，则可获得新数据列 其中新生成的数据列为一单调增长的曲线，显然它增强了原始数列的规律性，而随机性被弱化了。对于非负的数据列，累加的次数越多，则随机性弱化越明显，规律性也就越强，因而较

3、容易用指数函数去逼近。经过处理后的数据弱化了原始数据列的随机性，从而找到了其变化的规律性，并为建立动态模型提供了中间信息。 对于生物学、社会经济学和环境生态系统，应用微分方程便于描述其内部物理或化学过程动态特征。灰色系统理论之所以能够用来建立微分方程模型，是因为灰色系统理论将随机量当作是在一定范围内变化的灰色量，将随机过程当作是在一定幅区和一定时区变化的灰色过程。其次灰色系统理论将无规律的原始数据生成后，使其成为较有规律的生成数列再进行建模。所以，灰色GM建模实际上是生成数据模型，而一般建模所用的是原始数据模型。此外，灰色系统理论通过灰数的不同生成，数据的不同取舍，不同级的残差模型的补充，来调

4、整、修正、提高模型的精度。二、常见的GM （n, h ）模型 GM （n, h ）模型是指n 阶h个变量的微分方程，不同n与h的GM模型有不同的意义和用途。GM模型大体可归为以下二类。1，作为预测模型，常用GM （n, 1）模型常用GM （n, 1）模型，即只有一个变量的GM模型。对数据列要求是“综合效果”的时间序列。由于n越大，计算越复杂，但精度未必就越高。因此一般情况下n值在3阶以下。最常用的n=1阶模型，计算简单，适用性广，记为GM（1, 1），称为单序列一阶线性动态模型。GM （1, 1）模型的微分方程为。系数向量=a ,T。相应的时间函数为求导还原后可得到：上述两个方程为GM （1,

5、 1）模型灰色预测的基本计算公式。GM （2, 1）为二阶模型，有两个特征根，其动态过程能反映不同情况，即可能是单调的、非单调的或摆动的（振荡的）情况。GM （2, 1）模型的微分方程为：其系数向量 其时间响应函数为： 式中 l1、l2为两个特征根，按以下不同情况可分析系统的主要动态特征。若l1=l2，则动态过程是单调的。若l1¹l2，且为实数，动态过程可能是非单调的。若l1、l2为共轭复根，则动态过程是周期摆动的。2，状态分析模型，常用GM （1, h）模型上面介绍的GM （1, 1）和GM （2, 1）一般多用于预测。而作为状态分析模型，常用GM （1, h）模型，它可以反映h-

6、1个变量对于因变量一阶导数的影响。由于h>1，故称为h个序列的一阶线性动态模型。其建模步骤如下：设有h个变量X1, X2, , Xh组成原始数列xi（0）xi（0）（1）, xi（0）（2）, , xi（0）（n） （i=1, 2, , h）。对Xi （0）分别作一次累加生成，得到新的数列：Xi（1）xi（1）（1）, xi（1）（2）, , xi（1）（n）（ i=1, 2, , h）建立微分方程：其系数向量=（b1,b2, , bh-1）T用最小二乘法求解，即=（BTB）-1BTYN 式中B为累加矩阵，YN为常数项向量，分别为：YNx1（0）（2）, x1（0）（3）, , x1（0

7、）（n）T则可求得微分方程的解：第二节 GM（1，1）模型GM（1, 1）模型实际上就是灰色数列预测，对时间序列数据进行数量大小的预测，如人口预测、劳力预测、产量预测、产值预测及各种趋势预测等，一般利用历年统计资料，对其未来发展进行预测。这类预测不仅应用广，而且方法步骤也有普遍意义。为此，我们作比较详细的介绍。一、建立GM （1, 1）模型的基本步骤第1步：对数据序列X（0）x（0）（1）, x（0）（2）, , x（0）（N）作一次累加生成，得到X（1）x（1）（1）, x（1）（2）, , x（1）（N） 其中第2步：构造累加矩阵B与常数项向量YN， 即YNx1（0）（2）, x1（0）（

8、3）, , x1（0）（ N）T第3步：用最小二乘法解灰参数第4步：将灰参数代入时间函数：第5步：对求导还原得到或 第6步：计算与之差e（0）（t）及相对误差e（t）e（t）e（0）（t）/x（0）（t）第7步：模型精度检验及应用模型进行预报。为了分析模型的可靠性，必须对模型进行精度检验。目前较通用的诊断方法是对模型进行后验差检验。即先计算观察数据离差s1：及残差的离差s2：再计算后验比：及小误差概率：根据后验比c和小误差概率p对模型进行诊断。当p>0.95和c<0.35时，则可认为模型是可靠的，可用于预测。这时可根据模型对系统行为进行预测。上述7步为整个建模、预测的分析过程。当所

9、建立模型的残差较大、精度不够理想时，为提高精度，一般应对其残差进行残差GM （1, 1）模型建模分析，以修正预报模型。二、GM（1，1）模型的不同形式根据邓聚龙教授对GM（1，1）模型的研究结果，他提出了得多种不同形式的GM（1，1）模型，现将主要的几种列举如下：（1） （2） （3） （4） ；k=2，3，n（5），k3（6）（7）（8）三、对发展系数-a值解释与分析我们将GM（1，1）模型中的参数-a称为发展系数，b称为灰色作用量。-a反映了和的发展势态。一般情况下，系统作用量应是外生的或前定的，而GM（1，1）是单序列建模，只用到系统的行为序列（或称为输出序列），而无外作用序列（或称输入

10、序列）。GM（1，1）中灰色作用量是从背景值中挖掘出来的数据，它反映了数据变化的关系，其确切内涵是灰色的。灰色作用量是内涵外延化的具体体现，它的存在是区别灰色建模与一般输入输出建模的分水岭，也是区分灰色系统观点和灰箱观点的重要标志。此外，一些学者如刘思峰等通过对GM（1，1）模拟的误差和预测误差进行分析，对GM（1，1）模型中发展系数-a进行深入研究，对发展系数-a值的大小与系统预测精度及其应用可能作了探讨，并提出了如下论断：（1）当-a0.3时，GM（1，1）可用于中长期预测；（2）当0.3-a0.5时，可用于短期预测，中长期预测慎用；（3）当0.5-a0.8时，用GM（1，1）作短期预测应

11、十分谨慎；（4）当0.8-a1时，应采用残差修正GM（1，1）模型；（5）当-a1时，不宜采用GM（1，1）模型。第三节 灰色数列GM （1，n）模型GM （1, 1）模型和GM （2, 1）模型均为单序列线性动态模型，而GM（1, n）模型是描述多元（多变量）一阶线性动态模型。它主要用于系统的动态分析。对于具有n个数列、数列长度为m的原始数据，我们可用如下数据矩阵描述：第1步：计算一次累加生成的数据矩阵；第2步：构造矩阵B、Y和紧邻均值生成序列Zi；B=Y=x1（0）（2），x1（0）（3），x1（0）（ m）T第3步：用最小二乘法解灰参数；第4步：建立灰色微分方程GM（1，n）；式中： -a为系统发展系数;为驱动项;bi为驱动系数